2019人教A版高一数学第一册考点针对训练(含解析)

文档属性

名称 2019人教A版高一数学第一册考点针对训练(含解析)
格式 zip
文件大小 3.8MB
资源类型 试卷
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2021-06-20 09:17:14

文档简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2019人教A版高一数学第一册考点(原题)
考点一
根据逻辑关系求参数范围
1已知集合,,若,则实数a的取值范围是(

A.
B.
C.
D.
2.已知,,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为(

A.
B.
C.
D.
3.关于的不等式成立的一个充分不必要条件是,则的取值范围是(

A.
B.
C.
D.
4.已知
,,且是的充分不必要条件,则的取值范围是(

A.
B.
C.
D.
5.命题“,”为真命题的一个充分不必要条件是(

A.
B.
C.
D.
6.若命题“使”是假命题,则实数的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
7.已知函数,,若,,使得,则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
考点二
基本不等式
1.若,则的最大值是


A.
B.
C.
D.
2.已知,求函数的最小值是

)
A.4
B.3
C.2
D.1
3.已知实数,则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知实数,,,则的最小值是(

A.
B.
C.
D.
5.已知,则的最小值是________.
6.已知正数、满足,则的最小值为
.
7.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是(
)
A.3
B.4
C.
D.
8.已知不等式对任意实数、恒成立,则实数的最小值为(

A.
B.
C.
D.
考点三
恒成立、能成立问题
不等式恒成立、能成立问题通常利用分离变量转化为求函数的最值.
(1)对于任意,()恒成立();
对于任意,()恒成立().
(2)对于存在,()能成立();
对于存在,()能成立().
1.已知关于的不等式在上有解,则实数的取值范围是(

A.
B.
C.
D.
2.若关于的不等式在内有解,则实数的取值范围是(

A.
B.
C.
D.
3.若命题“存在,”为假命题,则实数的取值范围是____
4.
若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围是_________.
5.设函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围;
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围;
(3)设不等式f(x)≥a对于满足1≤a≤3的一切a的取值都成立,求x的取值范围.
考点四
求函数解析式
1.根据下列条件,求f(x)的解析式.
(1)f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9;
(2)f(x+1)=x2+4x+1;
(3).
(4)f(x)+2f(-x)=x2+2x.
考点五
利用单调性求参数
1.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)2.已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)3.已知函数f(x)=x2+ax+b在区间(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,且f(m+2)4.设定义在[-3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数,若f(1-m)5.定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)为减函数,若g(1-m)考点六
幂函数
1.若幂函数图像过点,则此函数的解析式是________.
2.已知幂函数()在上是减函数,则n的值为(

A.
B.1
C.
D.1和
3.已知幂函数的图象关于轴对称,且与轴、轴均无交点,则的值为(

A.
B.0
C.1
D.2
4.幂函数在第一象限内图象如图.若则与曲线,,,对应的的值依次为(

A.
B.
C.
D.
5.函数恒过一个定点,这个定点坐标是  ;
考点七
指数、对数运算
1.计算下列各式:
(1).
(2).
(3).
2.计算下列各式:
(1)_______
.
(2)__________.
(3)=______.
(4)_________.
考点八
指数函数
1.求下列函数的定义域和值域:
(1);
(2);
(3).
2.设,,,则(

A.
B.
C.
D.
3.函数(,且)的图象过定点,则点的坐标为(

A.
B.
C.
D.
考点九
对数函数
1.函数的单调减区间是(

A.
B.
C.
D.
2.已知在上是增函数,则实数的取值范围是(

A.
B.
C.
D.
3.函数的定义域为(

A.
B.
C.
D.
4.函数的值域是(???).
A.R
B.
C.
D.
5.已知,,,则,,的大小关系是(

A.
B.
C.
D.
6.函数的图象恒过定点,(其中且),则的坐标为__________.
7.已知函数
(>0且≠1)的图像过点(9,2)
(1)求函数的解析式;
(2)解不等式.
8.已知函数,a常数.
(1)若,求证为奇函数,并指出的单调区间;
(2)若对于,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
考点十
函数的应用(零点、零点存在性定理、二分法)
1.函数f(x)=的零点个数是________;
2.已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________.
3.函数的零点所在的区间为(

