选修2-1 第2章圆锥曲线与方程 综合测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

人教A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程综合测试题
一、单选题
1．已知双曲线的离心率是2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的左焦点为，且点在上，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）
A． B．
C． D．
5．抛物线上的点到抛物线焦点的距离为3，则（ ）
A． B． C．2 D．4
6．椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A．24 B．28 C．40 D．48
7．已知双曲线左?右焦点分别为，过的直线交双曲线的左支于两点，且，若的周长为24，则双曲线的实轴长是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于点，若以的右焦点为圆心，以为半径的圆经过?两点(为坐标原点)，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知分别为的左、石焦点，为双曲线右支上任一点，若最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知倾斜角为直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点.弦的长为（ ）
A． B． C． D．
11．椭圆的上、下焦点分别为、，过椭圆上的点作向量使得，且为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．抛物线x2=-y上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值为_____.
14．已知点P(k，1)，椭圆=1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为_____.
15．双曲线的左?右焦点为、，若点在双曲线上，，则______.
16．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且，若的面积为9，则________．
三、解答题
17．如图，椭圆=1的左、右焦点为F1，F2，一条直线l经过F1且与椭圆相交于A，B两点.
（1）求△ABF2的周长；
（2）若l的倾斜角是45°，求△ABF2的面积.
18．已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线与椭圆C交于M、N两点，O为坐标原点，若点E满足，且点E在椭圆C上，求实数t的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知焦点在轴上，离心率为的椭圆：的左顶点为，点到的距离为6.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于点，过点与右焦点的直线交椭圆于点，求点的坐标.
20．已知双曲线.
（1）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程；
（2）若直线与双曲线交于A、B两点，且A、B的中点坐标为（1，1），求直线的斜率.
21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，动圆M与直线相切且与圆F外切．
（1）记圆心M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（2）已知，曲线C上一点P满足，求的大小．
22．已知椭圆的离心率为，其短轴长为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值.
参考答案
1．B
【分析】
由结合解出的值即可得到答案.
【详解】
因为，所以，又
所以，即，
从而渐近线方程为.
故选：B.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率及渐近线方程的计算，解题的关键在于推出间的比例关系，属于基础题.
2．C
【解析】
试题分析：由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，
，选C．
考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．
3．C
【分析】
由椭圆的左焦点坐标，可求出右焦点坐标为，根据椭圆定义即可求出长轴
，求出即可得解.
【详解】
设的左、右焦点分别为，，
由左焦点为，为
则，
即，
则.
故选：C.
【点睛】
本题考查了求椭圆离心率问题，考查了椭圆的定义和离心率公式，属于简单题.
4．A
【解析】
由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.
考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式.
5．B
【分析】
根据抛物线的定义，得到，求出，代入抛物线方程，即可得出结果.
【详解】
因为抛物线上的点到抛物线焦点的距离为3，
根据抛物线的定义可得，，解得，
代入得，则.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题型.
6．A
【分析】
本题首先可根据椭圆定义得出以及，然后根据得出为直角三角形，即可求出的面积.
【详解】
因为椭圆方程为，
所以由椭圆的定义可知，，
因为，所以，
因为，所以为直角三角形，
则，
故选：A.
7．B
【分析】
利用双曲线的定义，以及的周长，建立方程求的值.
【详解】
由双曲线的定义可得，则，因为，所以，因为么的周长为24，所以，所以，则，解得，故双曲线C的实轴长是6．
故选：B
8．B
【分析】
，故，不妨设渐近线方程为，则，根据，计算得到答案.
【详解】
连接，，故，不妨设渐近线方程为，则.
故，解得，故双曲线方程为
故选：B
9．B
【分析】
利用双曲线的定义得到 ，则，利用基本不等式得到时，取得最小值，然后设，由，得到结合求解.
【详解】
由双曲线的定义得:，
所以，
所以，
当且仅当，即取等号，
设，
又因为，
所以，
所以，
又，
所以，
故选：B
10．B
【分析】
根据条件写出直线的方程，与抛物线联立，求得 ，再利用抛物线的定义，由 求解.
【详解】
因为直线过抛物线的焦点，且倾斜角为，
所以直线的方程为：，
与抛物线联立得：，
所以，
所以 ，
故选：B
11．D
【分析】
根据为正三角形得到点必在轴上，即可求出，再根据，即可求出点的坐标，代入椭圆方程，根据离心率的公式即可求出离心率.
【详解】
解：为正三角形
点必在轴上，且，
，
又，
，
又点在椭圆上，
，
化简得，
解得：，
又，
.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出，，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)．
12．D
【分析】
根据三角形的面积关系寻求等量关系，再推导出关系即可.
