广东省广州市七校联合体2022届高三下学期6月调研考试（一）数学试题 PDF版含答案

绝密★启用前 试卷类型：B
2022届广东省广州市七校联合体高三调研考试（一）
数 学
2021.6
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。
2．用 2B 铅笔将考生号及试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。作答选择题时，
选出每小题答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用
铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
⒈若复数 z ? m?1?(m?1)i 是纯虚数（i 是虚数单位），则实数m ?
A．1 B．?1 C．?1 D．0
⒉已知a ? (3 , ?1 , 2)，b ? (?2 , 4 , x)，且a ?b ，则x ?
A．5 B．4 C．3 D．2
⒊?an?是等比数列，首项a1 ?1，前3项和S3 ?3，则公比q ?
A．1 B．?2 C．1或?2 D．3
⒋某地为了解参加培训教师的年龄结构，随机
频率/组距
调查了100名教师的年龄，得到如图1所示的 0.0
7
频率分布直方图，则年龄在[30 , 40)的频率为 0.0
6
A．0.06 B．0.07 C．0.13 D．0.65
0.0
⒌在?ABC中，已知向量 0 0
AB ? (cos18 , cos72 )， 4 0 20 25 30 35 40 45 年龄(岁)
0 0
? 图1
AC (2cos63 , 2cos27 )，则?BAC ?
0 0 0 0
A．45 B．135 C．81 D．99
⒍空间中有A、B、C、D、E、F 共6个点，其中任何4个点都不在同一平面
上，则以其中4个点为顶点的三棱锥共有
A．30个 B．24个 C．20个 D．15个
⒎M 、N 是正方体ABCD? A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1的中点，如图2是用过M 、
N 、A和D、N 、C1的平面截去两个角后所得几何体，该几何体的主视图是
C
N 1
M B1
D C
A B
A． B． C． D． 图2
⒏已知 / /
f(x)、g(x)都是定义在R上的函数，g(x) ? 0， f(x)g (x) ? f (x)g(x)，
x f(1) f(?1) 5 f(n)
f(x) ? a g(x)（a ? 0且a ?1），且 ? ? ，对于有穷数列 （n ?1，
g(1) g(?1) 2 g(n)
15
2，…，10），任取正整数k（1? k ?10），它的前k项和大于 的概率是
16
3 1 3 2
A． B． C． D．
10 2 5 5
二、多选题：本大题共4小题，每小题满分5分，部分选对得2分，多选或错选不
得分，满分20分
?? ?
9．由函数 f ?x??sinx的图象得到函数g(x)?cos? ?2x? 的图象的过程中，下列表述
? 3 ?
正确的是（ ）
1
A．先将 f ?x??sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向左
2
?
平移个 单位长度
12
1
B．先将 f ?x??sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向左
2
?
平移 个单位长度
6
?
C．先将 f ?x??sinx的图象向左平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到
6
1
原来的 （纵坐标不变）
2
?
D．先将 f ?x??sinx的图象向左平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到
12
1
原来的 （纵坐标不变）
2
10．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难人微．”事实上，很多代数问题
2 2
可以转化为几何问题加以解决，例如，与 (x?a) ?(y?b) 相关的代数问题，可以转
化为点A(x,y) 与点B(a,b) 之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程
2 2
x ?4x?5? x ?4x?5 ?2的解为（ ）
2 3 3 2 3 3
A． B． C．? D．?
3 6 3 6
11．已知
2 4 2 3 4 5 6
(1?x )?x?2? ?a0 ?a1?x?1??a2?x?1? ?a3?x?1? ?a4?x?1? ?a5?x?1? ?a6?x?1?
