3.3.3.1简单的线性规划问题导学案
【学习目标】
1．了解线性规划的意义．
2．通过实例弄清线性规划的有关概念．
3．会用图解法求一些简单的线性规划问题．
【自主预习】
1．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
关于变量x，y
的不等式(或方程)组
线性约束条件
关于x，y
的一次不等式(或方程)组
目标函数
欲求
值或
值的关于变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于x，y
的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
由所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得
值或
值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
2.在线性约束条件下，最优解唯一吗？
【互动探究】
1.
已知x，y满足约束条件该不等式组所表示的平面区域如图，求2x＋3y的最大值．
2.(1)已知x，y满足约束条件则x2＋y2＋2x的最小值是( )
A．
B．－1
C．
D．1
(2)若x，y满足约束条件则的最大值为________．
3.已知x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y的最大值有无数个最优解，求实数a的值．
【课堂练习】
1．在满足约束条件的可行域中，整点的个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
答案：B
2．设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：D
3．已知实数x，y满足不等式组则z＝的最大值为____________．
答案：
4．已知非负实数x，y满足
(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；
(2)求z＝x＋3y的最大值．
解：(1)由x，y取非负实数，根据线性约束条件作出可行域，如图所示阴影部分．
(2)作出直线l：x＋3y＝0，将直线l向上平移至l1与y轴的交点M位置时，此时可行域内点M与直线l的距离最大，
而直线x＋y－3＝0与y轴交于点M(0,3)．
所以zmax＝0＋3×3＝9．3.3.3.2简单的线性规划应用问题导学案
【学习目标】
1．会从实际情境中列举出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
2．培养学生应用线性规划的有关知识解决实际问题的能力．
【自主预习】
1．应用线性规划解决实际问题的类型
2．应用线性规划处理实际问题时应注意的问题
(1)在求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最值的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔细推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保证解决问题的准确和完美．
(2)在处理实际问题时，x≥0，y≥0常被忽略，在解题中应注意．
(3)在求最优解时，一般采用
求解．
【互动探究】
1.某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6
h，装配加工1
h，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5
h，在电器方面加工2
h，装配加工1
h，每件乙种家电的利润为100元．已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15
h，可用于电器方面加工的能力为每天24
h，可用于装配加工的能力为每天5
h．问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数)
2.某公司的仓库A存有货物12
t，仓库B存有货物8
t．现按7
t、8
t和5
t把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元、从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．则应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？
【课堂练习】
1．某承包户承包了两块鱼塘，一块准备放养鲫鱼，另一块准备放养鲤鱼，现知放养这两种鱼苗时都需要鱼料A，B，C，每千克鱼苗所需饲料量如下表：
鱼类
鱼料A
鱼料B
鱼料C
鲫鱼/kg
15
g
5
g
8
g
鲤鱼/kg
8
g
5
g
18
g
如果这两种鱼长到成鱼时，鲫鱼和鲤鱼分别是当时放养鱼苗质量的30倍与50倍，目前这位承包户只有饲料A，B，C分别为
120
g、50
g、144
g，问如何放养这两种鱼苗，才能使得成鱼的质量最大？
2．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3
g、B药品4
g、C药品4
g，乙种烟花每枚含A药品2
g、B药品11
g、C药品6
g．已知每天原料的使用限额为A药品120
g、B药品400
g、C药品240
g．甲种烟花每枚可获利2元，乙种烟花每枚可获利1元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大？3.4.2
基本不等式的应用导学案
【学习目标】
1．进一步掌握基本不等式．(重点)
2．能灵活利用基本不等式解决最值问题．(重点、难点)
3．会用基本不等式解决实际问题．
【自主预习】
1．基本不等式与最值
?
(当且仅当x＝y时取等号)
?
(当且仅当
x＝y时取等号)
记忆口诀：和定积最大，积定和最小．
2．利用基本不等式求最值的条件有哪些？
【互动探究】
1.
(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；
(2)设0
(3)已知x>2，求x＋的最小值；
(4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
2.某单位决定投资3
200元建一仓库(长方体状)，高度恒定．它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．
(1)求仓库面积S的最大允许值是多少．
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
【课堂练习】
1．已知xy＜0，则代数式( )
A．有最小值2
B．有最大值－2
C．有最小值－2
D．不存在最值
答案：B
2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2
m2，形状为直角三角形的框架．在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(≈1.414)( )
A．6.5
m
B．6.8
m
C．7
m
D．7.2
m
答案：C
3．已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则的最小值为______．
答案：
4．设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为____________．
答案：9
5．已知0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值．
解：因为0＜x＜，所以1－3x＞0．
所以y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤2＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
所以当x＝时，函数y＝x(1－3x)取最大值．3.2.2
一元二次不等式的应用导学案
【学习目标】
1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．
2．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决．
3．掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．
【自主预习】
1．一般的分式不等式的同解变形法则
(1)>0?
