中考数学复习18 相似三角形的性质及其应用
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文档简介
§6.2相似三角形的性质及其应用（教 案）
教学目标
1).掌握相似三角形的性质。
2) 能灵活运用相似三角形的性质及判定解决问题。
教学重点与难点
重点：相似三角形的性质。
难点：灵活运用解决实际问题
一．考点知识整合：
考点一 相似三角形的性质
相似三角形的对应角＿＿＿＿,对应边＿＿＿＿
1.相似三角形的对应高的比为＿＿＿＿,对应中线的比为＿＿＿＿,对应角平分线的比为＿＿＿＿, 周长的比为＿＿＿＿,面积的比为＿＿＿＿＿＿＿＿
2.相似多边形的周长比等于＿＿＿＿,面积比＿＿＿＿＿＿＿＿.
跟进训练
1.已知D、E、F分别是△ABC三边的中点,若△ABC的周长为acm,则△DEF的周长为＿＿＿＿cm;若△ABC的面积为bcm2,则△DEF的面积为＿＿＿＿cm2.
2.(2008.衢州)如图,点D、E分别在△ABC的边
AB 、AC上,且∠AED=∠ABC,若DE=3,BC=6,
AB=8,则AE的长为＿＿＿＿
3.判断正误:
(1)如果把一个三角形三边的长都扩大2倍,
那么它的周长也扩大2倍.( )
(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的3倍,那么它的三边的长都扩大为原来的3倍.( )
考点二 射影定理
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形都相似.
如图:在Rt△ABC中,已知∠BAC=900,AD⊥BC,则
AD2= ＿＿＿＿＿＿＿＿
AB2= ＿＿＿＿＿＿＿＿
AC2= ＿＿＿＿＿＿＿＿
如图：若AB=3，BC=5，则AC=＿＿＿＿＿，AD=＿＿＿＿＿，
BD=＿＿＿＿＿，CD=＿＿＿＿＿。
归类示例:例1
(2009.鄂州)如图,某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造.已知△ABC的边BC长120米,高AD长80米,学校计划将它分割成△AHG、
△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分,其中矩形EFGH的一边EF在边BC上,其两个顶点H、G分别在边AB、AC上.现计划在△AHG上种草,每平方米投资6元;在△BHE, △FCG上都种花,每平方米投资10元;在矩形EFGH是兴建爱心鱼池,每平方米投资4元.
(1)当FG长为多少米时,种草的面积与种花的面积相等
(2)当矩形EFGH的边FG为多少米时, △ABC空地改造总投资最小 最小值为多少元
解：（1）设FG=X米，则AK=（80=X）米
由△AHG～△ABC，BC=120，AD=80可得
解得：X=40
答：当FG的长为40米时，种草和种花的面积相等
：（2）设改造后的总投资为W元
答：当矩形EFGH的边FG为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元
跟进训练
有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠Ｃ＝900,AB=5cm,AC=3cm,试设计一种方案,用这批不锈钢片截出面积最大的正方形不锈钢片,并求出这种为锈钢片的边长.
分析：
如图（1）设边长为Xcm,则由△CEH～△ABC可得:
如图(2),设边长为ycm,则BH=(4-y)cm
则由△GBH～△ABC可得:
所以应按图(2)的方式截正方形钢片
归类示例:例2
(2008.江西)问题背景:在某次活动中,甲、乙、丙三个学习小组于同一进刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量,下面是他们通过测量得到的一些信息:
甲组:如图(1)测得一根垂直立于平地,长80cm的竹竿的影长为60cm;
乙组:如图(2)测得学校旗杆的影长为900cm;
丙组:如图(3)测得学校景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.
任务要求(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;
(2)如图(3)设太阳光线NH与⊙O相切于点M,请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径(友情提示:景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602).
解析:(1)由题意可知:∠BAC=∠EDF=900, ∠BCA=∠EFD
∴△ABC～△DEF
∴DE=1200(cm)
所以学校旗杆的高度是12m.
解析(2):与(1)相类似,得: GN=208
在Rt△NGH中,由勾股定理得:
∴NH=206
设⊙O的半径为rcm,连结OM
∵NH切⊙O于M∴OM⊥NH
∴∠OMN=∠HGN=900∵ ∠ONM= ∠HGN
∴△OMN～△GHN
r=12
所以,景灯灯罩的半径是12cm.
跟进训练
(2007.怀化)九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆的高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离DF=2m,求旗杆AB的高度.
