选修2-1 第2章圆锥曲线与方程-抛物线 基础测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

抛物线基础测试题
一、单选题
1．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．平面上动点M到点F(3，0)的距离等于M到直线l：x=-3的距离，则动点M满足的方程是（ ）
A．y2=6x B．y2=12x C．x2=6y D．x2=12y
3．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．下列抛物线中，其方程形式为的是（ ）
A． B．
C． D．
5．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
7．在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线x2=2y的焦点为F，准线为，则点F到准线的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
8．抛物线上到其焦点距离为5的点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
9．直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
10．已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
11．已知点为抛物线图象上一点，点F为抛物线的焦点，则等于（ ）
A．3 B． C．2 D．
12．设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段的中点为E，O为坐标原点，且，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
二、填空题
13．若抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的横坐标为_________.
14．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值 ．
15．若动点与定点的距离和动点与直线的距离相等，则动点的轨迹方程是______．
16．抛物线与过焦点的直线交于两点，为原点，则________.
三、解答题
17．根据下列条件分别写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是；
（2）焦点到准线的距离为，焦点在轴的正半轴上.
18．如图, 直线与抛物线交于两点, 线段的垂直平分线与直线交于点.
（1）求点的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段下方（含）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
19．如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值.
20．已知与抛物线交于A、B两点，
（1）若|AB|="10," 求实数的值．
（2）若, 求实数的值．
21．已知，，圆，一动圆在轴右侧与轴相切，同时与圆相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以，为焦点的椭圆。
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且，求曲线E的标准方程；
（3）在（1）、（2）的条件下，直线与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线的斜率的取值范围。
22．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆，它的离心率为，一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点M引椭圆的两条切线，切点分别是A,B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点；并出求定点的坐标.
（Ⅲ）是否存在实数，使得恒成立？(点为直线恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
【分析】
根据抛物线的方程为，求得p确定焦点位置即可.
【详解】
因为抛物线的方程为，
所以 ，焦点在y轴上，
所以准线方程为，
故选：A
2．B
【分析】
根据定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
【详解】
解:由条件可知，点M到点F(3,0)的距离与到直线x=-3的距离相等，
所以点M的轨迹是以F(3,0)为焦点，x=-3为准线的抛物线，
故,根据抛物线方程可得:
其方程为y2=12x.
故选：B
3．D
【分析】
求出，即得抛物线的准线方程.
【详解】
因为，
所以，
故准线方程为．
故选：D
4．A
【分析】
根据方程形式为，可得其图象关于轴对称，且，即可判断.
【详解】
解：根据方程形式为，可得其图象关于轴对称，且，
故可得该抛物线对称轴为轴，开口朝右.
故选：A.
【点睛】
本题考查了抛物线方程对应的图像，属于基础题.
5．B
【分析】
直接由抛物线的定义求出焦点坐标即可.
【详解】
解：由题意，抛物线的焦点在y上，开口向下，且，
.
抛物线的焦点坐标是.
故选：B.
6．A
【分析】
将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.
【详解】
由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
7．B
【分析】
由抛物线的标准方程可知，即可求解.
【详解】
因为抛物线x2=2y，
所以，即，
所以焦点F到准线的距离为1，
故选：B
8．C
【分析】
结合抛物线的定义判断出结果.
【详解】
依题意抛物线，，准线方程为，
结合抛物线的定义可知：抛物线上到其焦点距离为5的点的横坐标为，
将代入，得，解得，
所以抛物线上到其焦点距离为5的点有个.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.
9．A
【分析】
由题意得，再结合抛物线的定义即可求解.
【详解】
由题意得，
由抛物线的定义知：，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题.
10．C
【分析】
将题干中的等式变形为，利用距离的几何意义以及抛物线的定义可得出点的轨迹的形状.
【详解】
设点，由可得出，
由题意可知，点到原点的距离等于点到直线的距离，
由抛物线的定义可知，点的轨迹为抛物线.
故选：C.
【点睛】
本题考查抛物线轨迹的理解，考查抛物线的定义，属于基础题.
11．A
【分析】
由抛物线焦半径公式可直接求得结果.
【详解】
由抛物线方程知：，.
故选：.
【点睛】
本题考查抛物线焦半径的求解，关键是熟练应用抛物线的定义得到焦半径公式.
12．A
【分析】
利用点差法求解，设，由题意得，相减化简得，得，因为E在直线上，所以，再由，可求得
【详解】
解：由题意可知，则直线为，
设，由题意得，相减得：
，
因为E为线段的中点，所以，即，
因为E在直线上，所以，
又因为，所以.
故选：A
【点睛】
此题考查直线与抛物线的位置关系，考查点差法的应用，属于基础题
13．3
【分析】
根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，列关系即得结果.
【详解】
易见，抛物线的准线方程为，设，则到准线的距离为，等于到焦点的距离为4，即，故，即点的横坐标为3.
故答案为：3.
14．6
【解析】
试题分析：根据题意，由于双曲线的右焦点坐标为，因此可知抛物线的焦点,故答案为6
考点：考查了抛物线与双曲线的性质．.
点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p的值，属于基础题．
15．．
【分析】
本题考查抛物线的定义与方程，主要用于准确落实抛物线的定义，关键在于首先确定点在直线上，然后可判定P在过定点F且与定直线垂直的直线上，从而利用直线的垂直关系求得P的轨迹方程.