A.
B.
C.
D.
4.函数的零点个数为(

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
5.方程的实数解的个数为(

A.1
B.2
C.3
D.0
6.设,用二分法求方程在内近似解的过程中得,,,则方程的根落在区间  
A.
B.
C.
D.不能确定
考点十一
弦的齐次
1.已知,求下列代数式的值.
(1);
(2).
考点十二
凑角计算
1.已知cos=,求cos-sin2的值.
2.已知cos=,≤α≤,求sin的值.
3.已知cos=,求下列各式的值:(1)sin;(2)sin.
考点十三
正弦、余弦函数
1.已知函数在上单调递减,则实数的一个值是(
).
A.
B.
C.
D.
2.下列函数中,周期是的偶函数为(
).
A.
B.
C.
D.
3.已知函数,下面结论错误的是(

A.函数的最小正周期为
B.函数在区间上是增函数
C.函数的图象关于直线对称
D.函数是偶函数
4.函数的定义域是__________.
5.函数的最小值是

6.在区间上的最小值为______.
7.函数,且的值域是________________.
考点十四
正切函数
1.下列关于函数的说法正确的是(

A.函数的图象关于点成中心对称
B.函数的定义域为
C.函数在区间上单调递增
D.函数在区间上单调递增
2.设函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期,对称中心;
(2)作出函数在一个周期内的简图.
考点十五
给值求值、给角求角
1.已知α,β为锐角,且cos
α=,cos(α+β)=-,求cos
β
的值.
2.已知<α<,0<β<,cos=-,sin=,求sin(α+β)的值.
已知sin=,sin=,且α-∈,β-∈,求的值.
4.已知sin
α=,α为第二象限的角,且tan(α+β)=-,则tan
β的值为(  )
A.-
B.
C.-
D.
5.(1)在△ABC中,tan
A=,tan
B=-2,则角C=________.
(2)若α,β均为钝角,且(1-tan
α)(1-tan
β)=2,求α+β.
6.(1)若tan
α=,则cos2α+2sin
2α=(  )
A.
B.
C.1
D.
(2)已知cos=,≤α<,则cos的值为________.
(3)已知sin=,0考点十六
利用辅助角公式研究函数性质
1.已知函数f(x)=sin+2sin2(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
2.已知函数f(x)=cos·cos,g(x)=sin
2x-.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值时x的集合.
考点十七
三角函数图像的伸缩变换
1.说明y=2sin的图象可由y=sin
x的图象经过怎样的变换而得到.
考点十八
 y=Asin(ωx+φ)的性质的综合应用
1.如图是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,求此函数的解析式.
2.已知函数f(x)=sin+.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调递增区间;
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心;
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合.
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精品试卷·第
2

(共
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2019人教A版高一数学第一册考点(解析)
考点一
根据逻辑关系求参数范围
1已知集合,,若,则实数a的取值范围是(

A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】,
当时,,解得,符合题意;
当时,
或,解得或,
综上所述,实数a的取值范围是.故选:B
2.已知,,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为(

A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由,即,解得,
由得,
若是的充分不必要条件,则,
解得,实数的取值范围为,
故选:C.
3.关于的不等式成立的一个充分不必要条件是,则的取值范围是(

A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题可知是不等式的解集的一个真子集.
当时,不等式的解集为,此时;
当时,不等式的解集为,
,合乎题意;
当时,不等式的解集为,
由题意可得,此时.
综上所述,.故选:D.
4.已知
,,且是的充分不必要条件,则的取值范围是(

A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题意知:可化简为,,
所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集,所以.
5.命题“,”为真命题的一个充分不必要条件是(