解:作EH⊥AB于点H
∵CD ⊥FB,AB ⊥FB
∴CD∥AB
∴△CGE～△AHE
解得:AH=11.9
∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5(m)
小结：
相似三角形是相似多边形的特例，相似多边形是相似三角形的推广，所以相似多边形与相似三角形有性质类似。
相似多边形中的问题常转化为相似三角形的问题来解决。
A
B
C
E
D
B
D
C
A
A
E
D
C
B
G
F
H
K
A
E
H
C
G
F
B
A
H
F
G
C
B
教学目标
1).掌握相似三角形的性质。
2) 能灵活运用相似三角形的性质及判定解决问题。
教学重点与难点
重点：相似三角形的性质。
难点：灵活运用解决实际问题
一．考点知识整合：
考点一 相似三角形的性质
相似三角形的对应角＿＿＿＿,对应边＿＿＿＿
1.相似三角形的对应高的比为＿＿＿＿,对应中线的比为＿＿＿＿,对应角平分线的比为＿＿＿＿, 周长的比为＿＿＿＿,面积的比为＿＿＿＿＿＿＿＿
2.相似多边形的周长比等于＿＿＿＿,面积比＿＿＿＿＿＿＿＿.
跟进训练
1.已知D、E、F分别是△ABC三边的中点,若△ABC的周长为acm,则△DEF的周长为＿＿＿＿cm;若△ABC的面积为bcm2,则△DEF的面积为＿＿＿＿cm2.
2.(2008.衢州)如图,点D、E分别在△ABC的边
AB 、AC上,且∠AED=∠ABC,若DE=3,BC=6,
AB=8,则AE的长为＿＿＿＿
3.判断正误:
(1)如果把一个三角形三边的长都扩大2倍,
那么它的周长也扩大2倍.( )
(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的3倍,那么它的三边的长都扩大为原来的3倍.( )
考点二 射影定理
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形都相似.
如图:在Rt△ABC中,已知∠BAC=900,AD⊥BC,则
AD2= ＿＿＿＿＿＿＿＿
AB2= ＿＿＿＿＿＿＿＿
AC2= ＿＿＿＿＿＿＿＿
如图：若AB=3，BC=5，则AC=＿＿＿＿＿，AD=＿＿＿＿＿，
BD=＿＿＿＿＿，CD=＿＿＿＿＿。
归类示例:例1
(2009.鄂州)如图,某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造.已知△ABC的边BC长120米,高AD长80米,学校计划将它分割成△AHG、
△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分,其中矩形EFGH的一边EF在边BC上,其两个顶点H、G分别在边AB、AC上.现计划在△AHG上种草,每平方米投资6元;在△BHE, △FCG上都种花,每平方米投资10元;在矩形EFGH是兴建爱心鱼池,每平方米投资4元.
(1)当FG长为多少米时,种草的面积与种花的面积相等
(2)当矩形EFGH的边FG为多少米时, △ABC空地改造总投资最小 最小值为多少元
解：（1）设FG=X米，则AK=（80=X）米
由△AHG～△ABC，BC=120，AD=80可得
解得：X=40
答：当FG的长为40米时，种草和种花的面积相等
：（2）设改造后的总投资为W元
答：当矩形EFGH的边FG为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元
跟进训练
有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠Ｃ＝900,AB=5cm,AC=3cm,试设计一种方案,用这批不锈钢片截出面积最大的正方形不锈钢片,并求出这种为锈钢片的边长.
分析：
如图（1）设边长为Xcm,则由△CEH～△ABC可得:
如图(2),设边长为ycm,则BH=(4-y)cm
则由△GBH～△ABC可得:
所以应按图(2)的方式截正方形钢片
归类示例:例2
(2008.江西)问题背景:在某次活动中,甲、乙、丙三个学习小组于同一进刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量,下面是他们通过测量得到的一些信息:
甲组:如图(1)测得一根垂直立于平地,长80cm的竹竿的影长为60cm;
乙组:如图(2)测得学校旗杆的影长为900cm;
丙组:如图(3)测得学校景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.
任务要求(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;
(2)如图(3)设太阳光线NH与⊙O相切于点M,请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径(友情提示:景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602).
解析:(1)由题意可知:∠BAC=∠EDF=900, ∠BCA=∠EFD
∴△ABC～△DEF
∴DE=1200(cm)
所以学校旗杆的高度是12m.
解析(2):与(1)相类似,得: GN=208
在Rt△NGH中,由勾股定理得:
∴NH=206
设⊙O的半径为rcm,连结OM
∵NH切⊙O于M∴OM⊥NH
∴∠OMN=∠HGN=900∵ ∠ONM= ∠HGN
∴△OMN～△GHN
r=12
所以,景灯灯罩的半径是12cm.
跟进训练
(2007.怀化)九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆的高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离DF=2m,求旗杆AB的高度.
解:作EH⊥AB于点H
∵CD ⊥FB,AB ⊥FB
∴CD∥AB
∴△CGE～△AHE
解得:AH=11.9
∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5(m)
小结：
相似三角形是相似多边形的特例，相似多边形是相似三角形的推广，所以相似多边形与相似三角形有性质类似。
相似多边形中的问题常转化为相似三角形的问题来解决。
A
B
C
E
D
B
D
C
A
A
E
D
C
B
G
F
H
K
A
E
H
C
G
F
B
A
H
F
G
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