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2019人教A版高一数学第一册考点(原题)
考点一
根据逻辑关系求参数范围
1已知集合,,若,则实数a的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
2.已知,,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
3.关于的不等式成立的一个充分不必要条件是,则的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知
,,且是的充分不必要条件,则的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
5.命题“,”为真命题的一个充分不必要条件是(
)
A.
B.
C.
D.
6.若命题“使”是假命题,则实数的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
7.已知函数,,若,,使得,则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
考点二
基本不等式
1.若,则的最大值是
(
)
A.
B.
C.
D.
2.已知,求函数的最小值是
(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
3.已知实数,则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知实数,,,则的最小值是(
)
A.
B.
C.
D.
5.已知,则的最小值是________.
6.已知正数、满足,则的最小值为
.
7.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是(
)
A.3
B.4
C.
D.
8.已知不等式对任意实数、恒成立,则实数的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
考点三
恒成立、能成立问题
不等式恒成立、能成立问题通常利用分离变量转化为求函数的最值.
(1)对于任意,()恒成立();
对于任意,()恒成立().
(2)对于存在,()能成立();
对于存在,()能成立().
1.已知关于的不等式在上有解,则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
2.若关于的不等式在内有解,则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
3.若命题“存在,”为假命题,则实数的取值范围是____
4.
若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围是_________.
5.设函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围;
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围;
(3)设不等式f(x)≥a对于满足1≤a≤3的一切a的取值都成立,求x的取值范围.
考点四
求函数解析式
1.根据下列条件,求f(x)的解析式.
(1)f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9;
(2)f(x+1)=x2+4x+1;
(3).
(4)f(x)+2f(-x)=x2+2x.
考点五
利用单调性求参数
1.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)
2.已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)3.已知函数f(x)=x2+ax+b在区间(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,且f(m+2)4.设定义在[-3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数,若f(1-m)5.定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)为减函数,若g(1-m)考点六
幂函数
1.若幂函数图像过点,则此函数的解析式是________.
2.已知幂函数()在上是减函数,则n的值为(
)
A.
B.1
C.
D.1和
3.已知幂函数的图象关于轴对称,且与轴、轴均无交点,则的值为(
)
A.
B.0
C.1
D.2
4.幂函数在第一象限内图象如图.若则与曲线,,,对应的的值依次为(
)
A.
B.
C.
D.
5.函数恒过一个定点,这个定点坐标是 ;
考点七
指数、对数运算
1.计算下列各式:
(1).
(2).
(3).
2.计算下列各式:
(1)_______
.
(2)__________.
(3)=______.
(4)_________.
考点八
指数函数
1.求下列函数的定义域和值域:
(1);
(2);
(3).
2.设,,,则(
)
A.
B.
C.
D.
3.函数(,且)的图象过定点,则点的坐标为(
)
A.
B.
C.
D.
考点九
对数函数
1.函数的单调减区间是(
)
A.
B.
C.
D.
2.已知在上是增函数,则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
3.函数的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
4.函数的值域是(???).
A.R
B.
C.
D.
5.已知,,,则,,的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
6.函数的图象恒过定点,(其中且),则的坐标为__________.
7.已知函数
(>0且≠1)的图像过点(9,2)
(1)求函数的解析式;
(2)解不等式.
8.已知函数,a常数.
(1)若,求证为奇函数,并指出的单调区间;
(2)若对于,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
考点十
函数的应用(零点、零点存在性定理、二分法)
1.函数f(x)=的零点个数是________;
2.已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________.
3.函数的零点所在的区间为(
)
A.
B.
C.
D.
4.函数的零点个数为(
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
5.方程的实数解的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.0
6.设,用二分法求方程在内近似解的过程中得,,,则方程的根落在区间
A.
B.
C.
D.不能确定
考点十一
弦的齐次
1.已知,求下列代数式的值.
(1);
(2).
考点十二
凑角计算
1.已知cos=,求cos-sin2的值.
2.已知cos=,≤α≤,求sin的值.
3.已知cos=,求下列各式的值:(1)sin;(2)sin.
考点十三
正弦、余弦函数
1.已知函数在上单调递减,则实数的一个值是(
).
A.
B.
C.
D.
2.下列函数中,周期是的偶函数为(
).
A.
B.
C.
D.
3.已知函数,下面结论错误的是(
)
A.函数的最小正周期为
B.函数在区间上是增函数
C.函数的图象关于直线对称
D.函数是偶函数
4.函数的定义域是__________.
