中考数学复习13 二次函数的应用（二）
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文档简介
§3.6二次函数的应用（二）（教 案）
教学目标
1) 正确理解和掌握二次函数的概念、图象和性质
2) 利用数形结合的思想,借助函数的图象和性质形象直观地解决有关不等式最大(小)值、方程的解 以及图形的位置关系等问题.
3）利用转化思想,通过一元二次方程根的判别式及根与系数的来解决抛物线与x轴交点的问题
教学重点与难点
重点：理解和掌握二次函数的概念、图象和性质
难点：数形结合的思想
一．考点知识整合：
二次函数的应用是中考命题的重点，
常见题型有：
（一）.二次函数与方程、不等式的综合应用
（二）.二次函数与实际应用问题
（三）.二次函数与几何的综合应用
归类示例
（一）.二次函数与方程、不等式的综合应用
例1．
如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，
其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为
A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0
的解集是 .
（二）.二次函数与实际应用问题
1.解决问题的基本思路：
(1)认真审题，分清题中已知和未知数量的关系
(2)确定自变量x和因变量y以及自变量的取值范围
(3)依据题中实际数量的相等关系，建立相关的函数模型
(4)利用函数的图象和性质求出最值。
2.实际问题中的最值与自变量的取值范围之间存在的关系。
(1)自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点取得最值。
(2)自变量的取值范围是x1函数在顶点取得最值。
函数在x= x1和x=x2处取得最值。
例2. 某公司有甲、乙两个绿色农产品种植基地，在收获期这两个基地当天收获的某种农产品，一部份存入仓库，另一部分运往外地销售。根据经验，该农产品在收获过程中两个种植基地累积总产量y (吨)与收获天数x (天)满足函数关系y=2x3 (1x10且x为整数)。该农产品在收获过程中甲、乙两基地的累积产量分别占两基地累积总产量的百分比和甲、乙两基地累积存入仓库的量分别占甲、乙两基地的累积产量的百分比如下表：
(1) 请用含y的代数式分别表示在收获过程中甲、乙两个基地累积存入仓库的量；
(2) 设在收获过程中甲、乙两基地累积存入仓库的该种农产品的总量为p(吨)，请求出p(吨)与收获天数
x(天)的函数关系式；
(3) 在(2)的基础上，若仓库内原有该农产品42.6吨，为满足本地市场需求，在此收获期开始的同时，每天从仓库调出一部分该种农产品投入本地市场，若在本地市场售出的该种农产品总量m(吨)与收获天数x(天)满足函数关系m= x213.2x1.6 (1x10且x为整数)。问在此收获期内连续销售几天，该农产品库存量达到最低值？最低库存量是多少吨？
解：（1）甲基地累积存入仓库的量: y×60%×85%= 0.51 y (吨)
乙基地累积存入仓库的量: y×40%×22.5%= 0.09 y (吨)
（2）P=0.51y+ 0.09y=0.6y
∵ y=2x3
∴P=0.6 ( 2x+3 ) =1.2x+1.8
（3）设在此收获期内仓库有该农产品 W 吨。
W= 42.6 + p - m= 42.6+ (1.2x+1.8) –(x213.2x1.6 )
=x2 -12x + 46
=(x-6)2 + 10
∵ 1x10且x为整数∴ 当x=6时，W最小值=10
∴ 在此收获期内连续销售6天，该农产品库存量达到最低值，最低库存量为10吨。
（三）.二次函数与几何的综合应用
例3．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．
（1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由；
（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；
（3）设边AB＝1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面 积y的最小值和最大值．.
解：（1）△ABC与△SBR相似
理由：∵ PR⊥BC, RS平分∠PRB
∴∠BRS=45°
在Rt△ABC中，AB=AC
∴∠C=45°
∴ ∠BRS=∠C
∵∠B= ∠B
∴ △ABC ～△SBR
（2）
线段TS与PA的长度相等
∵ 四边形PTEF是正方形
∴PT = PF
∵ ∠1+∠2=90°∠3+∠2=90°
∴ ∠1=∠3
∵ ∠PAF=∠PST=90°
∴ △APF≌△STB
∴ TS=PA
当点P运动到使得T与R重合时，
即有 TS=PA
由以上可知：线段TS与PA的长度相等
（3）由题意：∴ △PRB是等腰直角三角形
RS平分∠PRB∴PS = BS
∵ AB＝1,设PA= x,
A
O
x
3
1
22.5%
40%
乙
85%
60%
甲
该基地累积存入仓库的量占
该基地的累积产量的百分比
该基地的累积产量占
两基地累积总产量的百分比
项目
百分比
种植基地
A
B
C
R
S
T
E
F
教学目标
1) 正确理解和掌握二次函数的概念、图象和性质
2) 利用数形结合的思想,借助函数的图象和性质形象直观地解决有关不等式最大(小)值、方程的解 以及图形的位置关系等问题.
