必修5 第3章不等式 综合检测题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

人教A版必修5第三章不等式综合检测题
一、单选题
1．已知且，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果，那么的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
3．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点，，若、两点在直线的同侧，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．制作一个面积为2，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济（够用，又耗材最少）的是（ ）
A．6.2 B．6.8
C．7 D．7.2
7．设，，若，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．
8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，代数的很多公理或定理都能够通过图形实现证明，称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
9．设，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．若实数、满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．-2 B．
C．-1 D．
12．已知且，则（ ）
A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值
二、填空题
13．已知正数x，y满足，则的取值范围为____________.
14．函数的值域为_____.
15．已知集合，，且，则实数的取值范围是________.
16．等式对恒成立，其中，则______.
三、解答题
17．已知f（x）是二次函数，不等式f（x）<0的解集是（0，5） ，且f（x）在区间[－1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在区间[－1，4]的值域．
18．已知不等式
（1）若对于所有的实数不等式恒成立，求的取值范围；
（2）设不等式对于满足的一切的值都成立，求的取值范围．
19．已知函数.
（1）若y<0的解集为，求a的值；
（2）若a>0，求关于x的不等式y>0的解集.
20．已知，， .
（1）求的最小值，并求取到最小值时x的值；
（2）求的最小值，并求取到最小值时x的值.
21．已知函数
（1）若，求x的取值范围；
（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围.
22．某制造商为拓展业务，计划引进一设备生产一种新型体育器材．通过市场分析，每月需投入固定成本3000元，生产x台需另投入成本元，且，若每台售价800元，且当月生产的体育器材该月内能全部售完．
（1）求制造商由该设备所获的月利润关于月产量x台的函数关系式；（利润=销售额-成本）
（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．
参考答案
1．D
【分析】
根据不等式的性质逐一判断选项即可.
【详解】
解：A选项：若，则，故A不正确；
B选项：若，则，故B不正确；
C选项：若，则，故C不正确；
D选项：，所以，两边同时加上，有，故D正确；
故选：D.
2．D
【分析】
利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，即最小值为4，
故选：D
3．A
【分析】
利用一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】
由，
得，
得，
所以不等式的解集为；
故选：A.
4．D
【分析】
直接利用基本不等式求解即可，解答过程注意等号成立的条件.
【详解】
∵，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
∴的取值范围为，
故选：D.
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
5．B
【分析】
将和代入可得得即可得解.
【详解】
∵、两点在直线的同侧，
∴把点、代入可得的符号相同，
即，解得，
故选:B.
6．C
【分析】
设两直角边为a，b，根据面积为2，得到ab=4，然后由，利用基本不等式求解.
【详解】
设两直角边为a，b，则ab=4，
则，
当且仅当时，取等号，
故选：C
7．C
【分析】
由已知可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】
，，，由可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.
故选：C.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8．D
【分析】
设，，可表示出，的长，根据勾股定理得出，根据可得结论.
【详解】
由图形可知：，，
在中，由勾股定理可得：
．
∵，
∴．
故选：D
9．D
【分析】
令，画出满足的可行域，将目标函数转化为，平移直线求解.
【详解】
令，画出，且可行域如图所示阴影部分：
将目标函数转化为：，平移直线，
由图象可知：z可取任意值，
所以目标函数的取值范围是
故选：D
10．A
【分析】
由题可得，即可求出.
【详解】
，
，当且仅当等号成立，
则，.
故选：A.
11．A
【分析】
画出约束条件的可行域，再由为点与点P确定的直线的斜率求解.
【详解】
画出约束条件的可行域如图所示阴影部分：
因为可以看作经过点与点P的直线的斜率，
结合图像易知，当直线经过点时，斜率最小，
所以的最小值为，
故选：A
12．A
【分析】
根据，变形为，再利用不等式的基本性质得到，进而得到，然后由，利用基本不等式求解.
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
当且仅当时取等号，
故选：A.
【点睛】
思路点睛：本题思路是利用分离常数法转化为，再由，利用不等式的性质构造，再利用基本不等式求解.
13．
【分析】
化简得：，利用均值不等式以及换元求出答案.
【详解】
化简得：
因为：，由均值不等式得：，
令，则．化简得
解得或（舍去），
所以的取值范围为.
故答案为：.
14．
【分析】
令，则，原函数等价于，用基本不等式的性质求值域即可.