5.函数的最小值是
。
6.在区间上的最小值为______.
7.函数,且的值域是________________.
考点十四
正切函数
1.下列关于函数的说法正确的是(
)
A.函数的图象关于点成中心对称
B.函数的定义域为
C.函数在区间上单调递增
D.函数在区间上单调递增
2.设函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期,对称中心;
(2)作出函数在一个周期内的简图.
考点十五
给值求值、给角求角
1.已知α,β为锐角,且cos
α=,cos(α+β)=-,求cos
β
的值.
2.已知<α<,0<β<,cos=-,sin=,求sin(α+β)的值.
已知sin=,sin=,且α-∈,β-∈,求的值.
4.已知sin
α=,α为第二象限的角,且tan(α+β)=-,则tan
β的值为( )
A.-
B.
C.-
D.
5.(1)在△ABC中,tan
A=,tan
B=-2,则角C=________.
(2)若α,β均为钝角,且(1-tan
α)(1-tan
β)=2,求α+β.
6.(1)若tan
α=,则cos2α+2sin
2α=( )
A.
B.
C.1
D.
(2)已知cos=,≤α<,则cos的值为________.
(3)已知sin=,0考点十六
利用辅助角公式研究函数性质
1.已知函数f(x)=sin+2sin2(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
2.已知函数f(x)=cos·cos,g(x)=sin
2x-.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值时x的集合.
考点十七
三角函数图像的伸缩变换
1.说明y=2sin的图象可由y=sin
x的图象经过怎样的变换而得到.
考点十八
y=Asin(ωx+φ)的性质的综合应用
1.如图是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,求此函数的解析式.
2.已知函数f(x)=sin+.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调递增区间;
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心;
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合.
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精品试卷·第
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2019人教A版高一数学第一册考点(解析)
考点一
根据逻辑关系求参数范围
1已知集合,,若,则实数a的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】,
当时,,解得,符合题意;
当时,
或,解得或,
综上所述,实数a的取值范围是.故选:B
2.已知,,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由,即,解得,
由得,
若是的充分不必要条件,则,
解得,实数的取值范围为,
故选:C.
3.关于的不等式成立的一个充分不必要条件是,则的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题可知是不等式的解集的一个真子集.
当时,不等式的解集为,此时;
当时,不等式的解集为,
,合乎题意;
当时,不等式的解集为,
由题意可得,此时.
综上所述,.故选:D.
4.已知
,,且是的充分不必要条件,则的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题意知:可化简为,,
所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集,所以.
5.命题“,”为真命题的一个充分不必要条件是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】,,∴要使恒成立,则恒成立,即,
本题求的是充分不必要条件,结合选项,只有B符合.故选:B.
6.若命题“使”是假命题,则实数的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题得,原命题的否命题是“,使”,
即,解得.选B.
7.已知函数,,若,,使得,则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由,知
当时,
由,知
当时,
由题意得:,即
,解得综上,.故选:D
考点二
基本不等式
若,则的最大值是
(
)
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】,故,则,当时取“=”,所以正确选项为A
2.已知,求函数的最小值是
(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
【答案】D
【解析】(2)由,即,所以,时取“=”,所以正确选项为D
3.已知实数,则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】(1)D
【解析】(1),正确选项为D
4.已知实数,,,则的最小值是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】∵,,
当且仅当,即,时取等号.故选B
已知,则的最小值是________.
【答案】5
【解析】当时,,,
当且仅当,即当时,等号成立,
因此,函数的最小值为.故答案为:.
6.已知正数、满足,则的最小值为
【答案】
【解析】,所以,,
则,
所以,,
当且仅当,即当时,等号成立,
因此,的最小值为,故选:.
7.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是(
)
A.3
B.4
C.
D.
【答案】B
【解析】考察均值不等式,整理得即,又,
8.已知不等式对任意实数、恒成立,则实数的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】.
若,则,从而无最小值,不合乎题意;
若,则,.
①当时,无最小值,不合乎题意;
②当时,,则不恒成立;
③当时,,
当且仅当时,等号成立.
所以,,解得,因此,实数的最小值为.故选:C.
考点三
恒成立、能成立问题
1.已知关于的不等式在上有解,则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】时,不等式可化为;
当时,不等式为,满足题意;
当时,不等式化为,则,当且仅当时取等号,
所以,即;
当时,恒成立;
综上所述,实数的取值范围是答案选A
2.若关于的不等式在内有解,则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】原不等式在内有解等价于在内有解,
设函数,所以原问题等价于
又当时,,
所以.故选:A.