A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】,,∴要使恒成立,则恒成立,即,
本题求的是充分不必要条件,结合选项,只有B符合.故选:B.
6.若命题“使”是假命题,则实数的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题得,原命题的否命题是“,使”,
即,解得.选B.
7.已知函数,,若,,使得,则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由,知
当时,
由,知
当时,
由题意得:,即
,解得综上,.故选:D
考点二
基本不等式
若,则的最大值是


B.
C.
D.
【答案】A
【解析】,故,则,当时取“=”,所以正确选项为A
2.已知,求函数的最小值是

)
A.4
B.3
C.2
D.1
【答案】D
【解析】(2)由,即,所以,时取“=”,所以正确选项为D
3.已知实数,则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】(1)D
【解析】(1),正确选项为D
4.已知实数,,,则的最小值是(

A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】∵,,
当且仅当,即,时取等号.故选B
已知,则的最小值是________.
【答案】5
【解析】当时,,,
当且仅当,即当时,等号成立,
因此,函数的最小值为.故答案为:.
6.已知正数、满足,则的最小值为
【答案】
【解析】,所以,,
则,
所以,,
当且仅当,即当时,等号成立,
因此,的最小值为,故选:.
7.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是(
)
A.3
B.4
C.
D.
【答案】B
【解析】考察均值不等式,整理得即,又,
8.已知不等式对任意实数、恒成立,则实数的最小值为(

A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】.
若,则,从而无最小值,不合乎题意;
若,则,.
①当时,无最小值,不合乎题意;
②当时,,则不恒成立;
③当时,,
当且仅当时,等号成立.
所以,,解得,因此,实数的最小值为.故选:C.
考点三
恒成立、能成立问题
1.已知关于的不等式在上有解,则实数的取值范围是(

A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】时,不等式可化为;
当时,不等式为,满足题意;
当时,不等式化为,则,当且仅当时取等号,
所以,即;
当时,恒成立;
综上所述,实数的取值范围是答案选A
2.若关于的不等式在内有解,则实数的取值范围是(

A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】原不等式在内有解等价于在内有解,
设函数,所以原问题等价于
又当时,,
所以.故选:A.
3.若命题“存在,”为假命题,则实数的取值范围是____
【答案】
【解析】由题意可知,命题“对任意的,”为真命题,
,解得.
因此,实数的取值范围是.故答案为:.
4.若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】对不等式分离参数得:
设(),则
令,则
函数在区间单减,故,
所以,即实数的取值范围是.
5.设函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围;
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围;
(3)设不等式f(x)≥a对于满足1≤a≤3的一切a的取值都成立,求x的取值范围.
5.【答案】(1)-6≤a≤2;
(2)
-7≤a≤2;
(3)
x≤-3或x≥0.
(2)【提示】思路1:(利用二次函数的图象)
注:此方法可改进,由f(2)≥a,f(-2)≥a得-7≤a≤.对称轴x=-∈[-,],可少讨论一种情况.
思路2:(求函数的最值)
注:此方法可改进,由f(2)≥a,f(-2)≥a得-7≤a≤,再进行分类讨论.
思路3:(变量分离后,再求函数的最值)

