高一（下）期末模拟检测01-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（沪教版2020）（含解析）

高一（下）期末模拟检测01
一、单选题
1．已知复数z=1+ai(a∈R)，且z(2+3i)为纯虚数，则a=（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，是以-4为第三项，-1为第七项的等差数列的公差，是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均错
二、填空题
5．，，则用反正弦可以表示为______.
6．化简：=_____
7．已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n＝____.
8．已知(i为虚数单位)，则___________.
9．与共线反向的单位向量坐标__________．
10．已知，，若，b的夹角为钝角，则x的取值范为__________．
11．把函数的图像向右平移（）个单位，使得点成为图像的一个对称中心，则的最小值是________
12．与向量平行的单位向量为___________.
13．方程实数解的个数为______.
14．函数，的反函数是___________.
15．已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图像的一条对称轴，且，则的解析式为___________.
16．已知α为第二象限角，化简=________
三、解答题
17．已知z1＝1－i，z2＝2＋2i.
（1）求z1·z2；
（2）若，求z.
18．若角的终边上有一点，且.
（1）判断实数符号，并说明理由；
（2）求的值.
19．已知向量，，，．
（1）若，求实数的值；
（2）当取最小值时，求与的夹角的余弦值．
20．已知函数.
（1）求的最小值，并求出此时对应的x的值；
（2）写出在的单调区间，并求出此时的值域.
21．已知复数，满足条件，．是否存在非零实数，使得和同时成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
【分析】
根据复数代数形式的运算法则和纯虚数的定义，计算即可.
【详解】
解：复数z=1+ai(a∈R)，则
z(2+3i)=(1+ai)(2+3i)=(2-3a)+(2a+3)i，
由纯虚数的定义知，
，
解得
故选：A.
2．B
【分析】
计算出和的坐标，利用向量的模长公式可得出关于实数的等式，进而可求得结果.
【详解】
已知向量，，则，，
由可得，解得.
故选：B.
3．C
【分析】
先求出的对称轴为和周期，然后可求出在上有8条对称轴，再利用正弦函数的图像和性质，可得，从而可求得结果.
【详解】
令，得，即对称轴为.
函数周期，令，可得.
则函数在上有8条对称轴.
根据正弦函数的性质可知，
将以上各式相加得：
故选：C.
【点评】此题考查正弦函数的图像和性质，主要利用正弦函数图像的对称性，属于中档题.
4．B
【分析】
本题首先可以根据“是以为第三项，为第七项的等差数列的公差”计算出的值，然后可以根据“是以为第三项，为第六项的等比数列的公比”计算出的值，然后根据的值计算出的值，最后根据的值得出的取值范围，最终得出结果．
【详解】
因为是以为第三项、为第七项的等差数列的公差，
所以
因为是以为第三项、为第六项的等比数列的公比，
所以
因为是的内角，
所以
因为都大于0，所以都属于，
所以是锐角三角形．故选B．
【点评】本题主要考查三角函数，考查正切函数的相关性质以及三角恒等变换公式的运用，考查推理能力．如果三个角在三角形内，则有
5．
【分析】
根据反正弦函数所表示的角的范围结合题目给出的角的范围求解.
【详解】
由，则，由，
而，故，得.
故答案为：
【点评】本题考查了反正弦函数的含义，特别注意反正弦函数所表示角的范围，属于容易题.
6．
【分析】
利用诱导公式化简即可.
【详解】
，
故答案为.
【点评】本题考查三角函数的诱导公式，是基础题.
7．
【分析】
将代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到，再由复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；
【详解】
解：将代入方程x2－mx＋2n＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，即，即，由复数相等的充要条件，得解得
故.
故答案为：
8．
【分析】
根据复数的除法运算化简复数，再由复数的模的运算得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，
故答案为：.
9．
【分析】
首先求出的模，再根据计算可得；
【详解】
解：因为，所以，所以与共线反向的单位向量为
故答案为：
10．
【分析】
依题意可得，且与不共线，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：因为，，若，b的夹角为钝角，则，且与不共线，所以，解得且，故
故答案为：
11．
【分析】
根据平移变换可得平移后的解析式为，将点的坐标代入该解析式可得，，从而可得的最小值为.
【详解】
把函数的图像向右平移（）个单位，
可得，
依题意可得点在函数的图象上，
所以，即，
所以，，
即，，
因为，所以时，取得最小值.
故答案为：
【点评】本题考查了函数图象的平移变换，考查了函图象数的对称中心，属于基础题.
12．或.
【分析】
设与向量平行的单位向量为，利用向量共线的坐标表示可得，再利用模长公式，，
即可求解.
【详解】
设与向量平行的单位向量为，
则，
因为是单位向量，所以，
解得：，
当时，，
当时，，
所以或
故答案为：或.
13．12
【分析】
变换得到，确定函数为奇函数，画出函数图像，根据图像得到答案.
【详解】
，易知，则，
易知函数和为奇函数，
当时，，当时，，
画出函数和的图像，如图所示：
根据图像知：函数有12个交点，故方程有12个解.
故答案为：12.
【点评】本题考查了方程解得个数问题，画出函数图像是解题的关键.
14．
【分析】
根据反余弦函数的定义及，利用偶函数性质求解即可.
【详解】
因为，
所以2
由，且
所以，即
故答案为：
【点评】本题主要考查了反余弦函数，反余弦函数的值域，属于中档题.
15．
【分析】
首先根据函数的最大值和最小值，列式求，根据周期公式求，再代入对称轴，求，最后再验证，确定函数的解析式.
【详解】
【点评】本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，重点考查公式计算，属于基础题型.
16．-1
【分析】
直接利用诱导公式和同角三角函数关系化简得到答案.
【详解】
故答案为：
【点评】本题考查了三角函数的化简，变换是解题的关键.
17．（1）4；（2）.
【分析】
根据复数代数形式的运算法则即可解出.
【详解】
(1)因为z1＝1－i，z2＝2＋2i，所以z1·z2＝(1－i)(2＋2i)＝4.
(2)由，得，所以.
18．（1），见解析；（2）.
【分析】
（1）由可得是第二象限，然后根据，得到的取值范围；（2）由，计算出的长，按点在第二象限和第三象限分类讨论，然后计算出和的值，得到答案.
【详解】
因为，
所以得到和异号，
所以在第二象限或者第三象限，
当在第二象限可得，，
当在第三象限时，不成立，
综上，的取值为.
（2）因为当在第二象限可得，
所以，
当在第二象限，，所以可得，，，
所以，
【点评】本题考查三角函数的正负判断角所在的象限，由终边上的点求三角函数值，属于简单题.
19．（1）；（2）．
【分析】
（1）利用平面向量垂直表示可得出关于的等式，进而可求得实数的值；
（2）利用平面向量数量积的运算法则以及二次函数的基本性质可求得的值，可求出的值，进一步可求出的值，利用平面向量数量积可求得与的夹角的余弦值．
【详解】
（1）由已知条件可得，
，则，
解得；
（2）
.
当时，取最小值.
，则，
因此，.
【点评】方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
（2）坐标法：若非零向量、，则.
20．（1）当时，；（2）在上递增，在上递减，值域为
【详解】
略
21．存在，或
【分析】
根据题意得到则是方程的两个根，讨论和两种情况，计算得到答案.
【详解】
，则，，则是方程的两个根，
当即且时，，记，，，故，解得；
当即时，，为一对共轭虚根，则，则，
即或（舍）．
综上，存在实数，当或，使得和同时成立.
【点评】本题考查了复数的运算，复数的模，共轭复数，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定是方程的两个根是解题的关键.