专题2.4：复数-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（沪教版2020）（含解析）

专题2.4：复数
一、单选题
1．在复平面内，复数所对应的点位于（ ）（i为虚数单位）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．给出下列四个命题：①若复数，满足，则；②若复数，满足，则；③若复数满足，则是纯虚数；④若复数满足，则是实数，其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．设，其中，则下列命题中正确的是（ ）
A．复数z可能为纯虚数
B．复数z可能是实数
C．复数z在复平面上对应的点在第一象限
D．复数z在复平面上对应的点在第四象限
4．已知复数﹑满足，复数满足或者，且对任意成立，则正整数n的最大值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．、是复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
6．已知互异的复数满足，集合={,},则= （ ）
A．2 B．1 C．0 D．
7．“”是“是非零实数”的条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
8．设，为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果（为正实数），那么 D．如果（为正实数），那么
9．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题中,正确的命题是（ ）
A．若，则
B．若，则不成立
C．，则或
D．，则且
11．已知集合，，若，则，之间的关系是
A． B． C． D．
12．设复数是实系数方程的根，又为实数，则点的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
二、填空题
13．复数在复平面内对应的点关于直线对称，且，则_________.
14．若复数与其共轭复数满足，，则______.
15．若、，且，则______.
16．已知复数，则______.
17．复数的共轭复数为_________（i为虚数单位）
18．已知复数，满足集合，则______.
19．若复数，则______.
20．的平方根为______．
21．若，且，则________.
22．计算：______.
23．关于的实系数一元二次方程的两个虚根为、，若、在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．
24．已知复数，其中是虚数单位，，则_________.
25．设复数z，满足，，，则____________．
26．若复数满足，其中是虚数单位，则的虚部为________
27．已知复数z满足，则（其中i是虚数单位）的最小值为____________.
28．已知复数满足，则的最大值是__________.
29．已知方程（）的两个虚根为、，若，则_____
30．若复数满足，且复数对应的点的轨迹是椭圆，则复数的模的取值范围是__________．
31．下面四个命题：①是两个相等的实数，则是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③，且，则；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________；
32．在复平面上，已知直线上的点所对应的复数满足，则直线的倾斜角为_____________（结果用反三角函数值表示）
三、解答题
33．已知是虚数单位，复数满足方程()，求实数?的值.
34．已知复数满足，求.
35．已知复数满足:且是纯虚数,求复数
36．（1）已知复数是纯虚数，求的模；
（2）已知，且，求的取值范围.
37．已知是关于x的方程的一个根，求实数p、q的值及方程的另一个根．
38．已知是复数，为实数（为虚数单位），且．
（1）求复数；
（2）若，求实数的取值范围．
39．已知复数是一元二次方程的一个根.
（1）求和的值；
（2）若，，为纯虚数，求的值.
40．复数（），
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若在复平面内复数对应的点在第一象限，求的范围．
参考答案
1．A
【分析】
首先利用除法公式，计算复数，再根据复数的几何意义判断复数所在的象限.
【详解】
,
复数对应的点是，在第一象限.
故选：A
2．B
【分析】
设出复数的代数形式进行验证，或者利用反例进行排除可得.
【详解】
对于①：设，均为实数，由可得，所以，即，故①正确；
对于②：当，时，满足，但是，故②不正确；
对于③：当时，满足，但是不是纯虚数，故③不正确；
对于④：设，由可得，所以，故④正确.
故选：B.
【点评】本题主要考查复数的性质及运算，待定系数法是解决复数问题的有效方法，侧重考查数学运算的核心素养.
3．C
【分析】
根据复数的实部和虚部的符号可确定复数z在复平面上对应的点的特征，从而可得正确的选项.
【详解】
因为，，
故ABD均错误，C正确.
故选：C.
4．C
【分析】
用向量表示，根据题意，可得，因为或者，根据其几何意义可得的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n，数形结合，即可得答案.
【详解】
用向量表示，
因为，所以，
又满足或者，
则可表示以O为起点，终点在以A为圆心，半径为r的圆上的向量，或终点在以B为圆心，半径为r的圆上的向量，则终点可能的个数即为n，
因为，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为，
如图所示，则最多有10个可能的终点，即n=10.
故选：C
【点评】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
5．D
【分析】
举反例，可判断选项A、B，举反例，可判断选项C，设，，分别计算、即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A：取，，，，
满足，但与是两个复数，不能比较大小，故选项A不正确；
对于选项B：取，，，
而无意义，故选项B不正确；
对于选项C：取，，则，但是，，故选项C不正确；
对于选项D：设，，则
，
，，所以，所以，故选项D正确.
故选：D.
6．D
【详解】
由题意或，因为，，，因此．选D.
【考点】集合的相等，解复数方程．
7．C
【分析】
设，由题意结合复数的运算及性质可得或，分类讨论即可得、；当是非零实数，则；由充分条件和必要条件的概念即可得解.
【详解】
设，则，
若，则或，
当时，不存在，
当时，即，
所以若，则是非零实数；
若是非零实数，则；
所以“”是“是非零实数”的充要条件.
