2.1.1数列的概念与表示导学案
【学习目标】
1．理解数列的概念．
2．掌握数列的通项公式及应用．
3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
【自主预习】
1．数列及其有关概念、表示
2．数列的分类
标准
类别
含义
按项的个数
有穷数列
项数
的数列
无穷数列
项数
的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都
它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都
它的前一项的数列
按项的
变化趋势
常数列
各项
的数列
摆动数列
从第2项起，有些项
它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的
公式．
4．数列与函数有什么关系？
提示：从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域
正整数集N
(或它的有限子集{1,2,3，…，n})
解析式
数列的通项公式
值域
由自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成
表示
方法
(1)通项公式(解析法)；(2)图象法；
(3)列表法；(4)递推公式法
【互动探究】
1.
写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，－，，－；(2)，2，，8，；
(3)9,99,999,9
999；(4)2,0,2,0．
2.已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N
．
(1)写出它的第10项；
(2)判断是不是该数列中的项．
【课堂练习】
1．下列说法不正确的是( )
A．数列可以用图形表示
B．数列的通项公式不唯一
C．数列的项不能相等
D．数列可能没有通项公式
答案：C
2．下列四个数中，为数列{n(n＋1)}中的一项的是( )
A．380
B．392
C．321
D．232
答案：A
3．下列叙述正确的是( )
A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}
C．数列0,1,0,1，…是常数列
D．数列是递增数列
答案：D
4．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )
A．an＝n，n∈N
B．an＝n＋1，n∈N
C．an＝n＋2，n∈N
D．an＝2n，n∈N
答案：B
5．在横线上填上适当的数：3,8,15，________,35,48．
答案：242.1.2数列的通项公式与递推公式导学案
【学习目标】
1．体会递推公式是数列的一种表示法，并能根据递推公式写出数列的前n项．
2．掌握由简单递推公式求通项公式的方法．
【自主预习】
1．数列递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的第1项(或前n项)；
②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的
公式．
2．数列递推公式与通项公式之间的关系
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项
(或前几项)之间的关系
表示an与
之间的关系
联系
(1)都是表示
的一种方法；
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
3.仅由数列{an}的递推公式an＝f(an－1)(n≥2，n∈N
)能否确定一个数列？
提示：不能．由递推公式确定一个数列，必须满足：
①“基础”——数列{an}的第1项或前几项；
②递推关系——数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2，n∈N
)之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示．
二者必须同时具备才能确定一个数列．
【互动探究】
1.已知数列{an}的第一项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．
2.(1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N
)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求an；
(2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，n∈N
)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，＝(n≥2，n∈N
)，求an．
【课堂练习】
1．符合递推公式an＝an－1(n≥2)的数列是( )
A．1,2,3,4，…
B．1，，2,2，…
C．，2，，2，…
D．0，，2,2，…
答案：B
2．已知数列{an}的首项a1＝2，an＋1＝2an＋1(n≥1，n∈N
)，则a5为( )
A．7
B．15
C．30
D．47
答案：D
3．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n(n∈N
)
B．an＝an－1＋n(n≥2，n∈N
)，a1＝1
C．an＋1＝an＋(n－1)(n∈N
)
D．an＝an－1＋(n－1)(n≥2，n∈N
)，a1＝1
答案：B
4．数列{an}中，a1＝2，an＝an＋1－3，则14是数列{an}的第________项．
答案：5
5．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋．
(1)写出数列的前5项；
(2)猜想数列的通项公式．2.2.1等差数列的概念与通项公式导学案
【学习目标】
1．通过实例，理解等差数列和等差中项的概念，深化认识并能运用．
2．会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题．
3．体会等差数列与一次函数的关系．
【自主预习】
1．等差数列的定义
条件
(1)从第
项起
(2)每一项与
的差都等于
结论
这个数列就叫做等差数列
有关概念
这个常数叫做等差数列的
，通常用字母
表示
2.等差数列的通项公式
an＝
．
3．等差中项
若a，A，b三个数成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A＝
．
【互动探究】
1.判断下列数列是否为等差数列．
(1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n．
2.若数列{an}为等差数列，且a15＝8，a60＝20，求a75．
3.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
【课堂练习】
1．x＋1与y－1的等差中项为10，则x＋y等于( )
A．0
B．10
C．20
D．不确定
答案：C
2．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是( )
A．b－a
B．
C．
D．
答案：C
3．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5
B．6
C．8
D．10
答案：A
4．已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12，则数列{an}的通项公式an＝_________．
答案：2n
5．判断下列数列是不是等差数列：
(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；
(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；
(3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…；
(5)a，a，a，a，a，…．2.4.1等比数列的概念与通项公式导学案
【学习目标】
1．通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用．
2．掌握等比中项的概念并会应用．
3．掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．
【自主预习】
1．等比数列的概念和特点
(1)文字定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的
一项的
等于
常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的
，通常用字母q表示(q≠0)．
(2)递推公式形式的定义：
(n>1)．
(3)等比数列的各项均
为0．
2．等差中项与等比中项的异同，对比如下表：
对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项
若a，G，b成
数列，则G叫做a与b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
＝
公式
A＝
G＝±
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有
个，且互为
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当
时，a与b才有等比中项
3．等比数列的通项公式
递推公式
通项公式
＝q(n∈N
)
an＝a1·qn－1(n∈N
)
【互动探究】
1.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N
)．
(1)求证：{bn}是等比数列．
(2)求{an}的通项公式．
2.(1)已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数列，则此数列的公比等于( )
A．1
B．2
C．－2
D．－1
(2)在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n．
3.若1,
a,
3成等差数列，1,
b,
4成等比数列，则的值为( )
A．±
B．
C．1
D．±1
【课堂练习】
1．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4
B．8
C．6
D．32
答案：C
2．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( )
A．4
B．8
C．16
D．32
答案：C
3．
“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )
A．f
B．f
C．f
D．f
答案：D
4．在等比数列{an}中，已知a1a3a11＝8，那么a2a8＝________．
答案：4
5．已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an．2.5.1
等比数列的前n项和导学案
【学习目标】
1．理解等比数列前n项和公式的推导方法和过程.
