必修5 第3章不等式 基础检测题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

人教A版必修5第三章不等式基础检测题
一、单选题
1．下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
2．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．不等式对于一切实数恒成立，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．20
6．已知不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，
后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
8．已知点(1，2)与(3，1)在直线x+y—a=0的两侧，则a的取值范围是（ ）
A．(1，2) B．(1，3) C．(2，3) D．(3，4)
9．设实数，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．3
10．设，，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．与有关
11．已知函数，不等式的解集为，则的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
12．若a，b为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④ .其中恒成立的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
13．不等式的解集为______________.
14．已知，则的最小值为______________.
15．规定符号“⊙”表示一种运算，定义为非负实数)，若，则的取值范围是________.
16．如图，正方形OABC的边长为a，，函数与AB交于点Q，函数与BC交于点P，当最小时，的值为_______．
三、解答题
17．解下列不等式
（1）
（2）
18．（1）已知平面向量，，若与垂直，求x；
（2）求关于x的不等式的解集．
19．已知不等式的解集为或.
（1）求；
（2）解不等式.
20．已知f（x）是二次函数，不等式f（x）<0的解集是（0，5） ，且f（x）在区间[－1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在区间[－1，4]的值域．
21．第三届进口博览会将于11月5日至10日在上海青浦国家会展中心举行，某参展企业为了制作一份精美的宣传画册，要求纸张的形状为矩形，面积为，如图所示：其中上边，下边和左边各留宽为的空白，右边留宽为的空白，中间阴影部分为文字宣传区域；设矩形画册的长为，宽为，文字宣传区域面积为.
（1）用，表示；
（2）当，各为多少时，文字宣传区域面积最大？最大面积是多少？
22．已知二次函数满足，且，，
（1）求函数的解析式；
（2）是否存在实数m，使得二次函数在上的图象恒在直线的上方？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．D
【分析】
对于A，B，C举反例可判断，对于D利用不等式的性质可判断
【详解】
若，则，成立，而此时，所以A错误；
，，B错误；
，，，C错误；
由不等式同向可加性知D正确．
故选：D
2．C
【分析】
利用二次不等式的解法可求得原不等式的解集.
【详解】
因为的两根为、，所以不等式的解集为.
故选：C.
3．A
【分析】
由对于一切实数恒成立知，求解即可.
【详解】
解：对于一切实数恒成立，
，
即得：，
即.
故选：A.
4．B
【分析】
利用基本不等式进行求解即可.
【详解】
因为，所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此要想关于的不等式在区间上恒成立，
只需.
故选：B
5．C
【分析】
根据，展开利用基本不等式即可求解.
【详解】
由正数，满足，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为16.
故选：C
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
6．A
【分析】
由题意可得：方程的两个根分别为和，利用根与系数的关系即可求解.
【详解】
由题意可得：方程的两个根分别为和，
则 ，解得： ，所以，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题关键点是理解和是方程的两个根，利用根与系数的关系得出关于的方程即可求出的值.
7．B
【分析】
利用不等式性质，结合特殊值法，即可判断选项的正误.
【详解】
A中，有，错误；
B中，时，成立，正确；
C中，时，，错误；
D中，由题设，当时，，错误；
故选：B
8．D
【分析】
解不等式可得．
【详解】
∵点(1，2)与(3，1)在直线x+y—a=0的两侧，
∴，解得．
故选：D．
9．D
【分析】
画出可行域,根据目标函数表示动点P与原点所确定直线的斜率求解.
【详解】
由实数，满足约束条件，画出可行域如图所示：
目标函数表示动点P与原点所确定直线的斜率，
当点P为点时，目标函数取得最大值，最大值是3，
故选：D
10．D
【分析】
直接利用作差法，由判断.
【详解】
因为，
当或时, ，
当时，，
所以与的大小关系与有关，
故选：D
11．B
【分析】
利用二次函数与不等式的解集，判断开口方向，利用对称性推出所求函数的图象即可.
【详解】
因为函数，不等式的解集为或，
所以开口向下且与轴交点横坐标为，1，
又与的图象关于轴对称，
所以图象B符合.