【详解】
因为定点在直线上，
所以到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹是直线，
就是经过定点与直线垂直的直线．
所以动点的轨迹方程是，
即．
故答案为：．
【点睛】
平面内到定点距离等于到定直线距离的动点的轨迹不一定是抛物线：当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与已知直线垂直的直线，当且仅当定点不在定直线上时，动点的轨迹才是抛物线.对圆锥曲线的概念的掌握一定要准确全面，此题易错误当成抛物线求解.
16．
【详解】
(1)当直线AB轴时,在中,令,有,则
,得.
(2)当直线AB与轴不互相垂直时,设AB的方程为:
由,消去,整理得,显然.
设,则,得
=+=+
===.
综(1),(2)所述,有．
17．（1）y2=－4x；（2）x2=y.
【分析】
（1）由焦点是知抛物线焦点在x轴负半轴上，可以设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），根据抛物线的焦点计算公式即可得到p的值；
（2）设焦点在y轴的正半轴上的抛物线的标准方程为x2=2py(p＞0)，则焦点坐标为，准线为，根据焦点到准线的距离是，可求得p的值，进而求出结果.
【详解】
（1）由焦点是知抛物线焦点在x轴负半轴上，设y2=－2px(p＞0)，
且=1，则p=2，故抛物线的标准方程为y2=－4x；
（2）设焦点在y轴的正半轴上的抛物线的标准方程为x2=2py(p＞0)，
则焦点坐标为，准线为，
则焦点到准线的距离是，
因此所求的抛物线的标准方程是x2=y.
【点睛】
本题是一道有关抛物线的题目，应掌握抛物线的标准方程，焦点的位置是易错点，属基础题.
18．(1) ；(2) 最大值30
【分析】
（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=-5代入求得Q的坐标．
（2）设出P的坐标，利用P到直线OQ的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得OQ的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．
【详解】
解：(1) 解方程组得或
即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).
由,
直线的垂直平分线方程
令, 得, ∴
(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设
∵点P到直线OQ的距离d==,,
∴=.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,
∴－4≤x<4－4或4－4< x≤8.
∵函数在区间上单调递增,
∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30
【点睛】
本题主要考查了抛物线的应用，点到直线的距离公式．考查了对解析几何基础知识的灵活运用．
19．（1）圆 的圆心坐标为，
即抛物线的焦点为,……………………3分
∴ ∴抛物线方程为……………………6分
1. 由题意知直线AD的方程为…………………7分即代入得=0
设，则，
……………………11分
∴
【分析】
（1）设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果；
（2）先由题意得出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再由为圆的直径，即可求出结果.
【详解】
（1）设抛物线方程为，
圆的圆心恰是抛物线的焦点，∴．
抛物线的方程为：；
（2）依题意直线的方程为
设，，则，得，
，．
．
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系；由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长，进而可求出结果，属于常考题型.
20．(1)；(2) m=" -8" ．
【解析】
试题分析：由，得，设，则
(1)所以，所以6分
(2)因为，所以，即，所以m= -8 6分
考点：直线与抛物线的综合应用；弦长公式．
点评：本题考查弦长的运算，解题时要注意椭圆性质的灵活运用和弦长公式的合理运用．在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理→弦长公式．
21．（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y）（x＞0），由动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，知|CF2|-x=1，由此能求出曲线C的方程．
（2）依题意，c=1，|PF1|=，得xp=，由此能求出曲线E的标准方程．
（3）设直线l与椭圆E交点A（x1，y1），B（x2，y2），A，B的中点M的坐标为（x0，y0），将A，B的坐标代入椭圆方程中，得3（x1-x2）（x1+x2）+4（y1-y2）（y1+y2）=0，由此能够求出直线l的斜率k的取值范围
解：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y）（x＞0）
因为动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，
所以|CF2|-x=1，…（1分）
∴(x-1)2+y2=x+1化简整理得y2=4x，曲线C的方程为y2=4x（x＞0）；?…（3分）（2）依题意，c=1，|PF1|=，得xp=，…（4分）∴|PF2|=，又由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2．…（5分）∴b2=a2-c2=3，所以曲线E的标准方程为
=1．…（6分）（3）设直线l与椭圆E交点A（x1，y1），B（x2，y2），A，B的中点M的坐标为（x0，y0），将A，B的坐标代入椭圆方程中，得3x12+4y12-12=0，3x22+4y22-12=0两式相减得3（x1-x2）（x1+x2）+4（y1-y2）（y1+y2）=0，∴=-，…（7分）∵y02=4x0，∴直线AB的斜率k==-y0，…（8分）由（2）知xp=，∴yp2=4xp=，∴yp=±由题设-＜y0＜ (y0≠0)，∴-＜-y0＜，…（10分）即-＜k＜（k≠0）．…（12分）
考点：曲线方程
点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意点差法和等价转化思想的合理运用．
22．（I）；（II）直线AB恒过定点．
（III）存在实数，使得．
【解析】
试题分析：（I）设椭圆方程为．抛物线的焦点是，故，又，所以，
所以所求的椭圆方程为……………3分
（II）设切点坐标为,,直线上一点M的坐标．则切线方程分别为，．又两切线均过点M，即，即点A,B的坐标都适合方程，而两点之间确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是，显然对任意实数t，点（1,0）都适合这个方程，故直线AB恒过定点． ………………………………6分[
（III）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得
，即
所以…………………..8分
不妨设
，同理……10分
所以
即．
故存在实数，使得． ……………………12分
考点：椭圆性质与方程，直线与椭圆相交的弦长
点评：直线与椭圆相交问题要充分利用韦达定理使其简化解题过程，圆锥曲线题目一直是学生得分较低的类型