高一（下）期末模拟检测02-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（沪教版2020）（含解析）

高一（下）期末模拟检测02
一、单选题
1．欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若点是角终边上一点，且，则y的值为
A． B． C． D．无法确定
3．已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设定义在上的函数，则（ ）
A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数
二、填空题
5．在中，为边上的中线，E为的中点，则________．（用和表示）
6．若复数，的共轭复数对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为___________.
7．已知平面向量，则向量的夹角等于_______.
8．已知，则的值为__________
9．若是锐角三角形的两内角，则_____1（填>或<）.
10．函数的最小正周期是__________.
11．利用图像，不等式的解集为____________.
12．若（为第四象限角），则__________.
13．某班在东方绿洲军训时设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积的最大值为___________.
14．△ABC中，则_________.
15．已知，，，则__________.
16．已知是关于的实系数方程的两个根，则的最小值为__________.
三、解答题
17．已知为复数，为纯虚数，，且，求复数.
18．求证：
（1）；
（2）．
19．已知函数函数的部分图像如图所示，P,Q分别是该图像的最高点和最低点，点P的坐标是(1,A)，点R的坐标是(1,0)，∠PRQ=
(1)求的最小正周期与的值；
(2)求A的值,并写出函数的单调递增区间；
(3)若函数请判断函数的奇偶性，并写出的最小正周期和单调递增区间.
20．已知向量，，且与的夹角为.
（1）求；
（2）若与垂直，求实数λ的值.
21．已知(a为实常数).
（1）当定义域为R时，求的单调递增区间；
（2）当定义域为时，的最大值为4，求实数a的值.
参考答案
1．B
【分析】
由欧拉公式得，结合诱导公式、三角函数值或直接根据辐角所在的象限，即可判断其所在象限.
【详解】
由题意知：，
∴在复平面内对应的点所在的象限为第二象限.
故选：B.
2．B
【分析】
根据三角函数的定义，建立关于y的方程，解得y的值即可．
【详解】
∵点是角终边上一点，且，
∴，
化简得：，
解之得：．
故选：B.
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，侧重考查学生对基础知识的理解和掌握，属于基础题.
3．B
【分析】
根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.
【详解】
解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
由，，
所以，，，，
所以，
所以.
故选：B
【点评】本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.
4．A
【分析】
根据每个选项中的范围，得到的范围，利用正弦函数的图象得到函数的单调性，再根据函数的符号去绝对值可得的单调性.
【详解】
对于A，当时，，函数为减函数，所以为增函数，故A正确；
对于B，当时，，函数先递减后递增，所以先递增后递减，故B不正确；
对于C，当时，，函数先递增后递减 ，所以先递增后递减，故C不正确；
对于D，当时，，函数为递减函数，所以为递减函数，当时，，函数为递减函数，所以为增函数，故D不正确.
故选：A
【点评】关键点点睛：熟练掌握正弦函数的单调性是本题解题关键.
5．
【分析】
找一条路径，根据所给关系，向和进行转化，即可得解.
【详解】
.
故答案为：.
6．
【分析】
根据条件先分析的对应点所在象限，根据象限内坐标的特点列出关于的不等式组，由此求解出结果.
【详解】
因为对应的点在第一象限，所以的对应点在第四象限，
所以，解得，即，
故答案为：.
7．
【分析】
根据向量夹角的坐标公式运算即可.
【详解】
,
,
故答案为：
8．14
【分析】
根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算公式，准确运算，即可求解.
【详解】
由题意，向量，
可得，
则.
故答案为：.
9．
【分析】
首先根据锐角三角形可知，再利用正切函数的单调性可知，化简后即可.
【详解】
，即
，.
故答案为：
10．
【分析】
首先余切化成正弦和余弦，再利用二倍角公式化简函数，求周期.
【详解】
，
函数的周期.
故答案为：
11．
【分析】
依题意画出函数图象，分别求出、时的取值，数形结合即可得到原不等式的解集；
【详解】
解：函数图象如下所示：
令，则，解得；
令，则，解得，
因为，所以，即原不等式的解集为，
故答案为：.