故选：C.
【点评】本题考查了复数的运算及复数性质的应用，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.
8．D
【分析】
对A,举出反例判断正误；
对B,举出反例判断正误；
对C,利用复数的几何意义判断正误；
对D,设出复数即可化简结果,再判断正误即可．
【详解】
对于A,如果,,,所以不正确。
对于B,如果,,,但不正确。
对于C, ,是正实数,说明复数对应的点到原点的距离小于,且复数不能比较大小,故不成立.
对于D, （为正实数）,设,则,
故成立.
故选：D.
【点评】本题主要考查了复数的基本性质与判定,需要根据题意举出反例或者直接设复数形式进行推导,属于中档题.
9．D
【分析】
由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项
【详解】
由题意1i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0
∴1+2i﹣2+bbi+c＝0，即
∴，解得b＝﹣2，c＝3
故选：D．
【点评】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题
10．C
【分析】
A．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；
B．根据实数的共轭复数还是其本身判断是否成立；
C．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；
D．考虑特殊情况：，由此判断是否正确.
【详解】
A．当时，，此时无法比较大小，故错误；
B．当时，，所以，所以此时成立，故错误；
C．根据复数乘法的运算法则可知：或，故正确；
D．当时，，此时且，故错误.
故选：C.
【点评】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若，则有.
11．C
【分析】
先设出复数z，利用复数相等的定义得到集合A看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆的点集，若A∩B＝?即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．
【详解】
设z＝x+yi，,则（a+bi）（x﹣yi）+（a﹣bi）（x+yi）+2＝0
化简整理得，ax+by+1＝0即，集合A可看成复平面上直线上的点，
集合B可看成复平面上圆x2+y2=1的点集，
若A∩B＝?，即直线ax+by+1＝0与圆x2+y2=1没有交点，
，即a2+b2＜1
故选C．
【点评】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．
12．D
【分析】
由为实数，求出关系，实系数方程有虚数根，，且两根互为共轭，由韦达定理，求出与关系，结合关系，即可得出的关系式，得出结论.
【详解】
，
其虚部为，
又为实数，所以，
复数是实系数方程的根，
也是实系数方程的根，
所以，
所以，此时，
即点的轨迹在抛物线上.
故选：D.
【点评】本题考查实系数一元二次方程根的关系、复数的基本概念，韦达定理的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.
13．
【分析】
根据对称性求出在复平面内对应的点即可
【详解】
复数在复平面内对应的点的坐标为，
设复数在复平面内对应的点坐标为，因为点和关于直线对称，
所以，即，
故答案为：
14．2
【分析】
先设，根据题意，得到，再由复数的除法运算和加减运算，化简，即可得出结果.
【详解】
设，则，
又，，
所以，
因此.
故答案为：.
【点评】本题主要考查复数的运算，涉及复数模的运算，共轭复数的概念等，属于基础题.
15．
【分析】
利用复数的乘法法则和复数相等可得出关于、的方程组，解出、的值，进而可求得的值.
【详解】
，所以，因此，.
故答案为：.
【点评】本题考查利用复数的乘法法则和复数相等求参数，考查计算能力，属于基础题.
16．
【分析】
利用复数模的求法：即可求解.
【详解】
由复数，则，
故答案为：
【点评】本题考查了复数模的求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
17．
【分析】
由共轭复数的定义求解．
【详解】
复数的共轭复数为．
故答案为：．
18．1
【分析】
根据集合相等的含义，分别求解复数，然后可求.
【详解】
因为，，所以，
即有，解得或，
所以.
故答案为：1.
【点评】本题主要考查复数的运算，复数方程的根可以借助求根公式来进行，侧重考查数学运算的核心素养.
19．
【分析】
先化简求解，然后再求解模长.
【详解】
因为，所以，
所以.
故答案为：.
【点评】本题主要考查复数的运算及模长，求解复数模长时一般是先把复数进行化简，然后结合模长的公式求解，侧重考查数学运算的核心素养.
20．
【分析】
根据可得出的平方根.
【详解】
，因此，的平方根为.
故答案为.
【点评】本题考查负数的平方根的求解，要熟悉的应用，考查计算能力，属于基础题.
21．5
【分析】
推导出，从而，由此能求出.
【详解】
解：∵，且，
∴，
∴，
∴.
故答案为：5.
【点评】本题考查复数的实部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.关键是利用复数的运算求出z的标准形式，并注意准确掌握实部的概念.
22．
【分析】
先求解，然后再根据复数的加法规则进行求解.
【详解】
因为，
所以.
故答案为：.
【点评】本题主要考查复数的运算，明确是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
23．
【分析】
由题意两个虚数根，是共轭复数，可得椭圆的短轴长：，焦距为，然后求出长轴长．
【详解】
因为为实数，，，为虚数，
所以，即，
解得．
由，为共轭复数，知，关于轴对称，
所以椭圆短轴在轴上，又由椭圆经过原点，
可知原点为椭圆短轴的一端点，
根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，
可得椭圆的短轴长，
焦距，
长轴长，
故答案为：．
24．
【分析】
根据复数的运算法则，结合共轭复数的定义、复数模的运算性质进行求解即可.