【详解】
，且是的内心，
设内切圆的半径为，
则，
，即，
，即，
渐近线方程是.
故选：D.
【点睛】
求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
13．
【分析】
先求得与直线4x+3y-8=0平行，且与抛物线相切的直线，然后再利用平行线间的距离求解.
【详解】
设直线4x+3y+c=0与抛物线相切，
由，得3x2-4x-c=0，
由Δ=16+12c=0，得c=-，
所以两平行线的距离为.
故答案为：
14．
【分析】
根据点P(k，1)在椭圆=1外，由>1求解.
【详解】
因为点P(k，1)在椭圆=1外，
所以>1，
解得k<或k>，
故实数k取值范围为.
故答案为：
15．10
【分析】
连接，则可得，从而可得正确的答案.
【详解】
连接，因为为的中点，故，所以，
而，故是以为直角顶点的直角三角形，
故，
故答案为：10.
16．3
【分析】
设，由椭圆的定义得到，根据，得到，
进而求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
设，由椭圆的定义可得，
又由，可得，
可得，即，
所以的面积为，
又因为的面积为9，即，解得.
故答案为：
17．（1）16；（2）.
【分析】
（1）根据椭圆的定义即可得到的周长.
（2）首先求出直线方程，再与椭圆联立，利用弦长公式计算弦长，再由点到直线的距离求高即可.
【详解】
(1)由=1，知a=4，
所以△ABF2的周长=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=16.
(2)由椭圆方程=1，可得F1(-3，0)，F2(3，0)，又l的倾斜角是45°，故斜率k=1，∴l的方程为y=x+3.
将直线方程代入椭圆方程，整理得23x2+96x+32=0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
|AB|=.
设点F2到直线l的距离为d，则d==3.
∴|AB|·d=×3.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据离心率得到的关系，再代入点的坐标求椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，以及，并利用向量相等表示点的坐标，代入椭圆方程，求.
【详解】
解：（1），所以，所以椭圆方程为：，过点，
所以，所以椭圆方程为：，
（2）设，联立
所以
又，所以点，带入椭圆中：．
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意可得解方程组即可求解；
（2）由题意可得直线的方程与椭圆方程联立可得点坐标，再结合点坐标写出直线的方程再与椭圆方程联立即可求出点的坐标.
【详解】
解：（1）由题意可得解得，，，
椭圆标准方程为，
（2）点，直线的方程
联立直线与椭圆，整理可得，解得，，
即点的横坐标为，则，即，
又，所以直线的方程
联立直线方程与椭圆方程，解得.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是正确求出椭圆的的标准方程，求点的坐标需联立直线与椭圆的方程.
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）设所求双曲线方程为，代入点坐标，求得k，即可得答案；
（2）设，利用点差法，代入A、B的中点坐标为（1，1），即可求得斜率.
【详解】
（1）因为所求双曲线与双曲线有共同的渐近线，
所以设所求双曲线方程为，代入，得，
所以所求双曲线方程为；
（2）设，因为、在双曲线上，
所以，（1）-（2）得，
因为A、B的中点坐标为（1，1），即，
所以.
21．（1）；（2）．
【分析】
（1）方法一，利用直线与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系，转化为抛物线的定义求曲线方程；方法二，利用等量关系，直接建立关于的方程；（2）方法一，利用条件求点的坐标，再求；方法二，利用抛物线的定义，转化为点到准线的距离，利用几何关系求的大小.
【详解】
解：（1）设，圆M的半径为r．
由题意知，，M到直线l的距离为r．
方法一：
点M到点的距离等于M到定直线的距离，
根据抛物线的定义知，曲线C是以为焦点，为准线的抛物线．
故曲线C的方程为．
方法二：
因为，，，
所以，化简得，
故曲线C的方程为．
（2）方法一：设，由，
得，
又，解得，故，
所以，从而．
方法二：过点P向直线作垂线，垂足为Q．
由抛物线定义知，，所以，
在中，因为，
所以，
从而，故．
【点睛】
方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：
1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程.
2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.
3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.
22．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据条件，建立关于的方程，求椭圆方程；（2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，表示，并求斜率.
【详解】
（1）由题意可得，解得，
故椭圆C的方程为.
（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为，
由消去y整理得，
直线l与椭圆C交于两点，
∴.
设点P，Q的坐标分别为，，
则，，
∴.
直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，
∴，
整理得，
∴，又，
∴，
因为点都在第一象限，所以，即，故直线l的斜率为定值.
【点睛】
关键点点睛：本题考查求椭圆中的定值问题，本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出，，表示 得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．