考点四
求函数解析式
1.根据下列条件,求f(x)的解析式.
(1)f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9;
(2)f(x+1)=x2+4x+1;
(3).
(4)f(x)+2f(-x)=x2+2x.
【答案】(1)f(x)=x+3;(2)f(x)=x2+2x-2;(3);
(4)
【解析】(1)解由题意,设f(x)=ax+b(a≠0)
∵3f(x+1)-f(x)=2x+9∴3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9,
即2ax+3a+2b=2x+9,由恒等式性质,得∴a=1,b=3
∴所求函数解析式为f(x)=x+3.
(2)设x+1=t,则x=t-1f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1
即f(t)=t2+2t-2.∴所求函数解析式为f(x)=x2+2x-2.
(3)解,将原式中的x与互换,得.
于是得关于f(x)的方程组解得.
(4)将x换成-x,得f(-x)+2f(x)=x2-2x,
∴联立以上两式消去f(-x),得3f(x)=x2-6x,
考点五
利用单调性求参数
1.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)解 由题意知解得0即所求a的取值范围是.
2.已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)答案 
解析 由题意得解得-1≤x<.
3.已知函数f(x)=x2+ax+b在区间(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,且f(m+2)答案 (-2,0)
解析
∵f(x)在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,
∴-=1,∴a=-2.如图.
∵f(m+2)∴0则实数m的取值范围为(-2,0).
设定义在[-3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数,若f(1-m)解 (1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,3]上是减函数,
所以f(x)在[-3,3]上是减函数.
所以不等式f(1-m)解得-2≤m<,即m的取值范围为.
5.定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)为减函数,若g(1-m)解∵g(x)在[-2,2]上为偶函数,且x≥0时为减函数,
∴g(1-m)≤g(m)?g(|1-m|)即m的取值范围为.
考点六
幂函数
1.若幂函数图像过点,则此函数的解析式是________.
【答案】
【解析】设幂函数的解析式为,由于函数图象过点,故有,解得,
所以该函数的解析式是,故答案为:.
2.已知幂函数()在上是减函数,则n的值为(

A.
B.1
C.
D.1和
【答案】B
【解析】因为函数是幂函数所以所以或
当时在上是增函数,不合题意.
当时在上是减函数,成立故选:B
3.已知幂函数的图象关于轴对称,且与轴、轴均无交点,则的值为(

A.
B.0
C.1
D.2
【答案】C
【解析】由题意可得:且为偶数,,
解得,且为偶数,,
∴.
故选:C.
4.已知幂函数在第一象限内的图象如图所示.若则与曲线,,,对应的的值依次为(

A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由幂函数的图象与性质,在第一象限内,在的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数依次增大,曲线,,,对应的的值依次为:
故选:C.
5.函数恒过一个定点,这个定点坐标是  ;
【答案】
【解析】因为恒过,故恒过故答案为
考点七
指数、对数运算
1.计算下列各式:
(1).
(2).
(3).
【答案】(1);(2)100;(3).
【解析】(1)原式.
(2)原式.
(3)原式.
2.计算下列各式:
(1)_______
.
(2)__________.
(3)=______.
(4)_________.
【答案】(1)2(2)4(3)(4)3
【解析】(1)原式.
故答案为:2.
(2)原式
故答案为4
(3)
=.故答案为:.
(4)原式.故答案为:.
考点八
指数函数
1.求下列函数的定义域和值域:
(1);
(2);
(3).
【答案】(1)定义域,值域为且;
(2)定义域,值域;(3)定义域,值域
【解析】(1)要使函数式有意义,则,解得.所以函数的定义域为.因为,所以,即函数的值域为.
(2)要使函数式有意义,则,解得,所以函数的定义域为.因为,所以,即函数的值域为.
(3)函数的定义域为.因为,所以.
又,所以函数的值域为.
2.设,,,则(

A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】

因为函数在定义域上为单调递增函数,所以.故选:D.
3.函数(,且)的图象过定点,则点的坐标为(

A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为的图象恒过点,则的图象恒过点,所以恒过定点.故选.
考点九
对数函数
1.函数的单调减区间是(

A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题:,,解得:,
的减区间,即的减区间,对称轴为结合二次函数单调性,
所以的减区间.故选:D
2.已知在上是增函数,则实数的取值范围是(

A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设,
在上是增函数,
,即,解得,
实数的取值范围是
,故选:C.
3.函数的定义域为(

A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】要使得函数有意义,只需:且,解得.故函数定义域为.
故选:.
4.函数的值域是(???).
A.R
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】恒成立,函数的定义域为

由复合函数的单调性可知函数在定义域上先增后减,函数取到最大值即:
函数的值域为故选
5.已知,,,则,,的大小关系是(

A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】,,,,
故选:A
6.函数的图象恒过定点,(其中且),则的坐标为__________.
【答案】
【解析】令,解得
,所以
,所以
的坐标为,故答案为:
7.已知函数
(>0且≠1)的图像过点(9,2)
(1)求函数的解析式;
(2)解不等式.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为,所以,即
(2)因为单调递增,所以即不等式的解集是
8.已知函数,a常数.
(1)若,求证为奇函数,并指出的单调区间;
(2)若对于,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1)证明见解析,单调增区间为;(2).
【解析】(1)证明:当时,.
的定义域为.
当时,
.

