必修5 第1章解三角形 基础测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

人教A版必修5第一章解三角形基础测试题
一、单选题
1．在中，已知，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，若，则（ ）
A．2 B．1 C．1或2 D．2或
3．在中，，，是角，，所对的边，且，，，则等于（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．135°
4．某人在A处向正东方向走后到达B处，他沿南偏西方向走到达C处，结果他离出发点恰好，那么的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
5．在中，，，且的面积为，则AC的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不确定
7．在中，已知，那么最大内角的余弦值为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．在中，角，，所对各边分别为，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．在中，若，，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．2
11．在中，若，，则外接圆的半径为（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，已知中，，延长AC到D，连接BD，若且，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
13．在中，三个内角、、的对边分别是、、，若，，，则______.
14．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则的面积为______．
15．如图，从高的电视塔塔顶测得地面上某两点、的俯角分别为和，，则、两点间的距离为______m.（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）
16．已知是面积为的等边三角形，点在线段的延长线上，若，则________.
三、解答题
17．的内角的对边分别为，.
(1)求角；
(2)若，的面积.求.
18．已知中，角所对的边分别为，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）当，求的值.
19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．
（1）求A，C的大小．
（2）当时，的最大值为a，求的面积．
20．在中，已知，，.
（1）求的长；
（2）求的值.
21．如图，在中，，线段的垂直平分线交线段于点，.
（1）求的长；
（2）求的值.
22．在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，的面积为为的中点，求线段的长.
参考答案
1．B
【分析】
根据正弦定理可求得结果.
【详解】
由得.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：掌握正弦定理是解题关键.
2．C
【分析】
利用余弦定理，列出关于的方程，即可求解.
【详解】
在中，由余弦定理可得，
因为将，代入可得，解得或.
故选：C.
3．C
【分析】
利用正弦定理求得，根据大边对大角确定的范围，得到的值.
【详解】
，，，
由正弦定理得,
,，
45
或，
故选：C.
【点睛】
本题考查正弦定理，在已知两边一对角时，利用正弦定理解三角形，注意大边对大角，对另一个对角的范围进行限定，从而做出正确选择.
4．B
【分析】
根据题意画出图形，在中解三角形即可求解.
【详解】
如图：，，，，
在中由余弦定理可得：，
即，
所以，即，
解得：或，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是根据题意找出正确的边和角的大小，选择余弦定理解三角形即可.
5．B
【分析】
由三角形面积公式即可求出.
【详解】
，即，
.
故选：B.
6．B
【分析】
由正弦定理可得，进而判断解的情况.
【详解】
因为，，，
所以由正弦定理可得，，所以或，
当时，，满足题意；
当时，，不能构成三角形，舍去.
综上，，即三角形的解只有一个.
故选：B．
7．D
【分析】
由结合正弦定理得，若设，然后利用余弦定理可求出最大内角的余弦值.
【详解】
解：因为，所以，且解是最大内角，
设，则
，
故选：D
【点睛】
此题考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题.
8．C
【分析】
利用正弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得.
【详解】
依题意，
由正弦定理得.由于在三角形中有，所以，即.因为，所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.
9．D
【分析】
根据余弦定理，由题中条件，即可得出结果.
【详解】
因为，
由余弦定理可得，，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题型.
10．A
【分析】
直接利用正弦定理的边化角公式，得出，即可求出结果.
【详解】
解：由题可知，，，
而，
即.
故选：A.
【点睛】
本题考查正弦定理的应用，运用了正弦定理的边化角公式，属于基础题.
11．A
【分析】
根据三角形面积公式求出c，再由余弦定理求出a，根据正弦定理即可求外接圆半径.
【详解】
,,
,
解得
由正弦定理可得：，
所以
故选：A
12．B
【分析】
延长，过作，垂足为，则，设，则，，，求出，即可得出结论．
【详解】
解：如图所示，延长，过作，垂足为，则，
设，，则，，，
，
，
即，即
整理得，即，解得或（舍去）
．
故选：B
13．
【分析】
由余弦定理代入三角形的边长，可得出答案.
【详解】
在中，，
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用余弦定理求角的余弦值，考查计算能力，属于基础题.
14．
【分析】
利用同角三角函数的基本关系计算出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】
，，
由三角形的面积公式可知，的面积为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角形面积的计算，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于基础题.
15．
【分析】
本题首先可以根据题意得出以及的长度，然后根据余弦定理即可求出的长度.
【详解】
因为高的电视塔塔顶测得地面上某两点、的俯角分别为和，
所以，，，
因为，
所以，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形，余弦定理公式为，考查计算能力，是简单题.
16．
【分析】
首先根据是面积为得到，再利用正弦定理即可得到答案.
【详解】
如图所示：
因为所以，.
在中，由正弦定理可知，
，解得.
故答案为：
17．（1）；（2）
【分析】
(1)根据正弦定理的边化角公式和三角形内角和等于,将已知条件化简为：,约分之后再用降幂公式即可求出的值.
（2）由三角形面积公式可求得,带入余弦定理即可求得.
【详解】
（1）因为,,
由已知
和正弦定理得：
,
又因为,
所以,
,,
（2）由面积公式得,
由余弦定理,得
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）对等式两边同时平方，利用二倍角的正弦公式求出，结合角是三角形的内角和 ，可以确定角的取值范围，最后求出角；
（Ⅱ）由三角形内角和定理和，可以求出，运用正弦定理，可以求出，再利用余弦定理可以求出的值.
【详解】
（Ⅰ）由得，即，
，
又，，，
，，所以.
（Ⅱ）由，得，
由正弦定理：，得，
由余弦定理：，得，或（舍去），
所以.
【点睛】
本题考查了二倍角的正弦公式、正弦定理、余弦定理，考查了数学运算能力.
19．（1），；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，得到，由此求得的大小，进而求得的大小.（2）利用二倍角公式化简表达式并进行配方，根据的取值范围，求得的取值范围，结合二次函数的性质，对进行分类讨论，结合的最大值为列方程，由此求得的值.
【详解】
（1）由条件知
，
得，则，
（2）．
，．
当时，，取得最大值，得，
．；
当时，，取得最大值，
，不符合，舍去；
当时，，取得最大值，舍去．
综上所述，的面积为
【点睛】
本小题主要考查正弦定理边角互化，考查两角和的正弦公式，考查二次函数求最值的方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
20．（1）（2）
【分析】
（1）利用同角的三角函数的基本关系式可求，再根据两角和的正弦求出，最后利用正弦定理可求的长度.
（2）利用两角和的余弦可计算，再利用两角差的余弦可求.
【详解】
（1）在中，因为，所以，
所以，
又因为，
所以，
由正弦定理，，所以.
（2）因为，
所以
，
所以.
【点睛】
三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，用正弦定理.另外，如果知道两个角的三角函数值，则可求第三个角的三角函数值，此时涉及到的公式有同角的三角函数的基本关系式和两角和差的三角公式、倍角公式等.
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意易得，，进而可得，，在中由余弦定理可得；
（2）首先可得，再由正弦定理求出，即可得．
【详解】
解：（1）依题意得，
因为，，
所以，，
在中，，
在中，由余弦定理可得，
所以．
（2）由（1）知，所以
在中由正弦定理得：，，
即，
故
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理将中的边化为角，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角；
（2）结合（1）可得为等腰三角形，可求得，再由面积可求出，再在中利用余弦定理可求出的长
【详解】
（1）由，得，
由正弦定理可得，
因为，所以，因为，所以；
（2）因为，为等腰三角形，且顶角，故
所以在中，由余弦定理得，
所以.