1.1.1
正弦定理导学案
【学习目标】
1．了解正弦定理的推导过程．
2．掌握正弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题．
【自主预习】
1．正弦定理
2．解三角形
(1)定义：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做
．
(2)利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题：
①已知三角形的任意两角与一边，求其他两边和一角．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．
3．正弦定理的常见变形
(1)asin
B＝
，asin
C＝
，bsin
C＝
．
(2)三角形的边长之比等于对应角的
，即
a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C．
(3)a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C，sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝(R为△ABC外接圆的半径)．
(4)＝
．
【互动探究】
1.
在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c．
2.在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长．
3.在△ABC中，已知a2tan
B＝b2tan
A，试判断△ABC的形状．
【课堂练习】
1．在△ABC中，若sin
A>sin
B，则角A与角B的大小关系为( )
A．A>B
B．AC．A≥B
D．A，B的大小关系不能确定
2．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin
A∶sin
B∶sin
C等于( )
A．1∶5∶6
B．6∶5∶1
C．6∶1∶5
D．不确定
3．在△ABC中，a＝bsin
A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
4．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＋cos2C＝1，则△ABC的形状是__________________．
5．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R．1.1.2
余弦定理导学案
【学习目标】
1．了解向量法证明余弦定理的推导过程．
2．掌握余弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题．
【自主预习】
1．余弦定理
(1)文字表述
三角形中任何一边的平方
其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的
．
(2)公示表达
a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．
(3)推论
cos
A＝
，cos
B＝
，
cos
C＝
．
2．利用余弦定理解三角形的注意事项
(1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”．
(2)已知三边及一角求另两角时，可利用余弦定理的推论求解，也可利用正弦定理求解．利用余弦定理的推论求解运算较复杂，但较直接；利用正弦定理求解比较方便，但需注意角的范围，这时可结合“三角形中大边对大角，小边对小角”的边角关系或图形帮助判断，尽可能减少出错的情况．
【互动探究】
1.在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解三角形．
2.
(1)在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝，则最大角为________．
(2)若△ABC的内角A，B，C满足6sin
A＝4sin
B＝3sin
C，则cos
B＝________．
3.在△ABC中，a，b，c分别表示角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断三角形的形状．
【课堂练习】
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos
A＝，则b＝( )
A．
B．
C．2
D．3
2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A．
B．
C．
D．
3．在△ABC中，已知(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin
A∶sin
B∶sin
C等于_________．
4．在△ABC中，a＝2，则b·cos
C＋c·cos
B＝________．
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，·＝c2－(a－b)2，求cos
C的值．1.2
应用举例（2）高度、角度问题导学案
【学习目标】
1．会运用仰角(或俯角)解决一些底部不可到达的物体的测量高度问题．
2．会运用方位角解决立体几何中的测量角度问题．
【自主预习】
1．仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的
和
的夹角，目标视线在水平线
时叫仰角，目标视线在水平线
时叫俯角，如图所示．
2．视角
从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角.
如图所示，视角60°指的是观察该物体上下两端点时，视线的张角．
3．为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平面与地面之间有什么关系？
提示：为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平面与地面垂直.
【互动探究】
1.如图，D，C，B在同一水平线上，DC＝10
m．从D，C两地测得点A的仰角分别为30°和45°，则点A离地面的高AB等于( )
A．10
m
B．5
m
C．5(－1)m
D．5(＋1)m
变式训练1．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图，竖直放置的标杆BC的高度
h＝4
m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，并算出tan
α＝1.24，tan
β＝1.20，请据此算出H的值．
2.
如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得点A的俯角为β，已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD．
变式训练2．江岸边有一炮台高30
m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m．
3.