∴在区间上是奇函数,
的单调增区间为,.
(2)由,
得.
令,
若使题中不等式恒成立,只需要.
由(1)知在上是增函数,所以.
所以m的取值范围是.
考点十
函数的应用(零点、零点存在性定理、二分法)
1.函数f(x)=的零点个数是________;
答案 2 
解析 ①当x≤0时,由f(x)=0,即x2-2=0,解得x=或x=-.因为x≤0,所以x=-.
②法一 (函数单调性法)当x>0时,f(x)=2x-6+ln
x.
而f(1)=2×1-6+ln
1=-4<0,f(3)=2×3-6+ln
3=ln
3>0,所以f(1)·f(3)<0,又函数f(x)的图象是连续的,故由零点存在定理,可得函数f(x)在(1,3)内至少有一个零点.而函数y=2x-6在(0,+∞)上单调递增,y=ln
x在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=2x-6+ln
x在(0,+∞)上单调递增.故函数f(x)=2x-6+ln
x在(0,+∞)内有且只有1个零点.综上,函数f(x)共有2个零点.
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法二 (数形结合法)当x>0时,由f(x)=0,得2x-6+ln
x=0,
即ln
x=6-2x.
如图,分别作出函数y=ln
x和y=6-2x的图象.
显然,由图可知,两函数图象只有一个交点,且在y轴的右侧,故当x>0时,f(x)=0只有一个解.
综上,函数f(x)共有2个零点.
2.已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________.
答案
(3,+∞)
解析如图,当x≤m时,f(x)=|x|.
当x>m时,f(x)=x2-2mx+4m,
在(m,+∞)为增函数.
若存在实数b,使方程f(x)=b有三个不同的根,
则m2-2m·m+4m<|m|.
∵m>0,∴m2-3m>0,解得m>3.
3.函数的零点所在的区间为(

A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】可以求得,所以函数的零点在区间内.故选C.
4.函数的零点个数为(

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【答案】C
【解析】令,则,即,又,故该方程有两根,且均满足函数定义域.故该函数有两个零点.故选:
5.方程的实数解的个数为(

A.1
B.2
C.3
D.0
【答案】A
【解析】方程的实数解的个数,即为方程的实数解的个数,
即为函数与函数图象的交点的个数,
在同一坐标系中作出函数与函数的图象,如图所示:
只有一个交点,所以方程的实数解的个数为1故选:A
6.设,用二分法求方程在内近似解的过程中得,,,则方程的根落在区间  
A.
B.
C.
D.不能确定
【答案】B
【解析】

由零点存在定理可得在区间存在零点.方程的根落在区间
故选:B.
考点十一
弦的齐次
1.已知,求下列代数式的值.
(1);
(2).
【答案】(1);(2).
【解析】(1).
(2)
考点十二
凑角计算
1.已知cos=,求cos-sin2的值.
解 因为cos=cos
=-cos=-,
sin2=sin2=sin2
=1-cos2=1-=,
所以cos-sin2=--=-.
2.已知cos=,≤α≤,求sin的值.
解 ∵α+=+,
∴sin=sin=cos=.
3.已知cos=,求下列各式的值:
(1)sin;(2)sin.
解 (1)sin=sin
=cos=.
(2)sin=sin
=-sin=-cos=-.
考点十三
正弦、余弦函数
1.已知函数在上单调递减,则实数的一个值是(
).
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为,则,
又函数在上单调递减,
所以,,
因此,,解得:,故选:C.
2.下列函数中,周期是的偶函数为(
).
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】A选项,函数的定义域为R,且,所以函数为偶函数,周期为;
B选项,函数的定义域为R,且,所以函数为奇函数,周期为;
C选项,函数的定义与为R,且,所以函数为偶函数,周期为;
D选项,函数的定义域为R,且,所以函数为偶函数,不具有周期性.故选:C
3.已知函数,下面结论错误的是(