3.若命题“存在,”为假命题,则实数的取值范围是____
【答案】
【解析】由题意可知,命题“对任意的,”为真命题,
,解得.
因此,实数的取值范围是.故答案为:.
4.若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】对不等式分离参数得:
设(),则
令,则
函数在区间单减,故,
所以,即实数的取值范围是.
5.设函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围;
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围;
(3)设不等式f(x)≥a对于满足1≤a≤3的一切a的取值都成立,求x的取值范围.
5.【答案】(1)-6≤a≤2;
(2)
-7≤a≤2;
(3)
x≤-3或x≥0.
(2)【提示】思路1:(利用二次函数的图象)
注:此方法可改进,由f(2)≥a,f(-2)≥a得-7≤a≤.对称轴x=-∈[-,],可少讨论一种情况.
思路2:(求函数的最值)
注:此方法可改进,由f(2)≥a,f(-2)≥a得-7≤a≤,再进行分类讨论.
思路3:(变量分离后,再求函数的最值)
.
考点四
求函数解析式
1.根据下列条件,求f(x)的解析式.
(1)f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9;
(2)f(x+1)=x2+4x+1;
(3).
(4)f(x)+2f(-x)=x2+2x.
【答案】(1)f(x)=x+3;(2)f(x)=x2+2x-2;(3);
(4)
【解析】(1)解由题意,设f(x)=ax+b(a≠0)
∵3f(x+1)-f(x)=2x+9∴3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9,
即2ax+3a+2b=2x+9,由恒等式性质,得∴a=1,b=3
∴所求函数解析式为f(x)=x+3.
(2)设x+1=t,则x=t-1f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1
即f(t)=t2+2t-2.∴所求函数解析式为f(x)=x2+2x-2.
(3)解,将原式中的x与互换,得.
于是得关于f(x)的方程组解得.
(4)将x换成-x,得f(-x)+2f(x)=x2-2x,
∴联立以上两式消去f(-x),得3f(x)=x2-6x,
考点五
利用单调性求参数
1.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)解 由题意知解得0即所求a的取值范围是.
2.已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)答案
解析 由题意得解得-1≤x<.
3.已知函数f(x)=x2+ax+b在区间(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,且f(m+2)答案 (-2,0)
解析
∵f(x)在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,
∴-=1,∴a=-2.如图.
∵f(m+2)∴0则实数m的取值范围为(-2,0).
设定义在[-3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数,若f(1-m)解 (1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,3]上是减函数,
所以f(x)在[-3,3]上是减函数.
所以不等式f(1-m)解得-2≤m<,即m的取值范围为.
5.定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)为减函数,若g(1-m)解∵g(x)在[-2,2]上为偶函数,且x≥0时为减函数,
∴g(1-m)≤g(m)?g(|1-m|)即m的取值范围为.
考点六
幂函数
1.若幂函数图像过点,则此函数的解析式是________.
【答案】
【解析】设幂函数的解析式为,由于函数图象过点,故有,解得,
所以该函数的解析式是,故答案为:.
2.已知幂函数()在上是减函数,则n的值为(
)
A.
B.1
C.
D.1和
【答案】B
【解析】因为函数是幂函数所以所以或
当时在上是增函数,不合题意.
当时在上是减函数,成立故选:B
3.已知幂函数的图象关于轴对称,且与轴、轴均无交点,则的值为(
)
A.
B.0
C.1
D.2
【答案】C
【解析】由题意可得:且为偶数,,
解得,且为偶数,,
∴.
故选:C.
4.已知幂函数在第一象限内的图象如图所示.若则与曲线,,,对应的的值依次为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由幂函数的图象与性质,在第一象限内,在的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数依次增大,曲线,,,对应的的值依次为:
故选:C.
5.函数恒过一个定点,这个定点坐标是 ;
【答案】
【解析】因为恒过,故恒过故答案为
考点七
指数、对数运算
1.计算下列各式:
(1).
(2).
(3).
【答案】(1);(2)100;(3).
【解析】(1)原式.
(2)原式.
(3)原式.
2.计算下列各式:
(1)_______
.
(2)__________.
(3)=______.
(4)_________.
【答案】(1)2(2)4(3)(4)3
【解析】(1)原式.
故答案为:2.