【详解】
因为，
所以，
因此，
故答案为：
25．
【分析】
根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值.
【详解】
设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示：
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，又，
故答案为：.
【点评】结论点睛：复数的几何意义：
（1）复数复平面内的点；
（2）复数 平面向量.
26．
【分析】
根据行列式得到，化简得到复数的虚部.
【详解】
即，的虚部为
故答案为
【点评】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.
27．1
【分析】
复数满足为虚数单位），设，，．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出．
【详解】
解：复数满足为虚数单位），
设，，．
则，当且仅当时取等号．
故答案为：1．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
28．
【分析】
设，则化简可得；然后分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果．
【详解】
设 ．
则
．
，．
当时，，
所以，的最大值是；
当时，，
所以，的最大值是 ；
当时，，所以，
，．
综上，的最大值是．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数模的求法,训练了利用三角函数求最值,是中档题．
29．
【分析】
由题意设，，利用根与系数的关系结合求得与的值，则可求．
【详解】
解：方程程的两个虚根为、，
可设，．
，，
，，
联立解得：，．
．
故答案为：．
【点评】本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
30．
【分析】
根据椭圆的定义可知，从而可得复数的模的取值范围.
【详解】
因为复数满足，且复数对应的点的轨迹是椭圆，
所以，
根据复数差的几何意义知表示复数在以为圆心，4为半径的圆的内部，
数形结合可得.
故答案为：
【点评】本题主要考查椭圆的定义应用，明确椭圆定义中与的大小关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.
31．④
【分析】
①采用特殊值法，当都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断.
【详解】
当时，则，不是纯虚数，故错误.
②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误.
③当时，符合，且，而不成立，故错误.
④因为是两个共轭虚数，所以设 ，其共轭复数是，则所以是纯虚数，故正确.
故答案为：④
【点评】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
32．
【分析】
利用复数模的几何意义判断出直线的轨迹，由此求得直线的斜率，进而求得对应的倾斜角.
【详解】
由题意得，即的轨迹是到和两点的距离相等的点，也即线段的垂直平分线，，故，斜率为负数，倾斜角为钝角，故倾斜角为.
【点评】本题主要考查复数模的几何意义，考查两直线垂直时斜率的关系，考查反三角函数，属于基础题.
33．，.
【分析】
利用复数的乘除运算化简，再利用复数模的求法、共轭复数的概念、复数相等即可求解.
【详解】
，
所以，
由，所以，.
【点评】本题考查了复数的四则运算、复数的模、共轭复数的概念以及复数相等，属于基础题.
34．或.
【分析】
设出复数，代入已知条件，利用复数相等的含义可求.
【详解】
设，，
因为，所以，
且，
解得，或，所以或.
【点评】本题主要考查复数的相关概念及运算，待定系数法是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
35．或
【分析】
设出复数，根据条件列方程求解即可．
【详解】
解：设，
由，得；
又是纯虚数，
，
联立，解得或
或．
【点评】本题考查复数的运算，是基础题．
36．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据是纯虚数，求出，求出代数式的值即可；
（2）设，则，，得到，求出的取值范围即可．
【详解】
解：（1），
若是纯虚数，则，解得：，
故，
故；
（2）由题意设，则，，
故，
时，取最小值，最小值是1，
时，取最大值，最大值是5，
故的取值范围是，．
37．，，另一个根．
【分析】
根据是方程的一个根，代入方程，利用复数相等求得p，q即可.
【详解】
因为是方程的一个根，
所以，
即，
所以，解得，
所以方程为，
因为，
所以方程的另一个根是.
38．（1）；（2）．
【分析】
（1）设，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出复数的值；
（2）化简复数，利用复数的模长公式可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
（1）设，则，所以，，可得，
为实数，
所以，，解得，因此，；
（2），所以，，可得，
解得，
因此，实数的取值范围是.
39．（1）；（2）4.
【分析】
（1）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实系数一元二次方程虚根成共轭复数这一性质，结合韦达定理求解；
（2）化简，由实部为且虚部不为求出的值，然后利用复数模的计算公式求解.
【详解】
（1）是一元二次方程的一个虚根，则是一元二次方程的另一个虚根，
，得，
，解得，
因此，；
（2）是纯虚数，
则，即，因此，.
【点评】本题考查虚根与实系数一元二次方程之间的关系，同时也考查了复数相关的概念以及复数模的计算，解题时要利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，针对实部和虚部进行求解，考查计算能力，属于中等题.
40．（Ⅰ）或;（Ⅱ）．
【详解】
试题分析：将复数化简得（1）中，所以虚部为0，（2）中复数对应点为
，在第一象限得到不等式，求得范围
试题解析：，
（1）由知，，故．当时，；当时，．
（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即，即，
所以．