如图，一艘海上缉私船在A处发现一艘走私船在方位角为45°，距离为10
n
mile的C处，并测得走私船正沿方位角为105°的方向，以10
n
mile/h的速度向前逃窜，缉私船立即以10
n
mile/h的速度追截，求缉私船的航向和追上走私船所需的时间．
变式训练3．某海上养殖基地A接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1)n
mile的海面上有一台风中心，正以每小时10
n
mile的速度沿某一方向匀速直线前进，影响半径为20
n
mile，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(＋1)
h后开始持续影响基地2
h．求台风移动的方向．
【课堂练习】
1．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10°
B．北偏西10°
C．南偏东10°
D．南偏西10°
2．一架飞机在海拔8
000
m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸的俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m.(精确到0.1
m)
3．甲、乙两楼相距20
m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是__________________．
4．国庆节期间一游客在东湖的游船上仰看空中一飞艇，仰角为15°，又俯看飞艇在湖中的倒影，俯角为45°，已知该游客在船上距湖面的高度为5
m，求飞艇距湖面的高度(不考虑水的折射)．1.2
应用举例（3）三角形中的几何计算导学案
【学习目标】
1．掌握三角形的面积公式，能熟练计算三角形的面积．
2．会利用正、余弦定理计算三角形中的一些量，能结合三角函数公式求解综合问题．
【自主预习】
1．三角形的面积公式
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝absin__C＝
＝acsin__B．
2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外，常见的公式还有：
(1)l＝a＋b＋c(l为三角形的周长)；
(2)
；
(3)S＝
(R是三角形外接圆的半径)；
(4)S＝2R2sin
Asin
Bsin
C(R是三角形外接圆的半径)；
(5)海伦公式：S＝，其中p＝(a＋b＋c)．
【互动探究】
1
(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为( )
A．2＋2
B．＋1
C．2－2
D．－1
(2)已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
若△ABC的面积等于，求a，b．
3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin
A＋cos
A＝0，a＝2，b＝2．
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【课堂练习】
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则c等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：D
2．已知三角形的面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边长之积为( )
A．1
B．2
C．
D．4
答案：A
3．在△ABC中，a＝3，cos
C＝，S△ABC＝4，则b＝________．
答案：2
4．若△ABC的面积为，c＝2，A＝60°，则b＋a＝________．
答案：1＋
5．四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2．
(1)求角C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．1.2
应用举例（1）距离问题导学案
【学习目标】
1．能够运用正、余弦定理的知识和方法求解距离问题．
2．从实际问题中抽象出数学模型(即画出三角形)．
【自主预习】
1．基线的定义
在测量上，我们根据测量需要适当确定的
叫做基线．
2．选择基线的原则
在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线
，测量的精确度
．
3．两个角的术语
(1)方位角：指从正北方向线按
方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α．
(2)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角．
4．在距离测量问题中，如果已知构造的三角形的三个角，能否解出三角形的边长？
【互动探究】
1.
如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12
n
mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8
n
mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求A与D间的距离．
变式训练1．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120
m，则河的宽度是__________m．
2.
如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A，B两点间距离的方法．
变式训练2．如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40
m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是( )
A．20
m
B．20
m
C．40
m
D．20
m
【课堂练习】
1．若点P在点Q的北偏西45°10′方向上，则点Q在点P的( )
A．南偏西45°10′
B．南偏西44°50′
C．南偏东45°10′
D．南偏东44°50′
2．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50
m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A，B两点的距离为( )
A．50
m
B．50
m
C．25
m
D．
m
3．在相距2
km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为________km．
4．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四点共圆，则A，C间的距离是多少千米？1.1.3
正弦、余弦定理习题课导学案
【学习目标】
1．进一步熟练掌握正、余弦定理在解三角形中的应用．
2．掌握与三角函数有关的综合问题．
【自主预习】
1．正、余弦定理的应用原则
(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．
(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
2．有关正、余弦定理的综合问题需注意以下三点
(1)正弦定理和余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当的实现边角的统一．
(2)统一为“角”后要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形．
(3)求值时要注意方程思想的应用.
【互动探究】
1.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin
A＝acos
B．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin
C＝2sin
A，求a，c的值．
变式训练1．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin
A＝5sin
B，则C＝________．
2.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2
－cos
2A＝．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝3，求b和c的值．
变式训练2．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin
C＝2sin
A．
(1)求AB的值；
(2)求sin的值．
【课堂练习】
1．在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是( )
A．(1,3)
B．(2,3)
C．(，3)
D．(2，3)
2．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为( )
A．19
B．14
C．－18
D．－19
3．在△ABC中，a2＋b2C＝，则C＝________．
4．在△ABC中，已知cos
A＝，a＝4，b＝3，求角C．
