必修5 第2章数列-等差数列的通项 基础测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

等差数列的通项基础测试题
一、单选题
1．已知实数列1，x，y，z，5成等差数列，则( )
A．3 B．6 C．9 D．12
2．已知正项数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则（ ）
A．33 B．34 C．38 D．35
3．已知等差数列中，与的等差中项是15，，则（ ）
A．6 B．9 C．18 D．24
4．设数列为等差数列，若，则（ ）
A．15 B．20 C．30 D．60
5．在等差数列中，，公差，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．在等差数列中，已知，则（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
7．等差数列中，，则公差（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．已知等差数列的公差为，且，若，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．等差数列，，，的第四项等于（ ）
A． B． C． D．
10．如果成等差数列，那么（ ）
A． B． C． D．
11．在和之间插入10个数，使它们与，组成等差数列，则该数列的公差为（ ）
A． B． C． D．
12．在数列 中，，则等于(　　)
A．2 013 B．2 012
C．2 011 D．2 010
二、填空题
13．在等差数列中，已知，则_______.
14．已知等差数列{????????}，若，则__________________.
15．已知数列是等差数列，且，则实数__________.
16．在和之间插入两个数，，使这四个数成等差数列，则公差为__________.
三、解答题
17．已知等差数列中，，，求此数列的通项公式.
18．已知等差数列中，且为方程的两个实根，求此数列的通项公式.
19．已知数列的通项公式.
（1）求，；
（2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求数列的通项公式.
20．已知是等差数列.
（1）若，求.
（2）若，求的通项公式.
（3），求.
21．在等差数列中，
（1）已知，求.
（2）已知，求和.
（3）已知，求.
22．已知等差数列的公差为，求证：
（1）.
（2）若，则.
参考答案
1．C
【分析】
直接根据等差中项求解即可．
【详解】
解：∵实数列1，x，y，z，5成等差数列，
∴，
得，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等差中项，属于基础题．
2．C
【分析】
设正项数列的奇数项依次成公差为的等差数列，偶数项依次成公比为的等比数列，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求和．
【详解】
正项数列的奇数项依次成公差为的等差数列，偶数项依次成公比为的等比数列， 且，，，， 可得， 解得， 则；
故选：C．
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
3．D
【分析】
根据等差数列的性质：若，则，由此可得，再根据等差中项的概念，即可求出结果.
【详解】
由等差数列的性质可知，，所以，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，熟练掌握若，则是解题的关键，属于基础题.
4．D
【分析】
根据等差数列的等差中项定义,即可代入求解.
【详解】
数列为等差数列,
由等差中项定义可知
所以,即
则
故选:D
【点睛】
本题考查了等差中项的定义及应用,属于基础题.
5．A
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式直接求解即可.
【详解】
在等差数列中，因为，公差， 所以.
故选：A
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题.
6．C
【分析】
用基本量法，全部用首项和公差表示．
【详解】
，
∴，
∴．
故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查基本量计算，解题时可把已知式，求值式都用首项和公差表示即可得出结论，本题也可能等差数列的性质计算，可减少计算量．
7．A
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式列方程组即可得解．
【详解】
由等差数列中，，，
，，
联立解得公差，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．D
【分析】
根据中各项下标的特点，发现有，优先考虑等差数列的性质去解.
【详解】
解：，即，
根据等差数列的性质得?，，
∴
故选：D.
【点睛】
本题考查了等差数列的性质.掌握等差数列的有关性质，在计算时能够减少运算量，是基础题.
9．B
【分析】
先根据已知求出x的值，再求出等差数列的第四项得解.
【详解】
由题得.
所以等差数列的前三项为0,3,6,公差为3，
所以等差数列的第四项为9.
故选：B
【点睛】
本题主要考查等差中项的应用，考查等差数列的通项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10．C
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为，则，
解得，所以，
故选：C
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.
11．C
【分析】
设等差数列为{},根据条件可知,,然后直接求出公差.