(2)原式
故答案为4
(3)
=.故答案为:.
(4)原式.故答案为:.
考点八
指数函数
1.求下列函数的定义域和值域:
(1);
(2);
(3).
【答案】(1)定义域,值域为且;
(2)定义域,值域;(3)定义域,值域
【解析】(1)要使函数式有意义,则,解得.所以函数的定义域为.因为,所以,即函数的值域为.
(2)要使函数式有意义,则,解得,所以函数的定义域为.因为,所以,即函数的值域为.
(3)函数的定义域为.因为,所以.
又,所以函数的值域为.
2.设,,,则(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
,
因为函数在定义域上为单调递增函数,所以.故选:D.
3.函数(,且)的图象过定点,则点的坐标为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为的图象恒过点,则的图象恒过点,所以恒过定点.故选.
考点九
对数函数
1.函数的单调减区间是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题:,,解得:,
的减区间,即的减区间,对称轴为结合二次函数单调性,
所以的减区间.故选:D
2.已知在上是增函数,则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设,
在上是增函数,
,即,解得,
实数的取值范围是
,故选:C.
3.函数的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】要使得函数有意义,只需:且,解得.故函数定义域为.
故选:.
4.函数的值域是(???).
A.R
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】恒成立,函数的定义域为
设
由复合函数的单调性可知函数在定义域上先增后减,函数取到最大值即:
函数的值域为故选
5.已知,,,则,,的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】,,,,
故选:A
6.函数的图象恒过定点,(其中且),则的坐标为__________.
【答案】
【解析】令,解得
,所以
,所以
的坐标为,故答案为:
7.已知函数
(>0且≠1)的图像过点(9,2)
(1)求函数的解析式;
(2)解不等式.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为,所以,即
(2)因为单调递增,所以即不等式的解集是
8.已知函数,a常数.
(1)若,求证为奇函数,并指出的单调区间;
(2)若对于,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1)证明见解析,单调增区间为;(2).
【解析】(1)证明:当时,.
的定义域为.
当时,
.
,
∴在区间上是奇函数,
的单调增区间为,.
(2)由,
得.
令,
若使题中不等式恒成立,只需要.
由(1)知在上是增函数,所以.
所以m的取值范围是.
考点十
函数的应用(零点、零点存在性定理、二分法)
1.函数f(x)=的零点个数是________;
答案 2
解析 ①当x≤0时,由f(x)=0,即x2-2=0,解得x=或x=-.因为x≤0,所以x=-.
②法一 (函数单调性法)当x>0时,f(x)=2x-6+ln
x.
而f(1)=2×1-6+ln
1=-4<0,f(3)=2×3-6+ln
3=ln
3>0,所以f(1)·f(3)<0,又函数f(x)的图象是连续的,故由零点存在定理,可得函数f(x)在(1,3)内至少有一个零点.而函数y=2x-6在(0,+∞)上单调递增,y=ln
x在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=2x-6+ln
x在(0,+∞)上单调递增.故函数f(x)=2x-6+ln
x在(0,+∞)内有且只有1个零点.综上,函数f(x)共有2个零点.
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第一册
人教A版(新教材新标准)\\S++212.TIF"
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法二 (数形结合法)当x>0时,由f(x)=0,得2x-6+ln
x=0,
即ln
x=6-2x.
如图,分别作出函数y=ln
x和y=6-2x的图象.
显然,由图可知,两函数图象只有一个交点,且在y轴的右侧,故当x>0时,f(x)=0只有一个解.
综上,函数f(x)共有2个零点.
2.已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________.
答案
(3,+∞)
解析如图,当x≤m时,f(x)=|x|.
当x>m时,f(x)=x2-2mx+4m,
在(m,+∞)为增函数.
若存在实数b,使方程f(x)=b有三个不同的根,
则m2-2m·m+4m<|m|.
∵m>0,∴m2-3m>0,解得m>3.
3.函数的零点所在的区间为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】可以求得,所以函数的零点在区间内.故选C.
4.函数的零点个数为(
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【答案】C
【解析】令,则,即,又,故该方程有两根,且均满足函数定义域.故该函数有两个零点.故选:
5.方程的实数解的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.0
【答案】A
【解析】方程的实数解的个数,即为方程的实数解的个数,
即为函数与函数图象的交点的个数,
在同一坐标系中作出函数与函数的图象,如图所示:
只有一个交点,所以方程的实数解的个数为1故选:A
6.设,用二分法求方程在内近似解的过程中得,,,则方程的根落在区间
A.