，则（ ）
A．a0 ?0 B．a3 ?20 C．a1?a5 ?0 D．|a0+a2 ?a4 ?a6 ? a1?a3?a5 |
12．已知 f ?x?是定义在R上的奇函数，且 f ?1?x?? f ?1?x?，当0? x?1时，
f ?x?? x，关于函数g?x?? f ?x? ? f ?|x|?，下列说法正确的是（ ）
A．g?x?为偶函数 B．g?x?在（1，2）上单调递增
C．g?x?在[2016，2020]上恰有三个零点 D．g?x?的最大值为2
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
2
13.已知命题 p：?x0 ?R，x0 ?1? 0，则命题 p的否定为? p： ．
1
14. 3 10
(2x ? 3) 的展开式中，常数项是 ．
2x
2 2
x y
15.若双曲线 ? ?1上的点P到点(5 , 0)的距离为6，则P到点(?5 , 0)的距
16 9
离为 ．
16.一物体沿直线以 2
v ?t ?3（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度运动，则
该物体在1～4 s间行进的路程是 ．
四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17.（本小题满分10分）
?ABC的三个内角A、B、C对应的三条边长分别是a、b、c，且满足
csin A? 3acosC ．
⑴求角C的大小；
⑵若b ? 2，c ? 7 ，求a．
18.（本小题满分12分）
某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了
100名电视观众，得到如下列联表：
文艺节目 新闻节目 总计
20至40岁 40 16 56
大于40岁 20 24 44
总计 60 40 100
⑴用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众
应抽取几名？
⑵是否有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关？说明你的理由；
⑶已知在大于40岁收看文艺节目的20名观众中，恰有8名又收看地方戏节
目．现在从这20名观众中随机选出3名进行其他方面调查，记选出收看地方戏节
目的人数为?，求?的分布列与数学期望．
2
n(ad ?bc)
参考公式与临界值表： 2
K ? ，其中n ? a?b?c?d
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
2
P(K ? k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19.（本小题满分12分）
如图4，ABCD? A1B1C1D1是四棱柱，AA1 ?底面ABCD，AB//CD，AB ? AD，
AD ?CD ? AA1 ?1，AB ? 2． D1 C1
⑴求证：A1C1 ?平面BCC1B1； A1 B1
⑵求平面A1BD与平面BCC1B1所成二面角的大小．
D C
A B
图4
20.（本小题满分12分）
已知?an?是递增的等差数列，它的前三项的和为?3，前三项的积为8．
⑴求数列?an?的通项公式；
⑵求数列? an ?的前n项和Sn．
21.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线C： 2
y ?8x的焦点为F 。椭圆?的中心
1
在坐标原点，离心率e ? ，并以F 为一个焦点．
2
⑴求椭圆?的标准方程；
⑵设A1A2是椭圆?的长轴（A1在A2的左侧），P是抛物线C在第一象限的
一点，过P作抛物线C的切线，若切线经过A1，求证：tan?A1PA2 ? 2．
22.（本小题满分12分）
已知函数 f(x) ? mln(x?1)?(m?1)x，m?R是常数．
1
⑴若m ? ，求函数 f(x)的单调区间；
2
⑵若函数 f(x)存在最大值，求m的取值范围；
f(x )? f(x ) x ? x
⑶若对函数 1 2 1 2
f(x)定义域内任意x1、x2（x1 ? x2）， ? f( )
2 2
恒成立，求m的取值范围．
2022届广东省广州市七校联合体高三调研考试（一）
数学评分参考2021.6
一、单选题 BACD ADBC
二、多选题 AC AC ACD AD
2
三、填空题 13.?x?R（2分），x ?1? 0（3分） 14.?252
15.14 16.30m（数值4分，单位1分）
四、解答题
a c
17.⑴由正弦定理 ? ……2分，得csin A? asinC……3分，由已知得
sin A sinC
?
asinC ? 3acosC，tanC ? 3……4分，因为0?C ??，所以C ? ……5分
3
2 2 2 2 2 2 ?