A.函数的最小正周期为
B.函数在区间上是增函数
C.函数的图象关于直线对称
D.函数是偶函数
【答案】B
【解析】对于函数,它的周期等于,故正确.
令,则,则是的对称轴,故正确.
由于,故函数是偶函数,故D正确.
利用排除法可得B错误;故选:B.
4.函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】因为所以,解得,解得,所以或,故函数的定义域为
故答案为:
5.函数的最小值是

【答案】
【解析】当时,函数的最小值是,
在区间上的最小值为______.
【答案】0
【解析】因为,所以,
则,,
故在区间的最小值为,故答案为:.
7.函数,且的值域是________________.
【答案】
【解析】函数在,值域为,在也单调递增,值域为,
综上函数,且的值域是.
故答案为:
考点十四
正切函数
1.下列关于函数的说法正确的是(

A.函数的图象关于点成中心对称
B.函数的定义域为
C.函数在区间上单调递增
D.函数在区间上单调递增
【答案】B
【解析】,A错;由得,B正确;
时,,函数在此区间上不单调,C错;
或时,函数值不存在,D错.故选:B.
2.设函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期,对称中心;
(2)作出函数在一个周期内的简图.
【答案】(1),;(2)图象见解析
【解析】(1),.
令,,解得,,
故对称中心为.
(2)令,解得,令,解得,
令,解得,令,解得,
令,解得,
所以函数的图象与轴的一个交点坐标为,
在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为和.
故函数在一个周期内的函数图象为:
考点十五
给值求值、给角求角
1.已知α,β为锐角,且cos
α=,cos(α+β)=-,求cos
β
的值.
解 ∵0<α,β<,∴0<α+β<π.
由cos(α+β)=-,得sin(α+β)===.
又∵cos
α=,∴sin
α=.
∴cos
β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)·sin
α=×+×=.
2.已知<α<,0<β<,cos=-,sin=,求sin(α+β)的值.
解 因为<α<,所以<+α<π.
因为cos=-,所以sin=.
因为0<β<,所以<+β<π.
因为sin=,所以cos=-.
因为+=π+α+β,
所以sin(α+β)=-sin[π+(α+β)]
=-sin
=-sincos-cossin
=-×-×=.
3.已知sin=,sin=,且α-∈,β-∈,求的值.
解 (1)∵α-∈,β-∈,
∴0<<π,cos=,cos=.
∴cos=cos
=coscos-sin
sin
=×-×=,
∴=.
4.已知sin
α=,α为第二象限的角,且tan(α+β)=-,则tan
β的值为(  )
A.-
B.
C.-
D.
解析 ∵α为第二象限角,∴cos
α<0,cos
α=-,
∴tan
α=-.
tan
β=tan[(α+β)-α]=
==-.
答案
C
5.(1)在△ABC中,tan
A=,tan
B=-2,则角C=________.
解析 tan(A+B)===-1,
∵A+B∈(0,π),∴A+B=,∴C=π-(A+B)=.
答案 
(2)若α,β均为钝角,且(1-tan
α)(1-tan
β)=2,求α+β.
解 ∵(1-tan
α)(1-tan
β)=2,
∴1-(tan
α+tan
β)+tan
αtan
β=2,
∴tan
α+tan
β=tan
αtan
β-1,
∴=-1.∴tan(α+β)=-1.
∵α,β∈,∴α+β∈(π,2π).
∴α+β=.
6.(1)若tan
α=,则cos2α+2sin
2α=(  )
A.
B.
C.1
D.
(2)已知cos=,≤α<,则cos的值为________.
(3)已知sin=,0解析 (1)原式=cos2α+4sin
αcos
α==.
(2)∵cos=,≤α<,又cos
=>0,∴<α+<,
∴sin=-=-,
从而cos
2α=sin=2sincos=-,
sin
2α=-cos=1-2cos2=.
∴cos=cos
2αcos-sin
2αsin=(cos
2α-sin
2α)=×=-.
(3)∵0∴-x∈,cos=,
利用诱导公式,sin=cos=cos=.
∴原式===2sin=.
答案 (1)A (2)- (3)
考点十六
利用辅助角公式研究函数性质
已知函数f(x)=sin+2sin2(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
解 (1)∵f(x)=sin+2sin2