B.
C.
D.不能确定
【答案】B
【解析】
又
由零点存在定理可得在区间存在零点.方程的根落在区间
故选:B.
考点十一
弦的齐次
1.已知,求下列代数式的值.
(1);
(2).
【答案】(1);(2).
【解析】(1).
(2)
考点十二
凑角计算
1.已知cos=,求cos-sin2的值.
解 因为cos=cos
=-cos=-,
sin2=sin2=sin2
=1-cos2=1-=,
所以cos-sin2=--=-.
2.已知cos=,≤α≤,求sin的值.
解 ∵α+=+,
∴sin=sin=cos=.
3.已知cos=,求下列各式的值:
(1)sin;(2)sin.
解 (1)sin=sin
=cos=.
(2)sin=sin
=-sin=-cos=-.
考点十三
正弦、余弦函数
1.已知函数在上单调递减,则实数的一个值是(
).
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为,则,
又函数在上单调递减,
所以,,
因此,,解得:,故选:C.
2.下列函数中,周期是的偶函数为(
).
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】A选项,函数的定义域为R,且,所以函数为偶函数,周期为;
B选项,函数的定义域为R,且,所以函数为奇函数,周期为;
C选项,函数的定义与为R,且,所以函数为偶函数,周期为;
D选项,函数的定义域为R,且,所以函数为偶函数,不具有周期性.故选:C
3.已知函数,下面结论错误的是(
)
A.函数的最小正周期为
B.函数在区间上是增函数
C.函数的图象关于直线对称
D.函数是偶函数
【答案】B
【解析】对于函数,它的周期等于,故正确.
令,则,则是的对称轴,故正确.
由于,故函数是偶函数,故D正确.
利用排除法可得B错误;故选:B.
4.函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】因为所以,解得,解得,所以或,故函数的定义域为
故答案为:
5.函数的最小值是
。
【答案】
【解析】当时,函数的最小值是,
在区间上的最小值为______.
【答案】0
【解析】因为,所以,
则,,
故在区间的最小值为,故答案为:.
7.函数,且的值域是________________.
【答案】
【解析】函数在,值域为,在也单调递增,值域为,
综上函数,且的值域是.
故答案为:
考点十四
正切函数
1.下列关于函数的说法正确的是(
)
A.函数的图象关于点成中心对称
B.函数的定义域为
C.函数在区间上单调递增
D.函数在区间上单调递增
【答案】B
【解析】,A错;由得,B正确;
时,,函数在此区间上不单调,C错;
或时,函数值不存在,D错.故选:B.
2.设函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期,对称中心;
(2)作出函数在一个周期内的简图.
【答案】(1),;(2)图象见解析
【解析】(1),.
令,,解得,,
故对称中心为.
(2)令,解得,令,解得,
令,解得,令,解得,
令,解得,
所以函数的图象与轴的一个交点坐标为,
在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为和.
故函数在一个周期内的函数图象为:
考点十五
给值求值、给角求角
1.已知α,β为锐角,且cos
α=,cos(α+β)=-,求cos
β
的值.
解 ∵0<α,β<,∴0<α+β<π.
由cos(α+β)=-,得sin(α+β)===.
又∵cos
α=,∴sin
α=.
∴cos
β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)·sin
α=×+×=.
2.已知<α<,0<β<,cos=-,sin=,求sin(α+β)的值.
解 因为<α<,所以<+α<π.
因为cos=-,所以sin=.
因为0<β<,所以<+β<π.
因为sin=,所以cos=-.
因为+=π+α+β,
所以sin(α+β)=-sin[π+(α+β)]
=-sin
=-sincos-cossin
=-×-×=.
3.已知sin=,sin=,且α-∈,β-∈,求的值.
解 (1)∵α-∈,β-∈,
∴0<<π,cos=,cos=.
∴cos=cos
=coscos-sin
sin
=×-×=,
∴=.
4.已知sin
α=,α为第二象限的角,且tan(α+β)=-,则tan
β的值为( )
A.-
B.
C.-
D.
解析 ∵α为第二象限角,∴cos
α<0,cos
α=-,
∴tan
α=-.
tan
β=tan[(α+β)-α]=
==-.
答案
C
5.(1)在△ABC中,tan
A=,tan
B=-2,则角C=________.