【详解】
解： ，令，则，原函数等价于，
当时，，当且仅当时取等；
当时，，当且仅当时取等；
综上所述，的值域为：.
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：换元之后考虑的范围，和分别求值域，再综上即可.
15．
【分析】
先求得集合，根据，得出，结合二次函数的性质，分和两种情况讨论，即可求解.
【详解】
因为，
所以不等式，可化为，可得，
又由，所以集合，
又因为，所以，所以，
要使得，
对于不等式，
当时，不等式可化为不成立，此时不等式的解集为；
当时，要使得，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故答案：
16．或4
【分析】
对分类讨论，当时，由得到，由一次函数的图象可知不存在；当时，由，利用数形结合的思想得出的整数解.
【详解】
当时，由得到在恒成立，
则不存在；
当时，由，
可得，，
又的大致图象可知：
，再由，得到或，
所以或4.
故答案为：或4.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了不等式恒成立求参数值，解题的关键是利用数形结合求出满足的关系式，考查了数形结合、 分类讨论的思想.
17．（1）f（x）＝2x2－10x；（2）
【解析】
试题分析：（1）求函数解析式采用待定系数法，首先根据已知条件设出函数式f（x）＝ax（x－5），代入已知条件可求得a值，从而确定函数解析式；（2）由函数式得到函数的对称轴，从而确定函数在区间[-1,4]上的单调性，从而求得最值
试题解析：（1）∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5）,
∴可设f（x）＝ax（x－5）（a＞0）
∴ f（x）在区间[－1，4]上的最大值是f（－1）＝6a．由已知得6a＝12, ∴ a＝2,
∴ f（x）＝2x（x－5）＝2x2－10x（x∈R）．
（2）因为y=对称轴为x=在区间[－1，4]上，在x=处取最小值为，
在x=时取最大值为12．
∴值域为．
考点：1．二次函数解析式；2．函数单调性与最值
18．（1）不存在这样的m使得不等式恒成立（2）
【解析】
试题分析：（1）当时，经检验不满足条件；解得时，设，则由题意可得有，解得．综合可得结论．
（2）由题意，设g（，则由题意可得，由此求得的取值范围．
试题解析：（1）不存在这样的使得不等式恒成立（2）
（1）当时,，即当时不等式不恒成立，不满足条件
当时，设，由于恒成立，则有
解得
综上所述，不存在这样的使得不等式恒成立．
（2）由题意，设，则有
即，解得
所以的取值范围为
考点：一元二次不等式的应用
19．（1）2；（2）答案见解析
【分析】
（1）由题可得和1是的两个根，由韦达定理即可求出；
（2）不等式可化为，分，，三种情况可得出.
【详解】
（1）若y<0的解集为，则和1是的两个根，
则 ，解得；
（2）由得，即，
当，即时，不等式的解集为或；
当，即时，不等式可化为，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为或.
20．（1）64，；（2）18，.
【分析】
（1）利用已知条件得到，再利用基本不等式求解即可；（2）利用已知条件得到，求，再利用基本不等式求解即可.
【详解】
（1）由，
得，又， ，
故，
故，
当且仅当，
即时等号成立，
∴此时；
（2）由，
得，
则.
当且仅当，
即时等号成立.
∴此时.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
21．（1）； （2）.
【分析】
（1）分和两种情况讨论，结合函数的解析式，列出不等式，即可求解；
（2）令，得到，把对于恒成立，转化为对于恒成立，结合函数的最值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，
当时，，令，整理得，
因为，可得，所以，解得；
当时，，令，整理得，此时无解，
所以不等式的解集为，即x的取值范围.
（2）令，因为，可得，
则不等式对于恒成立，即对于恒成立，
因为，可得，
可得对于恒成立，
令，当时，，
所以，所以，
即实数m的取值范围.
【点睛】
不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法：
1、若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求出解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）；
2、转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，则恒成立，转化为，即；恒成立，转化为，即.
22．（1）；（2）50台时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为5600元．
【分析】
（1）分和时两种情况，利用利润＝销售额－成本列式即可；
（2）利用二次函数求时的最大值，利用基本不等式求时的最大值，取最大即可.
【详解】
（1）当时，
；
当时，
．
∴．
（2）当时，，
∴当时，．
当时，
，
当且仅当，
即时，．
当时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为5600元．
【点睛】
关键点点睛：读懂题意，能写出实际问题中的函数关系，利用二次函数求最值和基本不等式求最值是关键，属于中档题.