选修2-1 第2章圆锥曲线与方程 基础测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 选修2-1 第2章圆锥曲线与方程 基础测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1021.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-19 01:05:16 | ||
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文档简介
人教A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程基础测试题
一、单选题
1．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
2．抛物线的准线为x=-4，则抛物线的方程为（ ）
A．x2=16y B．x2=8y C．y2=16x D．y2=8x
3．下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）
A． B． C． D．
4．椭圆的焦点坐标是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．下列双曲线中离心率为的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点P为双曲线右支上一点，分别为双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
7．已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
8．已知双曲线方程，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．双曲线的焦点坐标是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．方程所表示的曲线是（ ）
A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线
11．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知双曲线=1(a>0，b>0)，则过它的焦点且垂直于x轴的弦长为_____.
14．设双曲线的渐近线方程为，则的值为_______．
15．若双曲线的一条渐近线的斜率是，则实数的值为________.
16．过圆上任意一点作轴垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为______________．
三、解答题
17．已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．
（1）求的值；
（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．
18．（1）已知椭圆的焦距为，准线方程为，求椭圆的方程；
（2）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求双曲线的方程.
19．已知椭圆，一组平行直线的斜率是.
（1）这组直线何时与椭圆有公共点？
（2）当它们与椭圆相交时，求这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程.
20．已知动圆经过点F(2,0)，并且与直线x＝－2相切
（1）求动圆圆心P的轨迹M的方程；
（2）经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线l与轨迹M相交于A，B两点，求|AB|
21．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.
（1）求点的坐标和抛物线的准线方程；
（2）过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积.
22．(本题满分14分)
已知椭圆的右焦点为F,右准线为l，且直线与相交于A点.
（Ⅰ）若⊙C经过O、F、A三点,求⊙C的方程；
（Ⅱ）当变化时, 求证：⊙C经过除原点O外的另一个定点B；
（Ⅲ）若时,求椭圆离心率e的范围.
参考答案
1．B
【分析】
根据焦点在轴上的椭圆的标准方程特征，结合椭圆焦距公式进行求解即可.
【详解】
因为椭圆的焦点在轴上，所以有，
因为该椭圆的焦距为，所以有.
故选：B
2．C
【分析】
根据准线方程求得，判断出抛物线的开口方向，由此求得抛物线方程.
【详解】
由抛物线的准线为，得，，且抛物线开口向右，
所以抛物线的方程为.
故选：C
3．D
【分析】
根据双曲线的方程逐一求四个方程的渐近线即可求解.
【详解】
对于选项A：中，，，渐近线方程为，故选项A不正确；
对于选项B：中，，，渐近线方程为，
故选项B不正确；
对于选项C：中，，，渐近线方程为，故选项C不正确；
对于选项D：中，，，渐近线方程为，故选项D正确，
故选：D
4．C
【分析】
根据椭圆方程求得c，再确定焦点位置即可.
【详解】
因为椭圆的方程为，
所以，且焦点在y轴上，
所以焦点坐标为：，
故选：C
5．B
【分析】
根据选项中的双曲线方程，逐项求解，即可得出结果.
【详解】
A选项，双曲线的实轴长为，焦距为，所以离心率为，不满足题意；
B选项，双曲线的实轴长为，焦距为，所以离心率为，满足题意；
C选项，双曲线的实轴长为，焦距为，所以离心率为，不满足题意；
D选项，双曲线的实轴长为，焦距为，所以离心率为，不满足题意；
故选：B.
6．D
【分析】
根据双曲线的定义可求得结果.
【详解】
由得，所以，
因为点P为双曲线右支上一点，
所以，
所以.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：利用双曲线的定义求解是解题关键.
7．C
【分析】
将直线方程和椭圆方程联立，解方程组，由解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系
【详解】
解：由，得，化简得，
因为，
所以方程无解，
所以直线与椭圆的位置关系是相离，
故选：C
8．C
【分析】
将双曲线的方程化为标准方程，求出、的值，由此可得出该双曲线的渐近线方程.
【详解】
双曲线的标准方程为，则，，
所以，该双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
9．D
【分析】
根据题意，由双曲线的方程求出、的值，计算可得的值，结合双曲线的焦点位置，分析可得答案.
【详解】
根据题意，双曲线的方程为，
其中，，则，
又由双曲线的焦点在轴上，则其焦点坐标为，；
故选：D.
10．C
【分析】
根据确定、的符号，由此可判断出方程所表示的曲线.
【详解】
，则，，
所以，方程所表示的曲线是焦点在轴上的双曲线.
故选：C.
11．C
【分析】
直接根据椭圆的几何性质列不等式求解即可.