解析 tan(A+B)===-1,
∵A+B∈(0,π),∴A+B=,∴C=π-(A+B)=.
答案
(2)若α,β均为钝角,且(1-tan
α)(1-tan
β)=2,求α+β.
解 ∵(1-tan
α)(1-tan
β)=2,
∴1-(tan
α+tan
β)+tan
αtan
β=2,
∴tan
α+tan
β=tan
αtan
β-1,
∴=-1.∴tan(α+β)=-1.
∵α,β∈,∴α+β∈(π,2π).
∴α+β=.
6.(1)若tan
α=,则cos2α+2sin
2α=( )
A.
B.
C.1
D.
(2)已知cos=,≤α<,则cos的值为________.
(3)已知sin=,0解析 (1)原式=cos2α+4sin
αcos
α==.
(2)∵cos=,≤α<,又cos
=>0,∴<α+<,
∴sin=-=-,
从而cos
2α=sin=2sincos=-,
sin
2α=-cos=1-2cos2=.
∴cos=cos
2αcos-sin
2αsin=(cos
2α-sin
2α)=×=-.
(3)∵0∴-x∈,cos=,
利用诱导公式,sin=cos=cos=.
∴原式===2sin=.
答案 (1)A (2)- (3)
考点十六
利用辅助角公式研究函数性质
已知函数f(x)=sin+2sin2(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
解 (1)∵f(x)=sin+2sin2
=sin+1-cos
=2+1
=2sin+1=2sin+1,
∴f(x)的最小正周期为T==π.
(2)当f(x)取得最大值时,sin=1,
有2x-=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z),
∴所求x的集合为.
已知函数f(x)=cos·cos,g(x)=sin
2x-.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值时x的集合.
解 (1)f(x)=·
=cos2x-sin2x=-=cos
2x-,
∴f(x)的最小正周期为T==π.
(2)h(x)=f(x)-g(x)=cos
2x-sin
2x=cos,
当2x+=2kπ(k∈Z),
即x=kπ-(k∈Z)时,h(x)有最大值.
此时x的集合为.
考点十七
三角函数图像的伸缩变换
说明y=2sin的图象可由y=sin
x的图象经过怎样的变换而得到.
解 法一 把y=sin
x的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin的图象;再把y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象;最后把y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图象.
法二 将y=sin
x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin
2x的图象;再将y=sin
2x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象;再将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即得到y=2sin的图象.
考点十八
y=Asin(ωx+φ)的性质的综合应用
如图是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,求此函数的解析式.
解 法一(逐一定参法)
由图象知A=3,T=-=π,∴ω==2,∴y=3sin(2x+φ).
∵点在函数图象上,∴0=3sin.
∴-×2+φ=2kπ(k∈Z),得φ=+2kπ(k∈Z).
∵|φ|<,∴φ=.∴y=3sin.
法二(待定系数法)
由图象知A=3.∵图象过点和,
∴解得
∴y=3sin.
法三(图象变换法)
由A=3,T=π,点在图象上,可知函数图象由y=3sin
2x向左平移个单位长度而得,
所以y=3sin
2,即y=3sin.
2.已知函数f(x)=sin+.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调递增区间;
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心;
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合.
解 (1)函数f(x)的振幅为,最小正周期T==π,
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)令2x+=kπ+(k∈Z),则x=+(k∈Z),所以对称轴方程为x=+(k∈Z);
令2x+=kπ(k∈Z),则x=-(k∈Z),
所以对称中心为(k∈Z).
(3)sin=-1,即2x+=-+2kπ(k∈Z),
x=-+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值为,
此时x的取值集合是.
作为子集的集合,要分该集合是空集、不是空集两类讨论。
1.含参数的一元二次不等式的恒成立问题,优先考虑参变分离的方法,把问题归结为不含参数的函数的值域问题,也可以讨论不等式对应的二次函数的最值.
2.求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称命题“?x∈M,a>f(x)(或af(x)max(或a(2)对于特称命题“?x0∈M,a>f(x0)(或af(x)min(或a考查基本不等式,采用构造法,基本不等式需注意:“一正二定三相等”缺一不可。一不可
条件型(乘K法):和为定值K,求倒数和的最小值,采用乘K法
1.分子分母为一次函数和二次函数,把二次函数配凑成关系一次函数的一元二次,再分子分母同除一次函数
2.给出等式但是不符合条件型,则从分母入手,分母相加减可得到等式的关系的倍数,即降次-配凑-均值不等式
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