．
(2)≤0?
(3)≥a?≥0．
2．一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立?
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立?
；
k≤f(x)恒成立?
．
【互动探究】
1.解下列不等式：
(1)<0；(2)≤1．
2.关于x的不等式mx2－mx－6＋m<0对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
3.某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f(n)表示前n年的纯利润总和[(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额72万元]．该厂从第几年开始盈利？
【课堂练习】
1．不等式(x－1)≥0的解集是( )
A．{x|x>1}
B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＝－2}
D．{x|x≤－2或x＝1}
答案：C
2．函数y＝的定义域为( )
A．[－4,1]
B．[－4,0)
C．(0,1]
D．[－4,0)∪(0,1]
答案：D
3．不等式≤3的解集为_________．
答案：
4．不等式ax2－6x＋a>0对x∈R恒成立，则实数a
的取值范围是______________．
答案：a>3
5．你能用一根长为100
m的绳子围成一个面积大于600
m2的矩形吗？
解：设围成的矩形一边的长为x
m，则另一边的长为(50－x)
m，且0由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)>600，
即x2－50x＋600<0.解得20所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600
m2的矩形．3.4.1
基本不等式≤
导学案
【学习目标】
1．会推导基本不等式，理解基本不等式的几何意义．(重点)
2．掌握基本不等式，明确等号成立的条件．(重点)
3．会用基本不等式证明不等式和解决简单的最值问题．
【自主预习】
1．重要不等式与基本不等式
2．对基本不等式的两种理解
(1)数列理解
如果把看作是整数a，b的等差中项，
看作是正数a，b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
(2)几何理解
以a＋b长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC＝a，CB＝b.过点C作垂直于直径AB的弦DD′，则CD＝.因为圆的半径为，所以≥.其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立，则该定理又可以叙述为：半径
半弦．
【互动探究】
1.求证：(1)不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；
(2)不等式2≤(a，b∈R)．
2.已知x，y都是正数．
求证：(1)＋≥2；
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3．
3.已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________________．
【课堂练习】
1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2]
B．[－2,0]
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
答案：D
2．下列不等式一定成立的是( )
A．lg>lg
x(x>0)
B．sin
x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．>1(x∈R)
答案：C
3．已知a，b都是正数，且a＋b＝1．
求证：≥9．
证明：方法一 因为a>0，b>0，且a＋b＝1，
所以＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9，
当且仅当＝，即a＝b＝时取“＝”号．
所以≥9．
方法二 ＝1＋＋＋＝1＋＋．
因为a＋b＝1，
所以＝1＋．
又因为a，b>0，所以ab≤2＝．
所以≥4，当且仅当a＝b＝时取“＝”号．
所以≥1＋2×4＝9．3.3.1.1
二元一次不等式表示的平面区域导学案
【学习目标】
1．了解二元一次不等式的概念．
2．准确判断二元一次不等式表示的平面区域．
3．会画出二元一次不等式表示的平面区域．
【自主预习】
1．二元一次不等式的概念
二元一次不等式
二元一次不等式的解集
特点：含有
未知数；未知数的次数是
满足二元一次不等式的x和y的取值构成的
构成的集合
2．二元一次不等式表示的平面区域
(1)在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线
某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成
表示区域不包括边界．
(2)不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成
．
3．二元一次不等式表示平面区域的确定
(1)依据：直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它们的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得符号都相同．
(2)方法：在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由
的符号可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
4．平面区域的边界有时为实线，有时为虚线，它们有什么区别？
【互动探究】
1.已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是____________．
2.画出不等式3x＋2y＋6＞0表示的平面区域．
【课堂练习】
1．下列各点中，不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的是( )
A．(0,0)
B．(1,1)
C．(0,2)
D．(2,0)
答案：D
2．点A(－2，b)不在平面区域2x－3y＋5≥0内，则b的取值范围是( )
A．b≤
B．b＜1
C．b＞
D．b＞－9
答案：C
3．图中阴影部分表示的平面区域满足不等式__________．
答案：2x＋2y－1≥0
4．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有____________个．
答案：6
5．画出满足下列条件的点表示的平面区域．
(1){(x，y)|x－2>0，y∈R}；
(2)y≥x＋3．
解：(1)表示平面内点的集合，将直线x－2＝0画成虚线如图所示．
(2)①先画出直线y＝x＋3，由于直线上的点满足y≥x＋3，因此将其画成实线．
②取原点(0,0)，代入y－x－3中，得0－0－3＜0.所以原点(0,0)不在不等式y≥x＋3表示的平面区域内．故不等式表示的平面区域如图所示．3.2.1
一元二次不等式及其解法导学案
【学习目标】
1．了解一元二次不等式的概念．
2．理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系，并会用其来解一元二次不等式．
3.会解含参数的一元二次不等式．
【自主预习】
1．一元二次不等式的概念
(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的
的不等式，称为一元二次不等式．
(2)一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式
或
其中a≠0)．
2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
?