【详解】
因为方程表示焦点在轴上的椭圆
，
故选：C.
12．D
【分析】
根据椭圆方程，解得，然后由椭圆的定义求解.
【详解】
因为椭圆方程为，
所以 ，
由椭圆的定义得： ，
所以，
所以的周长是8
故选：D
13．
【分析】
运用代入法进行求解即可.
【详解】
设一个焦点为F(c，0)，其中c2=a2+b2，过F且垂直于x轴的弦为AB，则A(c，y0)，∵A(c，y0)在双曲线上，∴=1.∴y0=±b=±.∴|AB|=2|y0|=.
故答案为：
14．4
【分析】
由双曲线可知其渐近线方程为，从而可求出的值
【详解】
解：由双曲线可得其渐近线方程为，
因为双曲线的渐近线方程为，
所以，所以，
故答案为：4
15．
【分析】
求出、，由题意可得出，进而可求得实数的值.
【详解】
在双曲线中，，，，
由于该双曲线的一条渐近线的斜率为，则，解得.
故答案为：.
16．
【分析】
利用中点坐标公式，确定，坐标之间的关系，将的坐标代入圆的方程，即可求得的轨迹方程．
【详解】
设，，
则，
在圆上，
，
整理得，
故答案为：．
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意，由，可得，解得，再由点，代入即可得解；
（2），设，，根据点M为线段的中点，可得：
，由点Q为抛物线C上，代入即可得解，
【详解】
（1）由抛物线经过点可得：，
又，可得，
解得，；
（2）由（1）知，则，
设，，
根据点M为线段的中点，可得：
，即，
由点Q为抛物线C上，所以，
整理可得点M的轨迹方程为.
18．（1）；（2）
【分析】
（1）由已知可得，，列出方程求解即可得出结果；
（2）由已知可得，，计算即可得出结果.
【详解】
（1）焦距为，则，准线方程为，则，即，
由，可得：，所以椭圆的方程为；
（2）由双曲线的一条渐近线方程为可知，，
且与椭圆有公共焦点，则，
又因为，即，解得：，，，
所以双曲线的方程为.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及双曲线的标准方程，考查计算能力，属于基础题.
19．（1）截距在范围内；（2）.
【分析】
（1）由已知设直线方程结合椭圆方程，根据有公共点即所得方程的判别式即可知直线截距在上有交点；（2）结合（1）由中点坐标可得，而其中必有原点即可求直线方程；
【详解】
（1）设平行直线的方程为，若直线与椭圆有公共点，则：
将代入，整理得：，
∴解得：；
（2）令交点坐标分别为，由（1）知：，而，
所以线段中点坐标为，其中必有一个中点为坐标原点，故直线的斜率为，
∴所在的直线方程：；
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系，计算确定何时它们会有公共点，以及求交点弦的中点所构成直线的方程.
20．（1）（2）16
【分析】
（1）设，根据题目条件列方程可求得结果；
（2）联立直线与抛物线方程，根据弦长公式可得结果.
【详解】
（1）设，则依题意可得，
化简得，
所以动圆圆心P的轨迹M的方程为
（2）直线的方程为，即，
联立，消去并整理得，
设，，
则，，
由弦长公式可得.
所以
【点睛】
本题考查了求动点的轨迹方程，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理和弦长公式，属于基础题.
21．（1），；（2）
【分析】
（1）因为在抛物线上，可得，由抛物线的性质即可求出结果；
（2）由抛物线的定义可知，根据点斜式可求直线的方程为 ，利用点到直线距离公式求出高，进而求出面积.
【详解】
（1）∵在抛物线上，，
∴点的坐标为，抛物线的准线方程为；
（2）设 的坐标分别为，则，
，∴直线的方程为 ，
点到直线的距离，
.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的基本概念，直线与抛物线的位置关系，属于基础题.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【详解】
【分析】（1）经过三点的圆，设一般方程，代入三点求解。
（2）设B,化圆为关于实数的关系式，对于任意实数恒成立。
（3）根据，得到的范围。然后写出离心率解出范围。
【详解】
解:（Ⅰ）,即,
,准线, ……………………………(2分)
设⊙C的方程为,将O、F、A三点坐标代入得：
,解得 ……………………(4分)
∴⊙C的方程为 ……………………………(5分)
（Ⅱ）设点B坐标为,则,整理得：
对任意实数都成立 ……………………(7分)
∴,解得或,
故当变化时，⊙C经过除原点O外的另外一个定点B……………(9分)
（Ⅲ）由B、、得,
∴,解得 ………………………(10分)
又 ,∴
又椭圆的离心率（）…………（12分）
∴椭圆的离心率的范围是 ………………………………（14分）
【点睛】考察了过三点圆的计算，椭圆的离心率问题。
一、单选题
1．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
2．抛物线的准线为x=-4，则抛物线的方程为（ ）
A．x2=16y B．x2=8y C．y2=16x D．y2=8x
3．下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）
A． B． C． D．
4．椭圆的焦点坐标是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．下列双曲线中离心率为的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点P为双曲线右支上一点，分别为双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
7．已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
8．已知双曲线方程，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．双曲线的焦点坐标是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．方程所表示的曲线是（ ）
A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线
11．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知双曲线=1(a>0，b>0)，则过它的焦点且垂直于x轴的弦长为_____.