故选：B
12．C
【分析】
①②由基本不等式可得到结果，③④举反例可得结论不成立.
【详解】
解：对于①，由重要不等式可知①正确；
对于②， ，故②正确；
对于③，当时，不等式的左边为，右边为，可知③不正确；
对于④，令可知④不正确．
故恒成立的个数为个.
故选：C.
13．
【分析】
将不等式移项，通分，转化为，等价于，利用一元二次不等式的求法，求解即可得到不等式的解集．
【详解】
解：不等式可以转化为，
等价于，
，
，
不等式的解集为．
故答案为：．
14．3
【分析】
化简函数为，再利用基本不等式即可求出.
【详解】
，
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为3.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
15．
【分析】
根据新定义，求得，结合，得出不等式，即可求解.
【详解】
由题意，新定义为非负实数)，
可得，
因为，所以，可化为，
可得，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
16．
【分析】
由题意可知，再利用基本不等式求的最小值，从而可求出的值，
【详解】
解：由题意可知，
因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当最小时，的值为
故答案为：
17．（1）；（2）或.
【分析】
（1）先将不等式化为，进而可求出结果；
（2）先将不等式化为，求解即可得出结果.
【详解】
（1）由得，所以，则，
所以原不等式的解集为；
（2）由得，解得或，
所以原不等式的解集为或.
18．（1）或；（2）分类讨论，答案见解析．
【分析】
（1）由向量垂直的坐标表示，计算即可得出结果；
（2）对参数分情况讨论，分别求得不等式的解集．
【详解】
（1）∵，∴，
∴或．
（2）①时解集，
②时解集且
③时解集．
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标表示、一元二次不等式的解法，意在考查学生的分类讨论思想及数学运算的学科素养，属基础题.
19．（1）a＝1；（2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为
【分析】
（1）由已知可知或是方程的根，把根代入方程中可求出的值；
（2）由（1）可知不等不等式化为，然后分，和求解即可
【详解】
解：（1）因为不等式的解集为或，
所以或是方程的根，
所以，解得
（2）由（1）可知不等式化为，
即
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为
【点睛】
此题考查由一元二次不等式的解集求参数，考查一元二次不等式的解法，属于基础题
20．（1）f（x）＝2x2－10x；（2）
【解析】
试题分析：（1）求函数解析式采用待定系数法，首先根据已知条件设出函数式f（x）＝ax（x－5），代入已知条件可求得a值，从而确定函数解析式；（2）由函数式得到函数的对称轴，从而确定函数在区间[-1,4]上的单调性，从而求得最值
试题解析：（1）∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5）,
∴可设f（x）＝ax（x－5）（a＞0）
∴ f（x）在区间[－1，4]上的最大值是f（－1）＝6a．由已知得6a＝12, ∴ a＝2,
∴ f（x）＝2x（x－5）＝2x2－10x（x∈R）．
（2）因为y=对称轴为x=在区间[－1，4]上，在x=处取最小值为，
在x=时取最大值为12．
∴值域为．
考点：1．二次函数解析式；2．函数单调性与最值
21．（1），其中且；（2）当，时面积最大且（）.
【分析】
（1）由题意可得.
（2）根据基本不等式可求文字宣传区域面积最大值以及何时取最大值.
【详解】
（1）由题设可得（），
其中且.
（2）由（1）可得，
由基本不等式可得，
当且仅当，时等号成立，
故当，时，（）
22．（1）；（2）存在；.
【分析】
（1）根据题意，分析可得的对称轴为，结合的值设，又由，可得a的值，即可得函数的解析式；
（2）根据题意，假设存在存在实数m，可得在上恒成立，设，结合二次函数的性质可得，解可得m的取值范围，即可得答案．
【详解】
（1）因为，所以二次函数的图象的对称轴为，
又，故可设二次函数，
又因为，所以，解得：，
所以；
（2）假设存在实数，使得二次函数在上的图象恒在直线的上方，等价于不等式，
即在上恒成立，
令，即等价于，
解得：，
所以实数的取值范围为.