⑵由余弦定理c ? a ?b ?2abcosC ……7分，得( 7) ? a ?2 ?4a?cos 3
2
……9分，即a ?2a?3? 0……10分，解得a ?3或a ? ?1……11分，负值舍去，
所以a ?3……10分
24
18.⑴应抽取大于40岁的观众人数为 ?5?3（名）……3分（列式2分，计算1分）
40
⑵根据列联表中的数据，得
2
2 100?(40?24?16?20) 1600
K ? ? ? 6.926 ? 6.635
56?44?60?40 231
……7分（列式2分，计算1分，判断1分）
所以，有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关……8分
⑶?的可能值为0、1、2、3……9分
3 1 2 2 1
C12 11 C8C12 44 C8C12 28
P(?? 0) ? 3 ? ，P(??1) ? 3 ? ，P(?? 2) ? 3 ? ，
C20 57 C20 95 C20 95
3
C8 14
P(??3) ? 3 ?
C20 285
?的分布列为 ? 0 1 2 3
11 44 28 14
P 57 95 95 285
……10分
11 44 28 14 6
?的数学期望E?? 0? ?1? ?2? ?3? ? ……12分（每个等号1
57 95 95 285 5
分）
19.⑴AA1 ?底面ABCD，所以CC1 ? A1C1……1分，
?
取A1B1的中点E，连接EC1……2分，则A1EC1D1是正方形，?A1C1E ? ……
4
? ?
3分，又B1E ?C1E ?1，?B1C1E ? ，所以?A1C1B1 ? ，A1C1 ? B1C1……4分，
4 2
因为CC1 ?B1C1 ?C1，所以A1C1 ?平面BCC1B1……5分．
⑵（法一）以D为原点，DA、DC 、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z 轴
建立空间直角坐标系……6分，则D(0 , 0 , 0)，A(1 , 0 , 0)，B(1 , 2 , 0)，A1(1 , 0 , 1)，
C1(0 , 1 , 1)……7分，DA1 ? (1 , 0 , 1)，DB ? (1 , 2 , 0)，A1C1 ? (?1 , 1 , 0)……8
分，由⑴知，平面BCC1B1的一个法向量为n1 ? A1C1 ? (?1 , 1 , 0)……9分，设平
??n2 ?DB ? 0 ?a?2b ? 0
面A1BD的一个法向量为n2 ? (a , b , c)，则? ，即? ，不妨设
??n2 ?DA1 ? 0 ?a?c ? 0
b ?1，则a ? ?2，c ? 2，从而n2 ? (?2 , 1 , 2)，设所求二面角的大小为?，则
|n1?n2 | 2 ?
cos?? ，? ，所求二面角的大小为 ……12分．
|n1 |?|n2 | 2 4
（法二）取AB的中点F ，连接D1E 、EF 、DF……6分，则EF //BB1、
DF //BC，因为DF ?EF ? F ，所以平面DD1EF//与平面BCC1B1……7分，所
以平面A1BD与平面BCC1B1所成二面角等于平面A1BD与平面DD1EF 所成二面
角……8分。设EF ? A1B ?G，D1E? A1C1 ? H ，连接DG，作A1M ? DG，垂
足为M ，连接HM ，由⑴知A1C1 ?平面DD1EF ，A1C1 ? DG，A1M ? A1H ? A1，
所以DG ?平面A1HM ……9分，DG ? HM ，?A1MH 是平面A1BD与平面
BCC1B1所成二面角……10分。设DM ? x，则
2 2 2 2 2 1 5
A1D ? x ? A1G ?GM ? A1M ……11分，其中A1D ? 2 ，A1G ? A1B ? ，
2 2
2 2 2 1 2 3 3
DG ? DF ? FG ? ( 2) ?( ) ? ，GM ? ? x，代入解得x ?1，在?A1MH
2 2 2
2 2 2
中，A1H ? MH ，A1M ? A1D ?DM ?1，A1H ? ，所以
2
A1H 2 ?
sin?A1MH ? ? ，所求二面角的大小为 ……12分．
A1M 2 4
?a1 ?(a1 ?d)?(a1 ?2d) ? ?3
20.⑴设?an?的公差为d（d ? 0），依题意，? ……2
?a1?(a1 ?d)?(a1 ?2d) ?8
?a1 ?d ? ?1 ?a1 ? ?4 ?a1 ? 2
分，即? ，解得? 或? ……4分，因为d ? 0，
?a1?(a1 ?2d) ? ?8 ?d ?3 ?d ? ?3
?a1 ? ?4
所以? ，?an?的通项an ? ?7?3n……5分
?d ?3
⑵由⑴得a1 ? ?4，|a1 |? 4；a2 ? ?1，|a2 |?1……6分；当n ?3时，an ? 0，
|an |? an……7分，所以S1 ? 4，S2 ?5……8分
当n ?3时，Sn ? S2 ?(a3 ??an) ?5?[2???(?7?3n)]……9分，
2?(?7?3n) 3 2 11
?5? ?(n?2) ? n ? n?10……11分，
2 2 2
?