14．设双曲线的渐近线方程为，则的值为_______．
15．若双曲线的一条渐近线的斜率是，则实数的值为________.
16．过圆上任意一点作轴垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为______________．
三、解答题
17．已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．
（1）求的值；
（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．
18．（1）已知椭圆的焦距为，准线方程为，求椭圆的方程；
（2）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求双曲线的方程.
19．已知椭圆，一组平行直线的斜率是.
（1）这组直线何时与椭圆有公共点？
（2）当它们与椭圆相交时，求这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程.
20．已知动圆经过点F(2,0)，并且与直线x＝－2相切
（1）求动圆圆心P的轨迹M的方程；
（2）经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线l与轨迹M相交于A，B两点，求|AB|
21．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.
（1）求点的坐标和抛物线的准线方程；
（2）过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积.
22．(本题满分14分)
已知椭圆的右焦点为F,右准线为l，且直线与相交于A点.
（Ⅰ）若⊙C经过O、F、A三点,求⊙C的方程；
（Ⅱ）当变化时, 求证：⊙C经过除原点O外的另一个定点B；
（Ⅲ）若时,求椭圆离心率e的范围.
参考答案
1．B
【分析】
根据焦点在轴上的椭圆的标准方程特征，结合椭圆焦距公式进行求解即可.
【详解】
因为椭圆的焦点在轴上，所以有，
因为该椭圆的焦距为，所以有.
故选：B
2．C
【分析】
根据准线方程求得，判断出抛物线的开口方向，由此求得抛物线方程.
【详解】
由抛物线的准线为，得，，且抛物线开口向右，
所以抛物线的方程为.
故选：C
3．D
【分析】
根据双曲线的方程逐一求四个方程的渐近线即可求解.
【详解】
对于选项A：中，，，渐近线方程为，故选项A不正确；
对于选项B：中，，，渐近线方程为，
故选项B不正确；
对于选项C：中，，，渐近线方程为，故选项C不正确；
对于选项D：中，，，渐近线方程为，故选项D正确，
故选：D
4．C
【分析】
根据椭圆方程求得c，再确定焦点位置即可.
【详解】
因为椭圆的方程为，
所以，且焦点在y轴上，
所以焦点坐标为：，
故选：C
5．B
【分析】
根据选项中的双曲线方程，逐项求解，即可得出结果.
【详解】
A选项，双曲线的实轴长为，焦距为，所以离心率为，不满足题意；
B选项，双曲线的实轴长为，焦距为，所以离心率为，满足题意；
C选项，双曲线的实轴长为，焦距为，所以离心率为，不满足题意；
D选项，双曲线的实轴长为，焦距为，所以离心率为，不满足题意；
故选：B.
6．D
【分析】
根据双曲线的定义可求得结果.
【详解】
由得，所以，
因为点P为双曲线右支上一点，
所以，
所以.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：利用双曲线的定义求解是解题关键.
7．C
【分析】
将直线方程和椭圆方程联立，解方程组，由解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系
【详解】
解：由，得，化简得，
因为，
所以方程无解，
所以直线与椭圆的位置关系是相离，
故选：C
8．C
【分析】
将双曲线的方程化为标准方程，求出、的值，由此可得出该双曲线的渐近线方程.
【详解】
双曲线的标准方程为，则，，
所以，该双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
9．D
【分析】
根据题意，由双曲线的方程求出、的值，计算可得的值，结合双曲线的焦点位置，分析可得答案.
【详解】
根据题意，双曲线的方程为，
其中，，则，
又由双曲线的焦点在轴上，则其焦点坐标为，；
故选：D.
10．C
【分析】
根据确定、的符号，由此可判断出方程所表示的曲线.
【详解】
，则，，
所以，方程所表示的曲线是焦点在轴上的双曲线.
故选：C.
11．C
【分析】
直接根据椭圆的几何性质列不等式求解即可.
【详解】
因为方程表示焦点在轴上的椭圆
，
故选：C.
