必修5 第1章解三角形 综合测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

人教A版必修5第一章解三角形综合测试题
一、单选题
1．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．的内角，，的对边分别为，，，，，，则角等于（ ）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A=，B=，a=6，则b=（ ）
A．3 B． C．6 D．2
4．在中，，，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．在中，，，分别是内角，，的对边，，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，内角，，的对边分别为，，，若，则等于（ ）.
A． B．4 C． D．
7．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
8．在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
9．在中，，，，则A为（ ）
A．或 B． C．或 D．
10．设的内角的对边分别为，且，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
11．在中，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题
13．已知在中，是的中点，，，，则的面积为______．
14．已知、、分别是的三个内角、、的对边，且，则_____.
15．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，且，则的取值范围为_________．
16．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）
三、解答题
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角C；
（2）若的面积为，求a、b的值．
18．在中，内角所对的边分别为，已知
（1）求角；
（2）若的周长为8，外接圆半径为，求的面积.
19．已知向量，，，其中A是的内角.
（1）求角A的大小；
（2）若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，求的取值范围.
20．已知在中，三边分别对应三个内角；且
（1）求角的大小；
（2）当在外接圆半径时，求面积的最大值，并判断此时的形状.
21．设的内角，，的对边分别为，，，已知.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求角，.
22．已知函数的最小正周期为.
（1）求的值及函数的值域；
（2）在中，内角，，所对应的边长分别为，，，若，，的面积为，，求的值.
参考答案
1．A
【分析】
先利用正弦定理解得，然后根据同角三角函数的关系求出.
【详解】
由正弦定理得：，
又，所以或，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，解答时注意角范围的确定，注意，易错选C或D.
2．A
【分析】
根据等腰三角形的性质求得.
【详解】
由于，等腰对等角，所以.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查等腰三角形的性质，属于基础题.
3．D
【分析】
利用正弦定理可以直接求解.
【详解】
因为，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，属于基础题.
4．A
【分析】
先建立方程，再求解即可.
【详解】
由正弦定理知．
故选：A
【点睛】
本题考查正弦定理，是基础题
5．A
【分析】
由可得，再利用余弦定理即可得，从而可得角.
【详解】
由可得，
由余弦定理可得：，
因为，
所以，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了余弦定理解三角形，属于基础题.
6．D
【分析】
由已知结合正弦定理可得，，的关系，然后结合余弦定理可求.
【详解】
解：若，
由正弦定理可得：
，
可设，，，
由余弦定理可得，.
故选：D.
7．C
【分析】
利用余弦定理列方程求解.
【详解】
由余弦定理，得，即，解得.
故选C.
【方法点睛】
已知两边及一角解三角形：
①已知两边夹角用余弦定理求出第三边,解唯一；
②两边对一角，可用正弦定理求另一边的对角，也可用余弦定理列方程求出第三边，可无解，可一解，可两解.
8．A
【分析】
利用正弦定理即可得到答案.
【详解】
∵，，∴，
∴，∴.
故选：A.
9．C
【分析】
由正弦定理可得，即可得解.
【详解】
由正弦定理可得，则有，
又，，，
则或.
故选：C.
10．D
【分析】
先由降幂公式得，再由正弦定理得，众而得，于是有或，从而可得结论
【详解】
解：因为，
所以，
所以由正弦定理得，，
所以，
因为
所以或，
所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形
故选：D
【点睛】
此题考查三角函数的降幂公式的应用，考查正弦定理的应用，属于基础题
11．B
【分析】
将表示为角的形式，结合三角函数最值的求法，求得的最大值.
【详解】
有正弦定理得，
所以，
所以
.
其中，
由于，所以，
故当时，的最大值为.
故选：B
【点睛】
要求与三角形边长有关的最值问题，可以利用正弦定理将边转化为角，然后利用三角函数的最值的求法来求最值.
12．C
【分析】
根据已知条件先分析出的最大值并得到之间的关系，由此借助余弦定理求解出的长度，再利用余弦定理即可求解出的大小.
【详解】
因为，且为等边三角形，，
所以，所以，所以的最大值为，取等号时，
所以，不妨设，
所以，所以解得，
所以，所以，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解答问题的关键是理解题中所给的定理，由此分析得到角的关系，并借助余弦定理即可求解出结果.
13．
【分析】
首先在中，利用正弦定理求，再求，最后根据面积公式求解.