?4 , n ?1,
?
综上所述，Sn ? ?5 , n ? 2,……12分．
?3 2 11
? n ? n?10 , n ?3.
?2 2
2 2
x y
21.⑴依题意，设椭圆?的标准方程为 2 ? 2 ?1（a ?b ? 0）……1分，
a b
p
2p ?8，所以 p ? 4， ? 2……2分，F(2 , 0)，c ? 2……3分，
2
c 1 2 2 2
e ? ? ，所以a ? 4……4分，b ? a ?c ?12……4分，
a 2
2 2
x y
所以椭圆?的标准方程为 ? ?1……5分
16 12
⑵抛物线C在第一象限的部分可看作函数y ? 8x ? 2 2? x 的图象……6分，
2
y 1 2
依题意，不妨设 0 /
P( , y0)（y0 ? 0），因为y ? 2 2? ? ……7分，所
8 2 x x
2
4 4 y
以切线 / 0
PA1的斜率kPA1 ? y |x?x0? ……9分，PA1：y? y0 ? (x? )……8
y0 y0 8
分，由⑴得A1(?4 , 0)，代入解得y0 ? 4 2……9分，则P(4 , 4 2)，A2(4 , 0)……
10分，PA2 ? A1A2，在Rt?PA1A2中，A1A2 ?8，PA2 ? 4 2 ，?PA2A1是直角，
A A
所以 1 2
tan?A1PA2 ? ? 2……12分．
PA2
22．⑴ f(x)的定义域为(1 , ??)……1分
1 1 1 1 1 2? x
m ? 时， /
f(x) ? ln(x?1)? x， f (x) ? ? ? ……2分
2 2 2 2(x?1) 2 2(x?1)
解 / /
f (x) ? 0得x ? 2。当x?(1 , 2)时， f (x) ? 0，即 f(x)在(1 , 2)单调递
增……3分；当 /
x?(2 , ??)时，f (x)? 0，即 f(x)在(2 , ??)单调递减……4分。
m (m?1)x?1
⑵ /
f (x) ? ?(m?1) ?
x?1 x?1
/
若m ?1，则 f (x) ? 0， f(x)单调递增，不存在最大值……5分
若m ? 0，则 /
f (x)?0， f(x)单调递减，不存在最大值……6分
/ 1 1 /
若0? m ?1，由 f (x) ? 0得x ? ，当x?(1 , )时，f (x) ? 0，f(x)
1?m 1?m
1
单调递增，当 /
x?( , ??)时，f (x)? 0，f(x)单调递减……8分，所以 f(x)
1?m
1
在x ? 取得最大值，所求m的取值范围为(0 , 1)……9分
1?m
f(x )? f(x ) x ? x
⑶由 1 2 1 2 mln(x1 ?1)?mln(x2 ?1) x1 ? x2
? f( )得 ? mln( ?1)
2 2 2 2
……10分，依题意x1 ?1? 0，x2 ?1?0且x1 ?1? x2 ?1，所以
x1 ? x2 (x1 ?1)?(x2 ?1)
?1? ? (x1 ?1)(x2 ?1) ……10分，
2 2
x1 ? x2
y ? lnx是增函数，所以ln( ?1) ? ln (x1 ?1)(x2 ?1) ……11分，
2
1 1
? ln[(x1 ?1)(x2 ?1)]? [ln(x1 ?1)?ln(x2 ?1)]，所求m的取值范围为
2 2
(?? , 0)……12分．