【详解】
解:设等差数列为{},则
由题意,知,,
所以公差.
故选:C.
【点睛】
本题考查了等差数列基本量的计算,属基础题.
12．B
【分析】
根据等差数列的定义推知数列的首项是，公差是的等差数列，即可得到通项公式并解答．
【详解】
由，得，又，
数列是首项，公差的等差数列，
等差数列的通项公式，
故.
故选：B.
【点睛】
本题考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式的应用，属于基础题.
13．5
【分析】
直接利用等差中项求解即可.
【详解】
因为成等差数列，
所以，
即.
故答案为：.
14．7
【分析】
根据等差数列的下标性质可求得结果.
【详解】
∵，
∴，
.
故答案为：7
【点睛】
关键点点睛：根据等差数列的下标性质求解是解题关键.
15．0
【分析】
若数列是等差数列，则是关于的一次函数，从而可求得的值
【详解】
解：是等差数列，且，
是关于的一次函数，.
故答案为：0
16．3
【分析】
设该等差数列为，其首项为，公差为，根据题中条件列出方程求解，即可得出公差.
【详解】
设该等差数列为，其首项为，公差为，由题知，，，
即，解得.
故答案为：.
17．
【分析】
根据等差数列的通项公式列方程组求解即可.
【详解】
解：等差数列的公差为，
则，解得，
则，
即.
【点睛】
本题考查等差数列通项公式的求解，是基础题.
18．
【分析】
由为方程的两个实根，则，，再求出，然后求出公差，再求通项公式即可得解.
【详解】
解：由为方程的两个实根，则，，
又，则，
又数列为等差数列，
设数列的公差为，
则，
即，
即，
故数列的通项公式为.
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了韦达定理，属基础题.
19．（1），；（2）.
【分析】
（1）根据通项公式，可直接得出结果；
（2）先由题意，得到等比数列的首项和公比，进而可得其通项公式.
【详解】
（1）因为，所以，，
（2）由题意知：等比数列中，，，
公比
∴等比数列的通项公式
20．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用等差数列下标的性质，对化简，可以求出，再根据等差数列下标的性质求出的值；
（2）利用等差数列下标的性质，由，可以求出，进而由
，可以得出或，利用等差数列的通项公式可以求出的通项公式；
（3）利用等差数列的下标性质可以直接求出的值，也可以根据等差数列求公差的公式，求出.
【详解】
（1）
，
∴，
∴.
（2）由，得，
于是
解得或
当时，公差，
此时.
当时，公差，
此时.
（3）
或，其中为数列的公差.
∵，∴.
【点睛】
本题考查了等差数列的下标性质，考查了数学运算能力. 应注意：
在等差数列中，序号成等差的项也组成一个等差数列，即是等差数列，公差为.
21．（1）；（2）；（3）或.
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式，由，得到关于首项和公差的二元一次方程组，解这个二元一次方程组，求出首项和公差，最后利用等差数列的通项公式求出；
（2）由，可以求出公差，再由，通过等差数列的通项公式，求出；
（3）由可以公差，再由，根据等差数列的性质，可以求出，最后可以求出.
【详解】
（1）设公差，
（2）因为，所以公差，，
即.
（3）设公差，因为，所以.∴，解得或.
当时，；
当时，.
【点睛】
本题考查了等差数列基本量计算，考查了等差数列的通项公式，考查了数学运算能力.
22．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）运用分别等差数列的通项公式表示即可证明出；
（2）运用已知，结合（1）的结论可以证明出结论.
【详解】
（1）∵，
两式相减，得，
∴.
（2）∵，
∴.
由（1），得，
∴.
【点睛】
本题考查了等差数列两个性质的证明. 应注意：
（1）本例的结论是等差数列的两个重要性质，可用这两个性质证明或解答相关问题.
（2）第2个性质称为等差数列的“等和性”，还可以推广，如：当时，有