专题2.3：平面向量-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（沪教版2020）（含解析）

专题2.3：平面向量
一、单选题
1．已知各项均不为零的数列，定义向量，，．下列命题中真命题是（ ）
A．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列
B．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列
C．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列
D．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列
二、填空题
2．若，则与同方向的单位向量____________
3．若，则与的夹角为___________
4．若，则的值为______________
5．已知，则在方向上的投影为__________
6．如图，在直角梯形中，//是线段上一动点，是线段上一动点，则的最大值为________．
7．已知向量，，则的最大值为_______.
8．如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且，，，则______．
9．如图，在中，为上不同于的任意一点，点满足，若,则的最小值为________
10．在中，，，. 若，，且，则的值为______________.
11．已知向量的模均为1，且，则的最大值为_________.
12．已知点为的重心，过点作直线与，两边分别交于两点，且，，则___________．
13．若、为单位向量，且，则向量、的夹角为_______.（用反三角函数值表示）
三、解答题
14． 已知 （1）求；
（2）当为何实数时,与平行, 平行时它们是同向还是反向？
15．设向量，，.
（1）若，求实数的值；
（2）求在方向上的投影.
16．已知点是重心，.
（1）用和表示；
（2）用和表示.
17．已知，.
（1）计算及、；
（2）设，，，若，试求此时和满足的函数关系式，并求的最小值.
18．已知.
（1）求的坐标；
（2）设，求数列的通项公式；
（3）设，，其中为常数，，求的值.
参考答案
1．A
【分析】
根据向量平行的坐标表示，得到，利用累乘法，求得，从而可作出判定，得到答案．
【详解】
由题意知，向量，，．
当时，可得，即，
所以，
所以数列表示首项为，公差为的等差数列．
当，可得，即，
所以，
所以数列既不是等差数列，也不是等比数列．
故选：A．
【点评】方法点睛：本题主要考查了向量的平行关系的坐标表示，等差数列的定义，解题方法是用“累乘法”求解通项公式．
2．
【分析】
直接利用公式计算得到答案.
【详解】
与同方向的单位向量
故答案为：
【点评】本题考查了单位向量的计算，属于基础题型.
3．
【分析】
两边平方，化简得到，计算得到答案.
【详解】
则
故答案为：
【点评】本题考查了向量夹角的计算，意在考查学生的计算能力.
4．
【分析】
根据确定长度和方向画出图形，得到答案.
【详解】
如图所示：根据得到长度和方向关系
，故
故答案为：
【点评】本题考查了向量的计算，画出图形可以直观的得到答案，简化了运算，是解题的关键.
5．
【分析】
直接利用投影公式得到答案.
【详解】
在方向上的投影为
故答案为：
【点评】本题考查了投影的计算，意在考查学生对于投影的理解和掌握.
6．2
【分析】
建立平面直角坐标系，得到相应点的坐标及向量的坐标，把，利用向量的数量积转化为的函数，即可求解．
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，
因为，，所以,
因为，，
所以

,
因为，所以当时，取得最大值，最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及向量的数量积的运算的应用，其中解答中建立平面直角坐标系，结合向量的线性运算和数量积的运算，得到的函数关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
7．.
【分析】
计算出，利用辅助角公式进行化简，并求出的最大值，可得出的最大值.
【详解】
，，，
所以，，
当且仅当，即当，等号成立，
因此，的最大值为，故答案为.
【点评】本题考查平面向量模的最值的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8．
【分析】
建立坐标系，设，，根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算的值．
【详解】
以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，
设，，，则，
，，，
，整理可得：．
又，，
．
故答案为．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是突破点，准确计算是关键，属于中档题．
9．.
【详解】
分析：首先结合题中的条件，得到，进一步求得，根据从同一个点出发的三个向量，其中一个用另两个来表示，三个向量的终点共线时，满足系数和等于1，即，得到，之后代换，结合二次函数的最值来解决，配方即可求得结果.
详解：根据题意，可知，从而可求得，
根据三点共线，可得，即，
所以，
故其最小值为.
点睛：该题考查的是有关向量的基本定理的问题，以及相关的系数所满足的条件以及对应的结论，注意将式子转化为二次函数，配方法求得结果.
10．
【详解】
,则
.
【考点】向量的数量积
【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.
11．
【分析】
根据已知条件可设向量，运用三角函数辅助角公式可求得最值.
【详解】
依题意可设，，则
，所以的最大值为.
故答案为：.
【点评】本题考查向量的数量积运算，运用三角函数的辅助角公式求最值，属于中档题.
12．
【详解】
因为为的重心,所以,
因为:三点共线,所以,所以,
所以答案为:．
13．.
【分析】
设向量、的夹角为，利用平面向量数量积的运算律与定义计算出的值，利用反三角函数可求出的值.
【详解】
设向量、的夹角为，
由平面向量数量积的运算律与定义得，，，因此，向量、的夹角为，故答案为.
【点评】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角，解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律，考查运算求解能力，属于中等题.
14．（1）=.（2）时，它们反向平行．
【详解】
试题分析：（1）先利用平面向量的坐标运算得到，再利用模长公式进行求解；（2）先利用平面向量的坐标运算得到有关向量的坐标，再利用求值，再利用系数的正负判定同向还是反向．
试题解析：（1）
（2）
又‖
此时,,
当时 反向共线．
考点：1．平面向量的坐标运算；2．平面向量共线的坐标判定．
15．（1）；（2）.
【分析】
（1）计算出的坐标，然后利用共线向量的坐标表示列出等式求出实数的值；
（2）求出和，从而可得出在方向上的投影为.
【详解】
（1），，，
，，，解得；
（2），，
在方向上的投影.
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标运算以及投影的计算，在解题时要弄清楚这些知识点的定义以及坐标运算律，考查计算能力，属于中等题.
16．（1）（2）.
【分析】
（1）设的中点为，可得出，利用重心性质得出，由此可得出关于、的表达式；
（2）由，得出，再由，可得出关于、的表达式.
【详解】
（1）设的中点为，则，，
为的重心，因此，；
（2），，
因此，.
【点评】本题考查利基底表示向量，应充分利用平面几何中一些性质，将问题中所涉及的向量利用基底表示，并结合平面向量的线性运算法则进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
17．（1），，；（2），.
【分析】
（1）根据数量积和模的坐标运算计算；
（2）由可得出，然后由二次函数性质求得最小值．
【详解】
（1）由题意及，同理，
．
（2）∵，
∴，
∴，即，
又，∴时，．
【点评】本题考查向量的数量积与模的坐标运算，考查向量垂直与数量积的关系．掌握数量积的性质是解题基础．其中．
18．（1）；（2）；
（3）当时，；
当或时，.
【分析】
（1）利用题中定义结合平面向量加法的坐标运算可得出结果；
（2）利用等差数列的求和公式和平面向量加法的坐标运算可得出数列的通项公式；
（3）先计算出的表达式，然后分、、三种情况计算出的值.
【详解】
（1）由题意得；
（2）；
（3）.
①当时，；
②当时，；
③当时，.
【点评】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查等差数列求和以及数列极限的运算，计算时要充分利用数列极限的运算法则进行求解，综合性较强，属于中等题.