12．D
【分析】
根据椭圆方程，解得，然后由椭圆的定义求解.
【详解】
因为椭圆方程为，
所以 ，
由椭圆的定义得： ，
所以，
所以的周长是8
故选：D
13．
【分析】
运用代入法进行求解即可.
【详解】
设一个焦点为F(c，0)，其中c2=a2+b2，过F且垂直于x轴的弦为AB，则A(c，y0)，∵A(c，y0)在双曲线上，∴=1.∴y0=±b=±.∴|AB|=2|y0|=.
故答案为：
14．4
【分析】
由双曲线可知其渐近线方程为，从而可求出的值
【详解】
解：由双曲线可得其渐近线方程为，
因为双曲线的渐近线方程为，
所以，所以，
故答案为：4
15．
【分析】
求出、，由题意可得出，进而可求得实数的值.
【详解】
在双曲线中，，，，
由于该双曲线的一条渐近线的斜率为，则，解得.
故答案为：.
16．
【分析】
利用中点坐标公式，确定，坐标之间的关系，将的坐标代入圆的方程，即可求得的轨迹方程．
【详解】
设，，
则，
在圆上，
，
整理得，
故答案为：．
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意，由，可得，解得，再由点，代入即可得解；
（2），设，，根据点M为线段的中点，可得：
，由点Q为抛物线C上，代入即可得解，
【详解】
（1）由抛物线经过点可得：，
又，可得，
解得，；
（2）由（1）知，则，
设，，
根据点M为线段的中点，可得：
，即，
由点Q为抛物线C上，所以，
整理可得点M的轨迹方程为.
18．（1）；（2）
【分析】
（1）由已知可得，，列出方程求解即可得出结果；
（2）由已知可得，，计算即可得出结果.
【详解】
（1）焦距为，则，准线方程为，则，即，
由，可得：，所以椭圆的方程为；
（2）由双曲线的一条渐近线方程为可知，，
且与椭圆有公共焦点，则，
又因为，即，解得：，，，
所以双曲线的方程为.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及双曲线的标准方程，考查计算能力，属于基础题.
19．（1）截距在范围内；（2）.
【分析】
（1）由已知设直线方程结合椭圆方程，根据有公共点即所得方程的判别式即可知直线截距在上有交点；（2）结合（1）由中点坐标可得，而其中必有原点即可求直线方程；
【详解】
（1）设平行直线的方程为，若直线与椭圆有公共点，则：
将代入，整理得：，
∴解得：；
（2）令交点坐标分别为，由（1）知：，而，
所以线段中点坐标为，其中必有一个中点为坐标原点，故直线的斜率为，
∴所在的直线方程：；
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系，计算确定何时它们会有公共点，以及求交点弦的中点所构成直线的方程.
20．（1）（2）16
【分析】
（1）设，根据题目条件列方程可求得结果；
（2）联立直线与抛物线方程，根据弦长公式可得结果.
【详解】
（1）设，则依题意可得，
化简得，
所以动圆圆心P的轨迹M的方程为
（2）直线的方程为，即，
联立，消去并整理得，
设，，
则，，
由弦长公式可得.
所以
【点睛】
本题考查了求动点的轨迹方程，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理和弦长公式，属于基础题.
21．（1），；（2）
【分析】
（1）因为在抛物线上，可得，由抛物线的性质即可求出结果；
（2）由抛物线的定义可知，根据点斜式可求直线的方程为 ，利用点到直线距离公式求出高，进而求出面积.
【详解】
（1）∵在抛物线上，，
∴点的坐标为，抛物线的准线方程为；
（2）设 的坐标分别为，则，
，∴直线的方程为 ，
点到直线的距离，
.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的基本概念，直线与抛物线的位置关系，属于基础题.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【详解】
【分析】（1）经过三点的圆，设一般方程，代入三点求解。
（2）设B,化圆为关于实数的关系式，对于任意实数恒成立。
（3）根据，得到的范围。然后写出离心率解出范围。
【详解】
解:（Ⅰ）,即,
,准线, ……………………………(2分)
设⊙C的方程为,将O、F、A三点坐标代入得：
,解得 ……………………(4分)
∴⊙C的方程为 ……………………………(5分)
（Ⅱ）设点B坐标为,则,整理得：
对任意实数都成立 ……………………(7分)
∴,解得或,
故当变化时，⊙C经过除原点O外的另外一个定点B……………(9分)
（Ⅲ）由B、、得,
∴,解得 ………………………(10分)
又 ,∴
又椭圆的离心率（）…………（12分）
∴椭圆的离心率的范围是 ………………………………（14分）
【点睛】考察了过三点圆的计算，椭圆的离心率问题。