2．掌握等比数列前n项和公式及其性质的运用．
【自主预习】
1．等比数列的前n项和公式
2．等比数列的前n项和公式的推导方法是什么？
【互动探究】
1.在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q．
2.已知等差数列{an}，a2＝9，a5＝21．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn．
3.某家用电器一件现价2
000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812≈1.1)
【课堂练习】
1．数列{2n－1}的前99项和为( )
A．2100－1
B．1－2100
C．299－1
D．1－299
答案：C
2．对于等比数列{an}，a1＝5，q＝2，Sn＝35，则an＝________．
答案：20
3．一个等比数列，它的前4项和为前2项之和的2倍，则此数列的公比为________________．
答案：－1或1
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn．
解：设数列{an}的公比为q，
由题意得
解得或
当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1．2.3.1
等差数列的前n项和导学案
【学习目标】
1．理解等差数列前n项和公式的推导方法．
2．掌握等差数列前n项和公式.
3．能利用等差数列前n项和公式解决实际问题．
【自主预习】
1．数列的前n项和
(1)定义：对于数列{an}，一般地，称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的
．
(2)表示：常用符号
表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.
2．等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝
【互动探究】
1.
(1)设Sn是等差数列{an}(n∈N
)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________；
(2)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N
.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
2.在等差数列{an}中，
(1)已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16；
(2)已知a6＝20，求S11；
(3)已知前4项之和是40，最后4项之和为80，所有项之和是210，求项数n．
3.某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1
150
元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
【课堂练习】
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4＝18－a5，则S8等于( )
A．72
B．54
C．36
D．18
答案：A
2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12
B．－10
C．10
D．12
答案：B
3．等差数列{an}中，a3＝－5，a6＝1，设Sn是数列{an}的前n项和，则S8＝________．
答案：－16
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a6＝S3＝12，则{an}的通项公式为an＝________________________．
答案：2n
5．已知等差数列{an}中，
(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1
022，求d．2.5.2
等比数列及其前n项和的应用导学案
【学习目标】
1．熟练应用等比数列前n项和的有关性质解题．
2．应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关的问题．
【自主预习】
1．等比数列前n项和公式的函数观点
(1)当公比q≠1时，公式可写成
的形式，数列{Sn}对应的点(n，Sn)是指数型函数y＝－Aqx＋A图象上的一些离散的点．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的
函数，数列{Sn}对应的点(n，Sn)是正比例函数y＝a1x图象上的一些离散的点．
另外应注意：如果已知数列的前n项和公式Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N
)，那么这个数列一定是公比为q的等比数列．
2．等比数列前n项和的有关性质
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q．
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝
；
②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝
(q≠1且q≠－1)．
(2)若一个非常数数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N
)，则数列{an}为
数列，即Sn＝Aqn－A?数列{an}为
数列．
(3)若数列{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qn·Sm．
(4)“片段和”性质：等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则依次每k项的和构成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…(当Sk≠0时)成等比数列，其公比为qk(q≠－1)．
【互动探究】
1.设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N
)，有下列三个命题：
①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1；
②若Sn＝an(a为非零常数)，则{an}是等比数列；
③若Sn＝1－(－1)n，则{an}是等比数列．
其中真命题的序号是______________．
2.