【详解】
在中，由正弦定理得，解得，故，

所以，由为的中点所以．
故答案为：
14．
【分析】
根据正弦定理，由题意得到，推出，化简整理，求出，即可得出结果.
【详解】
因为，由正弦定理可得，，
则，
则，
即，
则，所以，则，
因为为三角形内角，所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查正弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式，属于基础题型.
15．
【分析】
由正弦定理化边为角可得，得出，再由三角形是锐角三角形得，化简，利用三角函数的性质即可得出.
【详解】
依题意，由正弦定理得，
，，
由于三角形是锐角三角形，所以.
由，可得，
所以
，
由于，所以，所以.
故答案为：.
【点睛】
关键点睛：本题考查解三角形和三角函数性质的应用，解题的关键是利用正弦定理得出，再得出，将化为利用三角函数性质求解.
16．
【分析】
画出示意图，根据题意求得角，利用正弦定理求得边，再根据直角三角形边角关系求出旗杆的高度即可求得答案．
【详解】
如图所示，依题意知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠EAC＝180°﹣45°﹣105°＝30°，
由正弦定理知 ＝，∴AC＝×sin45°＝20（米），
∴在Rt△ABC中，AB＝AC?sin∠ACB＝20×＝10（米），∵国歌长度约为46秒，
∴升旗手升旗的速度应为 ＝（米/秒）．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用正余弦定理解三角形解决．
17．（1）；（2），或，．
【分析】
（1）利用余弦定理结合，即可求角C；
（2）利用面积公式可以求出，再利用余弦定理可以求得，进而可得a、b的值．
【详解】
（1）由余弦定理有，
因为，可得；
（2）由题意有，可得，
由余弦定理得：，
将， 代入可得：，
可得，所以，
所以，
由，解得或
故，或，．
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）由条件、三角形的内角和、三角函数的和差公式和正弦定理可化得答案；
（2）由正弦定理求出，然后可得，然后结合余弦定理可得，然后可得答案.
【详解】
（1）由和得
即，
所以
即，
因为，所以，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，因为，所以
（2）因为的外接圆半径为，
所以，所以，
由余弦定理得
所以，得，
所以的面积
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）由和三角恒等变换可得答案；
（2）由和可得，然后由正弦定理可得，然后利用三角函数的知识可得答案.
【详解】
（1）因为，
即有，（），，（），
又A为的内角，所以；
（2）由，得为钝角，从而
由正弦定理，得
所以，，
则
又，所以，
则
20．（1）（2）是等边三角形，面积最大值为
【分析】
（1）根据题中条件，由余弦定理，求出，进而可得角；
（2）根据正弦定理，由题中条件，求出，再由题中条件，利用基本不等式，求出最大值，进而可得三角形面积的最大值，以及判断三角形的形状.
【详解】
（1），，即，
由余弦定理可得：，
又角为的内角，所以，因此；
（2）因为外接圆半径，
所以由正弦定理可得：，则；
所以，则，，当且仅当时等号成立，
的面积.
即的面积的最大值是，当且仅当时等号成立；
因此，此时是等边三角形.
【点睛】
方法点睛：
求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.
21．（Ⅰ）；（Ⅱ），.
【分析】
（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，解方程可得，结合，可求的值．
（Ⅱ）由余弦定理得，可求的值，得①，又，得②，联立解得，，可得，再求出角，的值．
【详解】
（Ⅰ）因为，
所以，，
解得，
因为，所以；
（Ⅱ）因为，所以由余弦定理得，，
得①，
又，得②，
将②代入①得：，
即，而，解得，
所以，
故，
得是直角三角形，且角是直角，
所以，.
【点睛】
关键点点睛：关键需要利用余弦定理及条件解方程组得出的关系，利用勾股定理即可证明三角形为直角三角形，求出角，属于中档题.
22．（1）；值域为；（2）4.
【分析】
（1）由周期求得，利用诱导公式和两角差的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得值域；
（2）由求得，再由三角形面积得，然后由余弦定理可求得．
【详解】
解：（1）因为函数的最小正周期为，
由，
又因为所以.
此时，则得，
即，即
当时，，，
所以所求函数的值域为.
（2）由题意得
因为则得，所以，解得
因为的面积为，则得，即，
即.
又因为，
由余弦定理，得
所以.
【点睛】
方法点睛：本题考查求三角函数的值域，考查余弦定理解三角形，以及三角形面积公式．三角函数问题中，首先需利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式（主要是形式），然后利用正弦函数性质确定求解．