选修2-1 第2章圆锥曲线与方程-抛物线 综合测试题-2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习（Word含解析）

抛物线综合测试题
一、单选题
1．抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
2．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为
4．若抛物线的焦点坐标是，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
5．过点与抛物线只有一个公共点的直线的条数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．若点P在抛物线上，点Q在圆:上，则|PQ|的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
8．P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有（ ）
A．|PP1||AA1|+|BB1| B．|PP1||AB|
C．|PP1||AB| D．|PP1||AB|
9．已知抛物线内一点，过点的直线交抛物线于，两点，且点为弦的中点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则过作倾斜角为的直线分别交抛物线于（在轴上方)两点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
12．如图所示，过抛物线：()的焦点作直线交于、两点，过、分别向的准线作垂线，垂足为、，已知与的面积分别为和，则的面积为（ ）.
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．
14．设、为曲线：上两点，与的横坐标之和为4，则直线的斜率______．
15．已知点，直线：，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为、，若动点满足，则的轨迹方程为______.
16．已知点为抛物线：上的动点，抛物线的焦点为，且点，则的最小值为_______．
三、解答题
17．已知直线被抛物线C：截得的弦长.
(Ⅰ)求抛物线C的方程；
(Ⅱ)若抛物线C的焦点为F，求三角形ABF的面积.
18．如图，是抛物线：上横坐标大于零的一点，直线过点并与抛物线在点处的切线垂直，直线与抛物线相交于另一点.
（1）当点的横坐标为2时，求直线的方程；
（2）若，求过点的圆的方程.
19．已知一条曲线在轴右边，上任一点到点的距离减去它到轴距离的差都是，为该曲线上一点，且，
（1）求曲线的方程；
（2）过点且斜率为的直线与交于，两点，，求直线的方程.
20．已知抛物线：的焦点是椭圆的一个焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设，，为抛物线上的不同三点，点，且.求证：直线过定点.
21．已知抛物线的准线方程为．
（1）求抛物线的方程；
（2）设点关于原点的对称点为点，过点作不经过点的直线与交于两点，，直线，分别交轴于，两点，求的值．
22．已知抛物线：，过点垂直于轴的垂线与抛物线交于，点满足
（1）求证：直线与抛物线有且仅有一个公共点；
（2）设直线与此抛物线的公共点，记与的面积分别为，求的值
参考答案
1．C
【分析】
由抛物线中的几何意义为焦点到准线的距离，可得到答案.
【详解】
由抛物线中的几何意义为焦点到准线的距离
抛物线的.
所以抛物线的焦点到准线的距离等于6.
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线中的几何意义，属于基础题.
2．D
【分析】
先将方程化为抛物线的标准方程，然后求出，可得到焦点坐标.
【详解】
解：由得，，则，所以 ,
因为抛物线的焦点在的负半轴上，
所以焦点坐标为.
故选：D.
【点睛】
此题考查的是已知抛物线方程求其焦点坐标，属于基础题.
3．A
【分析】
利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.
【详解】
抛物线，即，
可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题.
4．D
【分析】
化抛物线方程为标准方程，可得焦参数．
【详解】
抛物线的标准方程为，，，∴，．
故选：D．
【点睛】
本题考查抛物线的焦点坐标，解题关键掌握抛物线的标准方程，
5．D
【分析】
点在抛物线外，考虑切线的条数，还有一条与抛物线的对称轴平行的直线．
【详解】
易知点在抛物线外，过可作抛物线的两条切线，过与对称轴（轴）平行的直线与抛物线也只有一个公共点．共有3条．
故选：D.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，与抛物线只有一个公共点的直线除切线外，与抛物线的对称轴平行的直线和抛物线也只有一个公共点．
6．A
【分析】
根据抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，得到点P(3，±2)，然后利用抛物线的定义求解.
【详解】
由题意，知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，
∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，
则P(3，±2)，
∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.
故选：A.
7．D
【分析】
将题转化为求抛物线上的点到圆心的最小距离，设，求的最小值即可.
【详解】
设，由可知圆心坐标为，半径，则.
因此的最小值为，从而的最小值为.
故选：D
8．B
【分析】
根据题意可得PP1是梯形AA1B1B的中位线，利用梯形的性质以及抛物线的焦半径公式即可求解.
【详解】
根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，
故|PP1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.
故选：B
9．B
【分析】
利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程.
【详解】
设，
则，两式相减得，
即，
则直线方程为，即.
故选：B.
10．D
【分析】
根据抛物线定义，利用数形结合求解即可
【详解】
由题可得，准线的方程为.
由抛物线的定义可知，，
.
故选:D.
11．C
【分析】
先根据椭圆方程求抛物线的方程，分别过A，B作准线的垂线，得到直角梯形，结合抛物线的定义在梯形中求，即倾斜角的余弦值，即得结果.
【详解】
依题意，是抛物线的焦点，故，则，.
根据已知条件如图所示，在轴上方，倾斜角是锐角，分别过A，B作准线的垂线，垂足为，过B作的垂线，垂足为P，设，
根据抛物线的定义知，所以直角梯形中，，，又直线AB的倾斜角，故，又是锐角，故.
故选：C.
12．B
【分析】
设的面积为，直线：，代入抛物线方程，
消元可得，然后，根据面积公式，进而得到，列方程求解即可
【详解】
设的面积为，直线：，
代入抛物线方程，消元可得，
设、，则，，
，
，
，
故选B
【点睛】
关键点睛：解题关键在于联立方程，进行，代入消元求解，难度属于基础题
13．
【分析】
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义得出|AB|＝y1＋y2＋p，得出，最后由得出AB的中点的纵坐标.
【详解】
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2＝y，可得.
∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，∴，故AB的中点的纵坐标是.
故答案为：
14．1
【分析】
先设、，将、两点坐标代入抛物线方程，两式作差整理，即可得出直线的斜率.
【详解】
设、，
因为、为曲线：上两点，
所以，则，
又与的横坐标之和为4，即，
因此直线的斜率为.
故答案为：.
15．
【分析】
由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程，设，，，根据可得，，利用可求得结果.
【详解】
由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，其方程为，
设，，，因为动点满足，
所以，即，，
所以，，因为，所以，
所以，即的轨迹方程为.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程是解题关键.
16．4
【分析】
设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求取得最小，进而可推断出当，，三点共线时最小，答案可得．
【详解】
抛物线的准线为．
设点在准线上的射影为，如图，
则根据抛物线的定义可知，
要求取得最小值，即求取得最小．
当，，三点共线时，最小，为．
故答案为：4．
【点睛】
关键点点睛：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当，，三点共线时最小，是解题的关键．
17．（1）；（2）
【分析】
（1）先设，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理即可得出结果；
(2)由（1）中结果得到，再由点到直线距离公式求出点到的距离，最后由即可得出结果.
【详解】
（1）设
，
而
即
，
故抛物线C的方程为：
（2）由（1）知
点到的距离
.
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的应用，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、点到直线的距离等求解，属于常考题型.
18．（1）（2）
【解析】
分析：（1）先根据导数几何意义得过点的切线的斜率，再根据垂直关系得直线l的斜率，最后根据点斜式得结果，（2）设P,Q坐标，根据垂直得圆心为的中点，根据条件列方程组，解得P,Q坐标，即得圆心坐标，再求出半径，最后写出圆的标准方程.
详解：解：（Ⅰ）把2代入，得2，
∴点坐标为（2，2）.
由， ① 得，
∴过点的切线的斜率2，
直线的斜率
∴直线的方程为 ， 即
（Ⅱ）设则
∵ 过点的切线斜率，因为
∴ 直线的斜率 ，
直线的方程为②
设，且为的中点，
因为，所以过点的圆的圆心为
半径为，
且，
所以（舍去）或…
联立①②消去，得由题意知为方程的两根，
所以，又因为， 所以，；
所以，
∵是的中点，∴

所以过点的圆的方程的方程为
点睛：确定圆的方程方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．
19．（1）；（2）或.
【分析】
（1）根据题意，设出点的坐标，对已知条件进行等价转化，即可求得结果；
（2）设出直线的方程，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式，即可求得直线斜率，则问题得解.
【详解】
（1）设点是曲线上任意一点，
那么点满足.
化简得曲线的方程为.
设，依题意
由抛物线定义，即
所以，又由
得，解得（舍去）
所以曲线的方程为.
（2）由（1）得，
设直线的方程为，，.
由，得.
因为，故
所以.
由题设知.解得或.
因此直线的方程为或.
【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，以及由抛物线中的弦长求直线的斜率，属中档题.
20．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）椭圆的焦点为，由题意可知，由此即可求出抛物线的方程；
（2）设直线的方程为，与抛物线联立得，可得，再根据，可得，列出方程代入，化简可得，再因式分解可得或，再代入方程进行检验，即可求出结果.
【详解】
（1）因为椭圆的焦点为，
依题意，，，所以：
（2）设直线的方程为，与抛物线联立得，
设，，
则，
由，则，即，
所以
即，
整理得到，
所以，
化简得即，
解得或.
当时，直线的方程为，即为，即直线过定点；
当时，直线的方程为，即为，即直线过定点，此时与点重合，故应舍去，
所以直线过定点.
【点睛】
本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．（1）；（2）2.
【分析】
（1）根据抛物线的准线求出，即可得出抛物线方程；
（2）设点，，由已知得，由题意直线斜率存在且不为0，设直线的方程为，与抛物线联立可得，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解的值．
【详解】
（1）因为抛物线的准线方程为，所以，则，
因此抛物线的方程为；
（2）设点，，由已知得，
由题意直线斜率存在且不为0，
设直线的方程为，
由得，
则，.
因为点，在抛物线上，所以，，
则，.
因为轴，
所以
，
所以的值为2.
【点睛】
思路点睛：
求解抛物线中的定值问题时，一般需要联立直线与抛物线方程，结合题中条件，以及韦达定理来求解；求解时，一般用韦达定理设而不求来处理.
22．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由已知先求出，设，结合题干得，，结合向量关系求得点坐标，利用点斜式得方程，联立与抛物线即可求证；
（2）结合三角形面积公式得，，由（1）的结论可得，由直线方程可求得直线与轴交点坐标,从而得到,作比即可求解.
【详解】
易知，
设，由，可得，
故有，同理，
于是直线的方程是，
即①与抛物线方程联立，
得到，
此方程有两个相等的根：代入①，得，
故直线与抛物线有且仅有一个公共点
设直线与轴交于，
于是
故有
【点睛】
方法点睛：本题考查由直线与抛物线的位置关系求证公共点问题，抛物线中三角形的面积问题，考查了数学运算的核心素养，常用以下方法：
（1）涉及交点问题常采用直线与曲线联立方程求解法，有且仅有一个公共点可直接求解，若是关于的一元二次方程，即证；
（2）对于三角形面积问题,较为规则的可直接用公式法求解，对于三角形不规则的，常采用切割法，如本题中的.