3）利用转化思想,通过一元二次方程根的判别式及根与系数的来解决抛物线与x轴交点的问题
教学重点与难点
重点：理解和掌握二次函数的概念、图象和性质
难点：数形结合的思想
一．考点知识整合：
二次函数的应用是中考命题的重点，
常见题型有：
（一）.二次函数与方程、不等式的综合应用
（二）.二次函数与实际应用问题
（三）.二次函数与几何的综合应用
归类示例
（一）.二次函数与方程、不等式的综合应用
例1．
如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，
其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为
A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0
的解集是 .
（二）.二次函数与实际应用问题
1.解决问题的基本思路：
(1)认真审题，分清题中已知和未知数量的关系
(2)确定自变量x和因变量y以及自变量的取值范围
(3)依据题中实际数量的相等关系，建立相关的函数模型
(4)利用函数的图象和性质求出最值。
2.实际问题中的最值与自变量的取值范围之间存在的关系。
(1)自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点取得最值。
(2)自变量的取值范围是x1
函数在x= x1和x=x2处取得最值。
例2. 某公司有甲、乙两个绿色农产品种植基地，在收获期这两个基地当天收获的某种农产品，一部份存入仓库，另一部分运往外地销售。根据经验，该农产品在收获过程中两个种植基地累积总产量y (吨)与收获天数x (天)满足函数关系y=2x3 (1x10且x为整数)。该农产品在收获过程中甲、乙两基地的累积产量分别占两基地累积总产量的百分比和甲、乙两基地累积存入仓库的量分别占甲、乙两基地的累积产量的百分比如下表：
(1) 请用含y的代数式分别表示在收获过程中甲、乙两个基地累积存入仓库的量；
(2) 设在收获过程中甲、乙两基地累积存入仓库的该种农产品的总量为p(吨)，请求出p(吨)与收获天数
x(天)的函数关系式；
(3) 在(2)的基础上，若仓库内原有该农产品42.6吨，为满足本地市场需求，在此收获期开始的同时，每天从仓库调出一部分该种农产品投入本地市场，若在本地市场售出的该种农产品总量m(吨)与收获天数x(天)满足函数关系m= x213.2x1.6 (1x10且x为整数)。问在此收获期内连续销售几天，该农产品库存量达到最低值？最低库存量是多少吨？
解：（1）甲基地累积存入仓库的量: y×60%×85%= 0.51 y (吨)
乙基地累积存入仓库的量: y×40%×22.5%= 0.09 y (吨)
（2）P=0.51y+ 0.09y=0.6y
∵ y=2x3
∴P=0.6 ( 2x+3 ) =1.2x+1.8
（3）设在此收获期内仓库有该农产品 W 吨。
W= 42.6 + p - m= 42.6+ (1.2x+1.8) –(x213.2x1.6 )
=x2 -12x + 46
=(x-6)2 + 10
∵ 1x10且x为整数∴ 当x=6时，W最小值=10
∴ 在此收获期内连续销售6天，该农产品库存量达到最低值，最低库存量为10吨。
（三）.二次函数与几何的综合应用
例3．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．
（1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由；
（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；
（3）设边AB＝1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面 积y的最小值和最大值．.
解：（1）△ABC与△SBR相似
理由：∵ PR⊥BC, RS平分∠PRB
∴∠BRS=45°
在Rt△ABC中，AB=AC
∴∠C=45°
∴ ∠BRS=∠C
∵∠B= ∠B
∴ △ABC ～△SBR
（2）
线段TS与PA的长度相等
∵ 四边形PTEF是正方形
∴PT = PF
∵ ∠1+∠2=90°∠3+∠2=90°
∴ ∠1=∠3
∵ ∠PAF=∠PST=90°
∴ △APF≌△STB
∴ TS=PA
当点P运动到使得T与R重合时，
即有 TS=PA
由以上可知：线段TS与PA的长度相等
（3）由题意：∴ △PRB是等腰直角三角形
RS平分∠PRB∴PS = BS
∵ AB＝1,设PA= x,
A
O
x
3
1
22.5%
40%
乙
85%
60%
甲
该基地累积存入仓库的量占
该基地的累积产量的百分比
该基地的累积产量占
两基地累积总产量的百分比
项目
百分比
种植基地
A
B
C
R
S
T
E
F
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