必修5 第2章数列-等比数列前n项和 基础测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

等比数列前n项和基础测试题
一、单选题
1．等比数列的前项和为，且，，成等差数列.若，则（ ）
A．15 B．7 C．8 D．16
2．设等比数列的前项和为，若，则公比（ ）
A．1或 B．1 C． D．
3．在等比数列中，已知，（ ）
A． B． C． D．
4．无穷等比数列的各项和为（ ）
A． B． C． D．
5．记为正项等比数列的前项和，若，则（ ）.
A． B． C． D．
6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ）
A．3盏 B．9盏 C．27盏 D．81盏
7．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．等比数列中，，，，则( )
A． B． C． D．
9．已知等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则公比的值为（ ）
A．或 B．2 C．2或-1 D．2或
10．等比数列的前项和为，若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（ ）
A．63 B．108 C．75 D．83
12．设，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知数列的通项公式为，则的前项和为__.
14．等比数列的前8项和为__________.
15．设为数列的前项和，满足，则______.
16．设f（n）＝2+24+27+210+???+23n+1（n∈N*），则f（n）＝_____．
三、解答题
17．等比数列中，公比为，前项和为.
（1）若，，求；
（2）若，，求.
18．已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式;
（2）设，求数列的前项和.
19．已知为等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
20．设数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21．已知等差数列满足．
（1） 求的通项公式；
（2） 设等比数列满足,求的前项和．
22．已知等比数列的首项，前项和满足.
（1）求实数的值及通项公式；
（2）设，求数列的前项为，并证明：.
参考答案
1．B
【分析】
根据已知条件求得公比，由此求得.
【详解】
设等比数列的公比为，
由于，，成等差数列，所以，
即，，，
所以.
故选：B
2．A
【分析】
设等比数列的首项为，对等比数列的公比分两种情况讨论得解.
【详解】
设等比数列的首项为，
由题意可知，当时，，显然成立；
当时，由得，
化简得，
所以
解得.
综合得.
故选：A.
【点睛】
易错点睛：本题容易漏掉.在对等比数列求和时，一定要分和讨论，否则容易漏解.
3．D
【分析】
先求出等比数列的公比，再利用等比数列的前和公式求和.
【详解】
设等比数列的公比为.∵，∴，
∴.
故选：D
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列的通项特征，灵活选择求和的方法求解.
4．C
【分析】
先求出等比数列的前项和，然后求极限，即可得结果
【详解】
解：等比数列的公比为，
所以前项和为，
所以无穷等比数列的各项和为
，
故选：C
5．D
【分析】
利用等比数列前项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和．
【详解】
为正项等比数列的前项和，，，
，解得，，
．
故选：．
6．C
【分析】
根据题意，设塔的底层共有盏灯，分析可得每层灯的数目构成以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的前项和公式可得的值，即可得答案．
【详解】
根据题意，设塔的底层共有盏灯，则每层灯的数目构成以为首项，为公比的等比数列，
则有，
解可得：，
所以中间一层共有灯盏.
故选：C
【点睛】
思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可.
7．A
【分析】
由数列通项公式可得，应用等比数列前n项和公式求和即可.
【详解】
由题意知：，
∴.
故选：A
【点睛】
本题考查了由已知数列通项公式求新数列通项，应用等比数列前n项和公式，属于简单题.
8．A
【分析】
根据等比数列的前项和可得，解方程，即可求出结果.
【详解】
由题意可知，，解得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查等比数列的前项和公式的应用，属于基础题.
9．C
【分析】
分情况讨论，，根据等比数列的前项和公式以及通项公式，结合等差数列等差中项的应用，可得结果.
【详解】
当时,,,不为等差数列;
当时,,,,则,
故或.
故选：C
【点睛】
本题考查等比数列通项公式与前项和公式，还考查等差数列等差中项的应用，熟练公式以及等差、等比数列的性质的应用，属基础题.
10．A
【分析】
求出、的值，进而可求得、的值，然后利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】
在等比数列中，，，则为递增数列，，
由已知条件可得，解得，，，
因此，.
故选：A.
11．A
【分析】
利用等比数列的前项和公式的性质：成等比数列即可求解.