(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为( )
A．28
B．32
C．21
D．28或－21
(2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________．
3.设{an}是等差数列，且a1＝ln
2，a2＋a3＝5ln
2．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求ea1＋e
a2＋…＋e
an．
【课堂练习】
1．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )
A．2
B．4
C．
D．
答案：C
2．已知各项不为0的等差数列{an}满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8＝( )
A．2
B．4
C．8
D．16
答案：D
3．等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于__________．
答案：170
4．已知数列{an}的通项公式为an＝2·3n，求由其奇数项所组成的数列的前n项和Sn．2.2.2
等差数列的性质与应用导学案
【学习目标】
1．掌握等差数列的有关性质．
2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．
【自主预习】
1．等差数列的项与序号的关系
(1)等差数列通项公式的推广
通项公式
通项公式的推广
an＝
(揭示首末两项的关系)
an＝
(揭示任意两项之间的关系)
(2)项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am＋an＝
．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N
)时，am＋an＝2ak．
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
2．等差数列的性质({an}和{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，c，p，q为常数，k＜n且k∈N
)
数列
结论
{c＋an}
是公差为
的等差数列
{c·an}
是公差为
的等差数列
{an＋an－k}
是公差为
的等差数列
{pan＋qbn}
是公差为
的等差数列
3．在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N
)，则m＋n＝p＋q成立吗？
提示：不一定．若数列{an}是常数列，则m＋n＝p＋q不一定成立．
4．由等差数列通项公式的推广可得d＝，d＝.你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
【互动探究】
1.在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．
2.已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
3.
首项为a1，公差为d的整数等差数列{an}满足下列两个条件：
(1)a3＋a5＋a7＝93；
(2)满足an>100的n的最小值是15．
试求公差d和首项a1的值．
【课堂练习】
1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案：C
2．等差数列{an}中，a3＝7，a7＝－5，则公差d＝( )
A．3
B．－3
C．2
D．－2
答案：B
3．在等差数列{an}中，a1＝2，a2＋a5＝13，则a5＋a6＋a7＝________．
答案：33
4．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是公差为________的等差数列．
答案：3d
5．在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13．2.3.2
等差数列的前n项和的应用导学案
【学习目标】
1．掌握an与Sn的关系并会应用．
2．掌握等差数列前n项和的性质及应用．
3．会求等差数列前n项和的最值．
【自主预习】
1．数列的项an与前n项和Sn的关系
an＝
2．等差数列的前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有
值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有
值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
(2)因为Sn＝na1＋d＝dn2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有
值；当d<0时，Sn有
值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．
一个有用的结论：若Sn＝an2＋bn，则数列{an}是
数列．反之亦然．
【互动探究】
1.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．
2.在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．
3.若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn．
【课堂练习】
1．已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2
B．－1
C．0
D．1
解析：等差数列的前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，所以λ＝－1．
答案：B
2．设数列{an}是等差数列，且a2＝－8，a15＝5，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S9B．S9＝S10
C．S11D．S11＝S10
解析：由已知得d＝＝1.所以a1＝－9．
所以a10＝a1＋9d＝0.所以S10＝S9＋a10＝S9．
答案：B
3．在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是____________．
解析：因为d<0，|a3|＝|a9|，
所以a3>0，a9<0且a3＋a9＝0.所以a6＝0．
所以a1>a2>…>a5>0，a6＝0,0>a7>a8>…．
所以当n＝5或6时，Sn取到最大值．
答案：5或6
4．数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负．
(1)求数列的公差；
(2)求前n项和Sn的最大值．
解：(1)由已知，得a6＝a1＋5d＝23＋5d＞0，
a7＝a1＋6d＝23＋6d＜0．
解得－＜d＜－．
又d∈Z，所以d＝－4．
(2)因为d＜0，所以数列{an}是递减数列．
又因为a6＞0，a7＜0，
所以当n＝6时，Sn取得最大值，为
S6＝6×23＋×(－4)＝78．2.4.2
等比数列的性质及应用导学案
【学习目标】
1．掌握等比数列的性质，能够运用这些性质解题.
2．能运用等比数列的通项公式和性质解决等比数列中的计算问题．
【自主预习】
1．等比数列通项公式的推广
通项公式
通项公式的推广
an＝a1qn－1
(揭示首末两项的关系)
an＝
(揭示任意两项之间的关系)
2．等比数列项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am·an＝
．
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N
)时，am·an＝a．
(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…．
3．等比数列的常用结论
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则：
①{can}(c为任一常数)是公比为q的等比数列；
②{|an|}是公比为|q|的等比数列；
③{a}(m为常数，n∈N
)是公比为qm的等比数列．
(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．
4．等比数列的单调性
(1)当a1>0，q>1或a1<0,0数列；
(2)当a1>0,01时，等比数列{an}为
数列；
(3)当q＝1时，数列{an}是
数列；
(4)当q<0时，数列{an}是
数列．
【互动探究】
1.已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5的值；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
2.已知四个数中，前三个成等差数列，后三个成等比数列，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．
3.是否存在都大于2的一对实数a，b(a－b＞1)，使得ab，，a－b，a＋b可以按照某一次序排成一个等比数列？若存在，求出所有的实数对(a，b)；若不存在，说明理由．
【课堂练习】
1．已知a，b，c，d成等比数列，且抛物线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A．3
B．2
C．1
D．－2
答案：B
2．在等比数列{an}中，an>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于( )
A．9
B．6
C．3
D．2
答案：C
3．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________．
答案：－6
4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
答案：8
5．已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3·a9的值．