12．
【分析】
由得，根据同角的三角函数关系求出，切化弦化简，再代入即可求出答案．
【详解】
解：∵，∴，∴，
由为第四象限角得，，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角的三角函数关系，在解题时可先化简再求值以减少计算量，考查计算能力，属于基础题．
13．
【分析】
由八边形求出的范围，把八边形面积用表示后由三角函数性质求得最大值．
【详解】
由题意图中正方形边长为，
∴八边形面积为
，
又由题意，∴，
∴时，．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的应用，解题时用已知角表示出八边形面积，由三角函数恒等变换化函数为一个角的一个三角函数函数形式，然后由正弦函数性质得最大值．本题中注意由八边形条件求出的范围．
14．
【分析】
由三角形的内角和得，将化为再由余弦的和角公式得，从而可得的值.
【详解】
因为△ABC中，，所以，所以由得
即，所以，所以，
所以，
故答案为：.
【点评】本题考查三角形的内角和定理、余弦的和角公式以及同角三角函数的商数关系，属于基础题.
15．
【分析】
由于，故先求出、，再根据两角和的正弦公式求值即可．
【详解】
解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
又，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，注意角与角之间的关系，考查整体思想，考查计算能力，属于中档题．
16．
【分析】
由题意，根的判别式且，求出的范围，再根据韦达定理，用表示出和，然后用两角和的正切公式表示出，借助一次函数的单调性即可求出最小值．
【详解】
解：由题意有，且，
∴，且，
∵是关于的实系数方程的两个根，
由韦达定理，和，
∴，
∵，且，
∴，且，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式得应用，考查韦达定理的应用，属于中档题．
17．或
【分析】
设，利用为纯虚数可得，再利用可计算的值，从而得到.
【详解】
设，
故，
由纯虚数概念可得，代入，
由可得，故，.
【点评】本题考查复数的四则运算以及复数的模，此类问题属于基础题.
18．证明见解析
【分析】
直接利用同角的三角函数关系证明．
【详解】
证：（1）
；
（2）．
【点评】本题主要考查同角的三角函数关系及其应用，属于中档题．
19．（1）T=6，（2）A，单调递增区间为（3）偶函数；增区间为和
【分析】
（1）根据周期公式求出函数f（x）的最小正周期，由图象利用点P在函数图像上求得
（2）由条件设出点Q的坐标，再过点Q做x轴的垂线，设垂足为M，根据条件求出A，利用正弦函数单调区间列不等式求解得函数单调区间
（3）利用奇偶函数定义判断为偶函数；去绝对值得函数解析式，求单调区间即可
【详解】
（1）由题意得，函数f（x）的最小正周期T6，
由点P的坐标为（1，A），则=1，
（2）设点Q的坐标为（4，﹣A），
过点Q做x轴的垂线，设垂足为M，则RM＝3，
∵∠PRQ，∴∠MRQ，
∴|MQ|＝A＝3×tan，故A，
令，解得
故函数的单调递增区间为
（3）
，故为偶函数
（Ⅰ）当 即 ①
②
令，①②联立得，增区间为
（Ⅱ）当 即③
④
令，③④联立，得，解得增区间为
（Ⅲ）当 即⑤
⑥
令，联立⑤⑥，得，故单调增区间为；
（Ⅳ）当 即⑦
⑧
令，⑦⑧联立得，故单调增区间为；
综上：故的增区间为和
【点评】本题考查了y＝Asin（ωx+φ）的周期和图象的关系，以及A的几何意义，考查分段函数的单调性，构造直角三角形和求角是关键，考查识图能力，属于中档题．
20．（1）；（2）
【分析】
（1）由向量的夹角为即可得，进而得，再根据模的计算即可得答案；
（2）由（1）得，，再根据向量垂直的坐标表示即可得答案.
【详解】
解：（1）由向量夹角的坐标表示得：
，解得：，
所以
所以
（2）由（1）知，故，
由于与垂直，
所以，解得：.
【点评】方法点睛：已知，
则，
21．（1）；（2）
【分析】
（1）利用倍角公式和辅助角公式化简函数，进而求得单调递增区间；
（2）由（1）得，再求出的取值范围，进而得到函数的最大值，从而求得实数a的值.
【详解】
（1）
，
，
的单调递增区间为；
（2） ，，
当，即时，
.
【点评】本题考查三角恒等变换、正弦函数的单调区间、由函数的最值求参数的值等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.