=sin+1-cos
=2+1
=2sin+1=2sin+1,
∴f(x)的最小正周期为T==π.
(2)当f(x)取得最大值时,sin=1,
有2x-=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z),
∴所求x的集合为.
已知函数f(x)=cos·cos,g(x)=sin
2x-.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值时x的集合.
解 (1)f(x)=·
=cos2x-sin2x=-=cos
2x-,
∴f(x)的最小正周期为T==π.
(2)h(x)=f(x)-g(x)=cos
2x-sin
2x=cos,
当2x+=2kπ(k∈Z),
即x=kπ-(k∈Z)时,h(x)有最大值.
此时x的集合为.
考点十七
三角函数图像的伸缩变换
说明y=2sin的图象可由y=sin
x的图象经过怎样的变换而得到.
解 法一 把y=sin
x的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin的图象;再把y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象;最后把y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图象.
法二 将y=sin
x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin
2x的图象;再将y=sin
2x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象;再将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即得到y=2sin的图象.
考点十八
 y=Asin(ωx+φ)的性质的综合应用
如图是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,求此函数的解析式.
解 法一(逐一定参法)
由图象知A=3,T=-=π,∴ω==2,∴y=3sin(2x+φ).
∵点在函数图象上,∴0=3sin.
∴-×2+φ=2kπ(k∈Z),得φ=+2kπ(k∈Z).
∵|φ|<,∴φ=.∴y=3sin.
法二(待定系数法)
由图象知A=3.∵图象过点和,
∴解得
∴y=3sin.
法三(图象变换法)
由A=3,T=π,点在图象上,可知函数图象由y=3sin
2x向左平移个单位长度而得,
所以y=3sin
2,即y=3sin.
2.已知函数f(x)=sin+.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调递增区间;
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心;
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合.
解 (1)函数f(x)的振幅为,最小正周期T==π,
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)令2x+=kπ+(k∈Z),则x=+(k∈Z),所以对称轴方程为x=+(k∈Z);
令2x+=kπ(k∈Z),则x=-(k∈Z),
所以对称中心为(k∈Z).
(3)sin=-1,即2x+=-+2kπ(k∈Z),
x=-+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值为,
此时x的取值集合是.
作为子集的集合,要分该集合是空集、不是空集两类讨论。
1.含参数的一元二次不等式的恒成立问题,优先考虑参变分离的方法,把问题归结为不含参数的函数的值域问题,也可以讨论不等式对应的二次函数的最值.
2.求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称命题“?x∈M,a>f(x)(或af(x)max(或a(2)对于特称命题“?x0∈M,a>f(x0)(或af(x)min(或a考查基本不等式,采用构造法,基本不等式需注意:“一正二定三相等”缺一不可。一不可
条件型(乘K法):和为定值K,求倒数和的最小值,采用乘K法
1.分子分母为一次函数和二次函数,把二次函数配凑成关系一次函数的一元二次,再分子分母同除一次函数
2.给出等式但是不符合条件型,则从分母入手,分母相加减可得到等式的关系的倍数,即降次-配凑-均值不等式
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