【详解】
数列为等比数列，其前项和为，
则成等比数列，
即成等比数列，
即，解得.
故选：A
12．D
【分析】
易得是以2为首项，为公比的等比数列，再得到其项数求解即可.
【详解】
易知1，3，5，7，…是首项为1，公差为2的等差数列，
设该数列为，则，设，
令，∴，
∴是以2为首项，为公比的等比数列的前项的和，
∴，
故选：D.
13．
【分析】
利用数列的通项公式推导出数列是等比数列，求出该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得该数列的前项和.
【详解】
数列的通项公式为，则，且，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比也为，
因此，数列的前项和为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查等比数列求和，要确定等比数列的首项和公比，考查计算能力，属于基础题.
14．
【分析】
判断出首项和公比，由此求得.
【详解】
依题意可知，等比数列的首项为，公比为，
所以.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查等比数列前项和公式，属于基础题.
15．189
【分析】
利用可得数列为等比数列，再利用等比数列的求和公式求解即可.
【详解】
为数列的前项和，满足①
当时，解得.
当时，②
①－②得：，即，
所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列.
所以.
故答案为：189.
【点睛】
本题考查法求数列通项公式，考查等比数列求和公式，是基础题.
16．
【分析】
利用等比数列前项和公式直接求解．
【详解】
解：，
．
故答案为．
【点睛】
本题考查等比数列的前项和的求法，考查运算求解能力，是基础题．
17．（1）或；（2）.
【分析】
（1）由条件可求出公比，根据公比分情况求和即可；
（2）直接利用求和公式得到方程，解方程即可求出首项.
【详解】
（1）由题意可得，
所以或，
当时，，
当时，，
综上所述，或；
（2），解得.
【点睛】
本题考查等比数列的基本量运算和求和公式的应用，注意仔细审题，认真计算，属基础题.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）由递推公式，再递推一步，得，两式相减化简得
，可以判断数列是等差数列，进而可以求出等差数列的通项公式;
（2）根据（1）和对数的运算性质，用裂项相消法可以求出数列的前项和.
【详解】
解：（1）由知
所以，即，从而
所以，数列是以2为公比的等比数列
又可得，
综上所述，故.
（2）由（1）可知，故，
综上所述，所以，故而
所以.
【点睛】
本题考查了已知递推公式求数列通项公式问题，考查了等差数列的判断以及等差数列的通项公式，考查了用裂项相消法求数列前项和问题，考查了数学运算能力.
19．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求，可以列出一个关于首项和公差的二元一次方程组，解这个方程组，求出首项和公差，进而求出等差数列的通项公式；
（2）直接利用等比数列的前n项和公式求出.
【详解】
解：（1）由，解得，
所以.
（2），所以的前项和.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、等比数列前n项和公式，考查了数学运算能力、解方程组的能力.
20．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，得（，且），两式相减得，得是以为公比的等比数列，且，即可得结果；
（2）由= ， 得 ，由裂项相消法求和即可.
【详解】
（1）因为，所以（，且），
则（，且）.
即（，且）.
因为，所以，即.
所以是以为首项，为公比的等比数列.
故.
（2），所以.
所以，
故 .
【点睛】
本题考查了求等比数列的通项公式和裂项相消法求数列和的问题，属于基础题.
21．（1）（2）
【分析】
（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组可求得的值.并由此求得数列的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，根据基本元的思想，，将其转化为的形式，由此求得的值，根据等比数列前项和公式求得数列的前项和.
【详解】
解：（1）设的公差为，则由得,
故的通项公式，即．
（2）由（1）得．
设的公比为，则，从而，
故的前项和．
【点睛】
本小题主要考查利用基本元的思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题.
22．(1), ;(2)见解析.
【分析】
（1）由题设中的递推关系可得，再对原有的递推关系取，两者结合可得的值，从而利用数列为等比数列求出其通项.
（2）利用错位相减法求，令，利用数列的单调性可以证明，从而原不等式成立.
【详解】
（1）当时，，
得，
又由及，得
因为等比数列，故有，解得，
由，所以，故，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
（2）
①
②
①-②得：
所以，又，
故
令，则，故单调递减，
又，所以恒成立，所以
【点睛】
（1）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
（2）数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.