中考数学复习20 解直角三角形
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文档简介
§7.2解直角三角形（教 案）
学习目标
1).熟练掌握直角三.角形的边角关系。
2) 注意数形结合,把实际问题转化为数学问题,用直角三角形,代数与几何知识综合求解,形式为 作辅助线构造直角三角形。
教学重点与难点
重点：直角三角形的边角关系。
难点：数形结合,把实际问题转化为数学问题,用直角三角形,代数与几何知识综合求解,形式为 作辅助线构造直角三角形。
一．考点知识整合：
考点一 解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角,由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
考点二 直角三角形的边角关系
在△ABC中, ∠C=9001.三边之间的关系:a2+b2=＿＿＿＿＿ (勾股定理)
2.两锐角之间的关系:∠A+∠B= ＿＿＿＿＿;
3.边角关系:sinA=cosB= ＿＿＿＿＿,cosA=sinB= ＿＿＿＿＿
,tanA= ＿＿＿.
4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
5.在直角三角形中,300角所对直角边等于斜边的一半
考点三 常用公式
1.内切圆半径r= ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2.外接圆半径R=＿＿＿＿＿＿＿＿＿
考点四 有关概念
1.坡度和坡角:
坡度:通常把坡面的铅直高度h和水平宽度 之比叫坡度,用字母 表示,
即 = ＿＿＿＿＿
把坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作a,于是 = ＿＿＿＿＿
坡度越大,坡角越大,坡面就越陡.
2.仰角和俯角
在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做＿＿＿＿＿＿,视线在水平线下方的角叫做＿＿＿＿＿＿.
3.方向角
指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于900的角叫做方向角.
常用“北偏西(东) ××度”或者“南偏西(东) ××度”来表示
归类示例.
例1：（2009.成都） 1．某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)
跟进训练
1.（2009.凉山）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知点C周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．
（1）MN是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据：
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？
解：作CH⊥AB，设CH=x米
由题意:在Rt△ACH中，∠CAH=45
∴ AH=CH=x
由题意:在Rt△CBH中，∠BCH=30°
∵AH+HB=600
∴MN不会穿过森林保护区
（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要（y-5）天，
根据题意得：
解得：y=25
经检验：y=25是原方程的根
答：原计划完成这项工程需要25天．
归类示例
例2. （ 2010.乌鲁木齐）如图,某过街天桥的截面图为梯形，其中，天桥斜面CD的坡度为 ，CD的长为10m,天桥另一斜面AB的坡角∠B=45
(1)写出过街天桥斜面AB的坡度；
(2)求DE的长；
(3)若决定对过街天桥进行改建，使斜面AB的坡面变缓，将其45°坡角变为
30°；方便过路群众，改建后的斜面为AF,试计算此改建需占路面的宽度。即求FB的长。
跟进训练
2.(2010.无锡).在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距 km的C处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行 至码头MN靠岸？请说明理由．
解：（1）由题意，得∠BAC=90°
∴
∴轮船航行的速度为:
(km/ h)
（2）：能
作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=40
∴ AD=40
在Rt△AEC中，∠CAE=30°，
∵BD⊥l,CE⊥l,
∴∠BDF=∠CEF=90° ∵AM＜AF＜AN，
又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF ∴轮船不改变航向继续航行，
正好能行至码头MN靠岸．
小 结：
1.解直角三角形和每年中考的必考知识点之一,主要考查直角三角形的边角关系及应用
2.注意数形结合,把实际问题转化为数学问题,用 直角三角形,代数与几何知识综合求解,形式为作辅助线构造直角三角形
B
c
a
b
C
A
学习目标
1).熟练掌握直角三.角形的边角关系。
2) 注意数形结合,把实际问题转化为数学问题,用直角三角形,代数与几何知识综合求解,形式为 作辅助线构造直角三角形。
教学重点与难点
重点：直角三角形的边角关系。
难点：数形结合,把实际问题转化为数学问题,用直角三角形,代数与几何知识综合求解,形式为 作辅助线构造直角三角形。
一．考点知识整合：
考点一 解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角,由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
考点二 直角三角形的边角关系
在△ABC中, ∠C=9001.三边之间的关系:a2+b2=＿＿＿＿＿ (勾股定理)
2.两锐角之间的关系:∠A+∠B= ＿＿＿＿＿;
3.边角关系:sinA=cosB= ＿＿＿＿＿,cosA=sinB= ＿＿＿＿＿
,tanA= ＿＿＿.
4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
5.在直角三角形中,300角所对直角边等于斜边的一半
考点三 常用公式
1.内切圆半径r= ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2.外接圆半径R=＿＿＿＿＿＿＿＿＿
考点四 有关概念
1.坡度和坡角:
坡度:通常把坡面的铅直高度h和水平宽度 之比叫坡度,用字母 表示,
即 = ＿＿＿＿＿
把坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作a,于是 = ＿＿＿＿＿
坡度越大,坡角越大,坡面就越陡.
2.仰角和俯角
在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做＿＿＿＿＿＿,视线在水平线下方的角叫做＿＿＿＿＿＿.
3.方向角
指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于900的角叫做方向角.
常用“北偏西(东) ××度”或者“南偏西(东) ××度”来表示
归类示例.
例1：（2009.成都） 1．某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)
跟进训练
1.（2009.凉山）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知点C周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．
（1）MN是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据：
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？
解：作CH⊥AB，设CH=x米
由题意:在Rt△ACH中，∠CAH=45
∴ AH=CH=x
由题意:在Rt△CBH中，∠BCH=30°
∵AH+HB=600
∴MN不会穿过森林保护区
（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要（y-5）天，
根据题意得：
解得：y=25
经检验：y=25是原方程的根
答：原计划完成这项工程需要25天．
归类示例
例2. （ 2010.乌鲁木齐）如图,某过街天桥的截面图为梯形，其中，天桥斜面CD的坡度为 ，CD的长为10m,天桥另一斜面AB的坡角∠B=45
(1)写出过街天桥斜面AB的坡度；
(2)求DE的长；
(3)若决定对过街天桥进行改建，使斜面AB的坡面变缓，将其45°坡角变为
30°；方便过路群众，改建后的斜面为AF,试计算此改建需占路面的宽度。即求FB的长。
跟进训练
2.(2010.无锡).在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距 km的C处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行 至码头MN靠岸？请说明理由．
解：（1）由题意，得∠BAC=90°
∴
∴轮船航行的速度为:
(km/ h)
（2）：能
作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=40
∴ AD=40
在Rt△AEC中，∠CAE=30°，
∵BD⊥l,CE⊥l,
∴∠BDF=∠CEF=90° ∵AM＜AF＜AN，
又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF ∴轮船不改变航向继续航行，
正好能行至码头MN靠岸．
小 结：
1.解直角三角形和每年中考的必考知识点之一,主要考查直角三角形的边角关系及应用
2.注意数形结合,把实际问题转化为数学问题,用 直角三角形,代数与几何知识综合求解,形式为作辅助线构造直角三角形
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