3．请分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－1>0之间的关系．
【互动探究】
1.求下列一元二次不等式的解集．
(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6．
2.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0．
3.已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．
【课堂练习】
1．不等式(1－x)(3＋x)>0的解集是( )
A．(－3,1)
B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．(－1,3)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案：A
2．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
3．设集合M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为( )
A．8
B．7
C．4
D．3
答案：B
4．二次函数y＝x2－4x＋3在y<0时x的取值范围是________________．
答案：(1,3)
5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围．
解：当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，
所以a＝2时解集为R．
当a－2≠0时，由题意得
即
解得－2综上所述，a的取值范围为(－2,2]．3.3.1.2
二元一次不等式组表示的平面区域导学案
【学习目标】
1．能用平面区域表示二元一次不等式组．
2．会根据实际问题中的不等关系列出二元一次不等式组．
3．会利用二元一次不等式组表示的平面区域解决一些较简单的问题．
【自主预习】
1．二元一次不等式组的有关概念
二元一次不等式组
二元一次不等式组的解集
由几个二元一次不等式组成的不等式组
满足二元一次不等式组的x
和y
的取值构成的有序数对(x，y)
构成的集合
2．二元一次不等式组表示的平面区域
每个二元一次不等式所表示的平面区域的
，就是不等式组所表示的平面区域．
【互动探究】
1.用平面区域表示不等式组的解集．
2. 二元一次不等式组表示的平面区域的面积
3.画出不等式组所表示的平面区域并求其面积．
4.某工厂生产甲、乙两种产品，需要经过金工和装配两个车间加工，有关数据如下表：
产品加工时间/(h/件)
总有效工时/h
甲
乙
车间
金工
4
3
480
装配
2
5
500
列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
【课堂练习】
1．不等式组表示的平面区域为D，已知点P1(0，－2)，点P2(0,0)，则( )
A．P1?D，P2?D
B．P1?D，P2∈D
C．P1∈D，P2?D
D．P1∈D，P2∈D
答案：A
2．在平面直角坐标系内，下图中的阴影部分表示的不等式(组)是( )
A．
B．
C．
x2－y2≤0
D．
x2－y2≥0
答案：D
3．不等式组表示的平面区域的面积为________．
答案：2
4．完成一项装修工程，请木工每人需付工资500元，请瓦工每人需付工资400元．现有工人工资预算20
000元，设请木工x人，瓦工y人，则x，y满足的关系式为__________．
答案：
5．画出下列不等式组表示的平面区域：
解：如图所示．不等式①表示直线x＋y－1＝0的右上方(包括直线)的平面区域；
不等式②表示直线x－y＝0右下方(包括直线)的平面区域；
不等式③表示直线x＝2左方(包括直线)的平面区域．
所以，原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分)．3.1
不等关系与不等式导学案
【学习目标】
1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.
2．掌握不等式的有关性质.
3．能利用不等式性质进行数或式的大小比较或不等式证明．
【自主预习】
1．不等符号与不等关系的表示：
(1)不等符号有
；
(2)不等关系用
来表示．
2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换
大于
大于等于
小于
小于等于
至多
至少
不少于
不多于
3.实数大小比较
(1)文字叙述
如果a－b是
，那么a>b；
如果a－b
，那么a＝b；
如果a－b是
，那么a(2)符号表示
a－b>0?a
b;
a－b＝0?a
b；
a－b<0?a
b．
4．常用的不等式的基本性质
(1)a>b?b
a(对称性)；
(2)a>b，b>c?a
c(传递性)；
(3)a>b?a＋c
b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0?ac
bc；a>b，c<0?ac
bc；
(5)a>b，c>d?a＋c
b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0?ac
bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥1?an
bn；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2?
．
【互动探究】
1.某钢铁厂要把长度为4
000
mm的钢管截成500
mm和600
mm两种，按照生产的要求，600
mm钢管的数量不能超过500
mm钢管的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式．
2.比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3与3x；
(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2．
【课堂练习】
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＞N
B．M＝N
C．MD．与x有关
答案：A
2．已知a，b，c，d∈R，则下列命题必成立的是( )
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则＞
D．若a2＞b2，则－a＜－b
答案：B
3．《铁路旅行常识》规定：“一、随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票．每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．
……
十、旅客免费携带物品的体积和质量是：每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，质量不超过20千克……”
设身高为h(米)，物品外部尺寸长、宽、高之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.
文字
表述
身高在1．2～1.5
米之间
身高超
过1.5米
身高不
足1.2米
物体长、宽、高之和
不超过160厘米
符号表示
答案：1.2≤h≤1.5 h>1.5 04．若a>b>0，n>0，则________.(填“>”“<”或“＝”)
答案：<
5．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc．
又因为e>f，
所以e＋ac>f＋bc．
所以e－bc>f－ac，即f－ac