2020—2021学年湘教版数学八年 下册 同步课时练习：2.5.2　矩形的判定（Word版含答案）

矩形的判定
1.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,过点D分别作DE⊥AC,垂足为E,DF⊥BC,垂足为F,则四边形DECF的形状是　　　　,判定的依据是　　　　　　　　　.?
2.所示,BD,BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线,AE⊥BE,AD⊥BD,E,D为垂足.
求证:四边形AEBD是矩形.
3.[2019·怀化]
已知:在?ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,垂足分别为E,F.
求证:(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形AECF是矩形.
4.,四边形ABCD的对角线互相平分.如果要使它成为矩形,那么需要添加的条件可以是
(　　)
A.AB=CD
B.AD=BC
C.AB=BC
D.AC=BD
5.已知在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若∠AOB=60°,AC=10,则当AB=　　　时,四边形ABCD是矩形.?
6.在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.
求证:四边形ABCD是矩形.
7.四边形ABCD是平行四边形,点E在CB的延长线上,且BE=BC,DE=DC,AB,DE相交于点O,连接AE,BD.求证:四边形AEBD是矩形.
8.顺次连接四边形ABCD各边的中点,得四边形EFGH,要使四边形EFGH为矩形,可以添加的条件是
(　　)
A.AB∥DC
　　
B.AC=BD
C.AC⊥BD
　　
D.AB=DC
9.DB∥AC,且DB=AC,E是AC的中点.
(1)求证:BC=DE;
(2)连接AD,BE,若要使四边形DBEA是矩形,应给△ABC添加什么条件,为什么?
10.AC,BD相交于点O,且O是AC,BD的中点,点E在四边形ABCD外,且∠AEC=∠BED=90°.求证:四边形ABCD是矩形.
11.在△ABC中,O是AC边上的一个动点,过点O作直线EF∥BC,分别交∠BCA的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)连接AE,AF,当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?请说明理由.
12.在?ABCD中,对角线BD=12
cm,AC=16
cm,AC,BD相交于点O,若E,F是AC上两动点,分别从A,C两点以相同的速度同时向C,A两点运动,其速度为0.5
cm/s.
(1)当点E与点F不重合时,四边形DEBF是平行四边形吗?说明理由.
(2)点E,F在AC上运动的过程中,以D,E,B,F为顶点的四边形是否能为矩形?若能,求出此时的运动时间t;若不能,请说明理由.
1.矩形　三个角是直角的四边形是矩形
2.证明:∵BD,BE分别是∠ABC,∠ABP的平分线,∴∠ABD+∠ABE=(∠ABC+∠ABP)=90°,
即∠EBD=90°.
又∵AE⊥BE,AD⊥BD,
∴∠AEB=∠ADB=90°,
∴四边形AEBD是矩形.
3.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D,AB=CD.
∵AE⊥BC,CF⊥AD,
∴∠AEB=∠CFD=90°,
∴△ABE≌△CDF(AAS).
(2)∵AE⊥BC,CF⊥AD,
∴∠AEC=∠AEB=∠AFC=90°.
∵AD∥BC,
∴∠EAF=∠AEB=90°,
∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°,
∴四边形AECF是矩形.
4.D　[解析]
对角线互相平分的四边形是平行四边形,要想使其成为矩形,只需满足对角线相等或有一个角是直角即可.
5.5　[解析]
如图,由?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=10,可得OA=AC=5.当AB=5时,AB=OA.再由∠AOB=60°,可知△AOB是等边三角形,可证AC=BD,故?ABCD是矩形.
6.证明:∵在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2OA,BD=2OD.
又∵OA=OD,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形.
7.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,DC=AB.
又∵BC=BE,
∴AD=BE,
∴四边形AEBD是平行四边形.
∵DE=DC,DC=AB,
∴AB=DE,
∴平行四边形AEBD是矩形.
8.C　
9.解:(1)证明:∵E是AC的中点,
∴EC=AC.
∵DB=AC,∴DB=EC.
又∵DB∥EC,
∴四边形DBCE是平行四边形,
∴BC=DE.
(2)添加AB=BC的条件.
理由:由题意知DB∥AE,
∴四边形DBEA是平行四边形.
∵BC=DE,AB=BC,∴AB=DE,
∴四边形DBEA是矩形.
10.证明:连接EO.∵O是AC,BD的中点,
∴AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
连接EO.
在Rt△EBD中,
∵O为BD的中点,
∴EO=BD.
在Rt△AEC中,∵O为AC的中点,
∴EO=AC,
∴AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形.
11.解:(1)证明:∵CF平分∠ACD,EF∥BD,
∴∠ACF=∠FCD=∠CFO,
∴OF=OC.
同理可得OE=OC,
∴OE=OF.
(2)∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,
∴∠ACE=∠ACB,∠ACF=∠ACD.
又∵∠ACB+∠ACD=180°,
∴∠ACE+∠ACF=∠ACB+∠ACD=90°,即∠ECF=90°,
∴EF===13.
∵OE=OF=OC,
∴OC=EF=.
(3)当点O运动到AC中点时,四边形AECF为矩形.
理由:由(1),知OE=OF.
∵O为AC的中点,∴OA=OC,
∴四边形AECF为平行四边形.
又∵∠ECF=90°,
∴四边形AECF为矩形.
12.解:(1)当点E与点F不重合时,四边形DEBF是平行四边形.
理由:∵E,F是AC上两动点,分别从A,C两点以相同的速度同时向C,A两点运动,
∴AE=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=OB,OA=OC,
∴|OA-AE|=|OC-CF|,∴OE=OF,
∴四边形DEBF是平行四边形.
(2)能.由(1)知四边形DEBF为平行四边形,
∴当EF=BD,即OE=OD时,四边形DEBF为矩形,由(1)知OE=|OA-AE|.
∵BD=12
cm,AC=16
cm,
∴OA=8
cm,OD=6
cm,∴6=|8-0.5t|,
解得t=4
s或t=28
s.