2020-2021学年八年级数学湘教版下册同步课时练习：1.3　直角三角形全等的判定

直角三角形全等的判定
1.如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,则△ABC≌△DCB的依据是
(　　)
A.HL
B.ASA
C.AAS
D.SAS
2.在下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是
(　　)
A.两条直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一个锐角和它所对的直角边对应相等
D.一条斜边和一条直角边对应相等
3.如图,∠ACB=∠EDB=90°,AC=ED,则下列条件中,不能使△ABC≌△EBD成立的是(　　)
A.∠A=∠E
B.AB=BD
C.BC=BD
D.∠ABE=∠CBD
4.如图,已知AD⊥BC于点D,若直接用“HL”判定Rt△ABD≌Rt△ACD,则需添加的一个条件是　　　　.?
5.如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,请你添加一个条件(不添加字母和辅助线),使Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是　　　　　　.?
6.如图,∠B=∠D=90°,BC=DC,∠1=40°,则∠2=　　　　°.?
7.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且DE=DF.
求证:Rt△BDE≌Rt△CDF.
8.如图所示,已知CD⊥AD,CB⊥AB,AB=AD.求证:CD=CB.
9.用尺规作图,下列条件中可能作出两个不同的直角三角形的是
(　　)
A.已知两直角边
B.已知一条直角边和它所对的锐角
C.已知一条直角边和斜边
D.已知两个锐角
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,请利用直角三角形全等的判定定理“HL”,作Rt△DEF,使Rt△DEF≌Rt△ABC.
11.如图,已知在△ABC中,∠C=90°,D为AB上一点,AD=AC,DE⊥AB,交BC于点E.若∠B=36°,则∠AEC的度数为
(　　)
A.62°
B.63°
C.72°
D.60°
12.如图,在△ABC中,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别是E,F.若BE=CF,则图中全等三角形有(　　)
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
13.如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:BE=BF;
(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.
14.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,BD=BC,过点D作AB的垂线交AC于点E.求证:CD⊥BE.
15.如图3,已知AE⊥BC于点E,DF⊥BC于点F,AE=DF,AB=DC,请你说明AC与BD有怎样的数量关系?并进行证明.
16.如图,已知:OB=OC,点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,即OF⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为F,E,OF=OE.
(1)如图图①,若点O在BC上,求证:AB=AC;
(2)如图图②,若点O在△ABC的内部,求证:AB=AC;
(3)若点O在△ABC的外部,且与点A在BC两侧,试猜想AB=AC还成立吗?请画图,并加以证明.
1.A　
2.B　
3.B
4.AB=AC　
直角边AD为公共边,只需再添加斜边相等即可.
5.答案不唯一,如图AB=DC
6.50　
在Rt△ABC与Rt△ADC中,∵BC=DC,AC=AC,∴Rt△ABC≌Rt△ADC,∴∠2=∠ACB.在Rt△ABC中,∠ACB=90°-∠1=50°,∴∠2=50°.
7.证明:∵D是BC的中点,∴BD=CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∵BD=CD,DE=DF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
8.
连接AC,利用“HL”证明Rt△ADC≌Rt△ABC,得CD=CB.
证明:连接AC.在Rt△ADC和Rt△ABC中,
∵AC=AC,AD=AB,
∴Rt△ADC≌Rt△ABC(HL),
∴CD=CB.
9.D　
10.略　
11.B
12.C　
①∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠CFB=∠BEC=90°.∵BC=CB,BE=CF,
∴△BCF≌△CBE(HL);
②∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠AFC=∠AEB=90°.又∵BE=CF,∠A=∠A,∴△ABE≌△ACF(AAS);③设BE与CF相交于点O.∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠OFB=∠OEC.∵△BCF≌△CBE,∴BF=CE.又∵∠BOF=∠COE,∴△BOF≌△COE(AAS).故选C.
13.解:(1)证明:∵∠ABC=90°,
∴∠CBF=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∵AE=CF,AB=CB,
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL),
∴BE=BF.
(2)∵AB=CB,∠ABC=90°,
∴∠BAC=∠BCA=45°.
∵∠CAE=30°,
∴∠BAE=45°-30°=15°.
∵Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴∠BCF=∠BAE=15°,
∴∠ACF=∠BCF+∠BCA=15°+45°=60°.
14.证明:∵ED⊥AB,∠ACB=90°,
∴△ECB和△EDB都是直角三角形.
在Rt△ECB和Rt△EDB中,
∵EB=EB,BC=BD,
∴Rt△ECB≌Rt△EDB(HL),
∴∠EBC=∠EBD.
又∵在△BCD中,BD=BC,
∴CD⊥BE.
15.解:AC=BD.
证明:在Rt△ABE和Rt△DCF中,
因为AB=DC,AE=DF,
所以Rt△ABE≌Rt△DCF(HL),
所以∠ABE=∠DCF,即∠ABC=∠DCB.
在△ABC和△DCB中,
所以△ABC≌△DCB(SAS),所以AC=BD.
16.解:(1)证明:∵OE⊥AC,OF⊥AB,
∴∠OEC=∠OFB=90°.
在Rt△OEC和Rt△OFB中,
∵OC=OB,
OE=OF,
∴Rt△OEC≌Rt△OFB,
∴∠C=∠B,
∴AB=AC.
(2)证明:由(1)同理可得Rt△OEC≌Rt△OFB,
∴∠OCE=∠OBF.
又∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OBF+∠OBC=∠OCE+∠OCB,
即∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC.
(3)猜想AB=AC仍成立.
画图如图图.
证明:由(1)同理可得Rt△OEC≌Rt△OFB,
∴∠OBF=∠OCE.
又∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
又∵∠ABC=180°-∠OBF-∠OBC,∠ACB=180°-∠OCE-∠OCB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC.