广东省广州市中学教学研究会2022届高三上学期6月调研考试数学试题 PDF版含答案

2022届广东省广州市中学教学研究会高三调研考试
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。
2．用 2B 铅笔将考生号及试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。作答选择题时，
选出每小题答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不
准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
⒈ i 为虚数单位，(?1?2 i )?i ?
A．2?i B．2?i C．?2?i D．?2?i
⒉已知向量a ? (2 , 3)与b ? (x , ?6)共线，则x ?
A．?4 B．4 C．9 D．?9
1 3 5 7
⒊一个数列，它的前4项分别是 ， ， ， ，这个数列的一个通项公式是
2 4 8 16
2n?1 2n?1 2n?1 2n?1
A．an ? B．an ? n C．an ? D．an ? n
2n 2 2n 2
4
⒋已知x ? 0，则x? 的
x
A．最大值为2 B．最小值为2 C．最大值为4 D．最小值为4
⒌若 p： f(x)是奇函数，q：y ? f(x)的图象经过坐标原点，则 p是q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
⒍如图1，正方形SG1G2G3中，E、F 分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF 的中
点，沿SE、SF 、EF 将正方形折成一个四面体， S G3
使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G，则在
四面体S ?EFG中 F
A．SG ?平面EFG B．SD ?平面EFG D
C．GF ?平面SEF D．GD ?平面SEF G1 E G2
2 2 图1
x y
⒎双曲线C以椭圆 ? ?1的焦点为顶点，以椭圆的顶
16 12
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点为焦点，则双曲线C的方程为
2 2 2 2 2 2 2 2
x y x y x y x y
A． ? ?1 B． ? ?1 C． ? ?1 D． ? ?1
16 12 4 12 12 4 16 4
⒏一个质量为3kg的物体作直线运动，设运动距离s(单位：m)与时间t(单位：
1
s)的关系可用函数 2 2
s(t) ?1?t 表示，并且物体的动能Ek ? mv ．则物体开始
2
运动后第5s时的动能是
75 45
A．150 B．75 C． D．
2 2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为y ? ?2x，则
双曲线E的离心率为
5 5 3 3 5
A． 2 B． 5 C． 3 D． 5
10．如图是函数 f (x)? Asin(?x??) (?? 0)的部分图象，则
(第10题图)
1 ? 1 ?
f(x)?2sin( x? ) f(x)?2sin( x? )
A． 2 4 B． 2 2
1 ? 1
f(x)??2sin( x? ) f(x)?2cos( x)
C． 2 2 D． 2
11．已知ab?0，则
b a
? ?
2 2 2 2 2
A．a ?b ?2ab B．a ?b ?2ab C．a(a?b)?0 D． a b
?
12．已知随机变量X 的取值为不大于n(n?N )的非负整数，它的概率分布列
为
X 0 1 2 3 … n
p p0 p1 p2 p3 … pn
? ?
其中 pi(i 0,1,2,3,?,n)满足 pi [0,1] ? ?
，且 p0 p1 p2 ??? pn ?1．定义由X 生
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2 3 i n
? ? ? ?
成的函数 f(x) p0 p1x p2x p3x ??? pix ??? pnx ，g(x)为函数 f(x)的导
函数，E(X)为随机变量X 的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个
面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X ，
此时由X 生成的函数为 f1(x)，则
15 225
f1(2)? f1(2)?
A．E(X) ? g(2) B． 2 C．E(X) ? g(1) D． 4
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13.某校在对学生是否喜欢数学的抽样调查中，随机抽取了300名学生，相关的数
据如下表所示：
喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总计
男 37 85 122
女 35 143 178
总计 72 228 300
由表中数据直观分析，
该校学生的性别与是否喜欢数学之间________关系（填“有”或“无”）．
14.命题 p：每个指数函数都是单调函数，则它的否定?p：________________．
15.若a、b ? 0，则a?b ? 2 ab；若a、b、 3
c ? 0，则a?b?c ?3 abc ；若a、
b、c、 4
d ? 0，则a?b?c?d ? 4 abcd 。猜想：若a1、a2、a3、……、an ? 0，
则________________．
16.如图1，平行六面体ABCD? A1B1C1D1中，AC 与BD
相交于M ，设 AB ? a 、 AD ? b 、 AA1 ? c ，则
⑴B1M ? （用a 、b 、c 表示）；
o
⑵若a 、b 、c 三向量是两两成60 角的单位向量，
则| B1M |? ．
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三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17.（本小题满分10分）
在?ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c．
?
⑴若sin(A? ) ? 2cosA，求A的值；
6
1
⑵若cosA? ，b ?3c，求证：?ABC是直角三角形．
3
18.（本小题满分12分）
如图4，在直三棱柱 0
ABC ? A B B
1 1C1中，?ABC ?90 ，
AB ? 2，BC ?CC1 ? 4，D是AA1的中点． A
C
⑴求四棱锥B1 ? A1C1CD的体积；
⑵求证：B1D ?平面BCD． D
B1
C A
1 1
图4
19.（本小题满分12分）
?
已知数列{an}（n?N ）是递增的等比数列，且a1 ?a3 ?5，a1a3 ? 4．
⑴求数列?an?的通项公式；
⑵若bn ? log 2 an ?1，且b1 ?b2 ?b3 ???bm ?b45，求正整数m的最大值．
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20.（本小题满分12分）
某次学业水平考试有1000人参加，其成绩的频率分布直方图如图5所示，规
定85分及其以上为优秀．
⑴若成绩在[ 75 , 80)区间有50人，求成绩为优秀的学生人数；
⑵用分层抽样的方法从成绩在[ 80 , 85)和[ 90 , 95)区间的学生中抽取5人进
行研究，问应抽取多少名成绩在[ 90 , 95)区间的学生？
⑶从⑵所抽取的5人中随机抽取2人，求成绩在[ 80 , 85)和[ 90 , 95)区间的学
生恰好各有1人的概率． 频率
组距
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.0O1 75 80 85 90 95 100 分数
图5
21.（本小题满分12分）
2 2
x y 6
已知椭圆C： 2 ? 2 ?1(a ?b ? 0)的一个顶点为A(0, 2)，离心率e ? ．
a b 3
⑴求椭圆C的方程；
⑵若B是A关于坐标原点的对称点，试探究在椭圆C是否存在点P ，使
?ABP为等腰三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具
体求出这些点的坐标）．
22.（本小题满分12分）
1 2
已知函数 f(x) ? lnx?(a? )x ，a?R是常数．
2
⑴当a ?1时，求函数 f(x)在区间[ 1,e ]上的最大值和最小值；
⑵若在区间( 1, ??)上，函数 f(x)的图象恒在直线y ? 2ax下方，求实数a的
取值范围．
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2022届广东省广州市中学教学研究会高三调研考试评分参考
一、单选题 CABDD ABA
二、多选题 AB BCD ACD CD
二、填空题
13.有 14.存在一个指数函数，它不是单调函数（等价表达可相应给分）
1 1
15.a1 ?a2 ?a3 ???a n
n ? n a1a2a3 ???an 16.? a ? b ?c （2分），
2 2
5 （3分）
2
三、解答题
? ? ?
17.⑴由sin(A? ) ? 2cosA得sin Acos ?cosAsin ? 2cosA……2分，所
6 6 6
3 1 3 3
以sin A? ?cosA? ? 2cosA……3分， sin A? cosA，tan A? 3……4
2 2 2 2
?
分，因为0? A??，所以A? ……6分
3
⑵由余弦定理得 2 2 2 2
a ?b ?c ?2bccosA……8分，?8c ……9分，因为
2 2 2 2
a ?c ?9c ?b ……11分，?ABC是直角三角形……12分
18.⑴VB1?A1C1CD ?VABC?A1B1C1 ?VC?ABB1D……1分，
1 1 1 1 1
? ? AB?BC?CC1 ? ?SABB1D ?BC……3分，? ?2?4?4? ? (2?4)?4?2
2 3 2 3 2
……5分，?8……6分
1 1 1
（或：VB1?A1C1CD ? ?SA1C1CD ?h……1分，? ? ?(A1D?C1C)? A1C1?h
3 3 2
1 1 1 1
……2分，? ? ?(A1D?C1C)? A1B1?B1C1……3分，? ? ?(4?2)?2?4……
3 2 3 2
5分，?8……6分）
⑵ABC ? A1B1C1是直三棱柱，所以BB1 ? 底面ABC，BB1 ? BC，又
0
?ABC ?90 ，所以BC ? AB，因为BB1 ? AB ? B，所以BC ?面ABB1A1……7分，
B1D ? 面ABB1A1，所以B1D ? BC ……8分。
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在 0 0
?ABD中，?BAD ?90 ，AB ? AD ? 2，所以?ADB ? 45 ，同理，
0 0
?A1DB1 ? 45 ……11分，所以?B1DB ?90 ，B1D ? DB……9分。因为
BC?DB ? B，所以B1D ?平面BCD……10分。
19.⑴由a1 ?a3 ?5，a1a3 ? 4解得a1 ?1，a3 ? 4或a1 ? 4，a3 ?1……1分，
因为{an}递增，所以a1 ?1，a3 ? 4……2分。{an}是等比数列，设公比为q，则
2 2
a3 ? a1q ……3分，即4 ?1?q ，解得q ? ?2……4分，因为{an}递增，所以q ? 2
n?1 n?1
……5分，所以数列?an?的通项公式为an ? a1q ? 2 ……6分。
⑵bn ? log 2 an ?1? 2n?1……8分，
1?(2m?1) 2
b1 ?b2 ?b3 ???bm ? ?m ? m
2
……10分，b45 ?89……11分， 2
b1 ?b2 ?b3 ???bm ?b45即m ?89，m ? 89 ，
正整数m的最大值为mmax ?9……12分。
0.07?0.06?0.02
20.⑴依题意，成绩为优秀的学生为 ?50……2分，
0.01
? 750（人）……3分
0.06
⑵应抽取成绩在[ 90 , 95)区间的学生为 ?5……5分，
0.04?0.06
?3（人）……6分
⑶记⑵所抽取的成绩在[ 90 , 95)区间的学生为A1、A2、A3，成绩在[ 80 , 85)
区间的学生为B1、B2，从中随机抽取2人，不同的取法有A1A2、……、B1B2（不
重不漏地列举）……9分，共10种……10分。其中，两区间的学生恰好各有1人的
取法有（不重不漏地列举）……11分，共6种。因为每个取法的可能性相等，所
6 3
以所求概率P ? ? ……12分，
10 5
? c 6
?e ? ?
21.⑴依题意，b ? 2……1分，解? a 3 ……3分，得 2
a ?12……4分，
? 2 2 2
?c ? a ?b
2 2
x y
所以椭圆C的方程为 ? ?1……5分
12 4
⑵依题意B(0, ?2)是椭圆C的下顶点……6分，以AB为底边的等腰三角形
?ABP有两个，此时P 为椭圆C的左右端点……8分；AB是椭圆C的短轴，以A
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为圆心、AB为半径的圆与椭圆C相交（不含B点）于P1、P2 ，?ABP1、?ABP2
都是等腰三角形……10分；以B为圆心、AB为半径的圆与椭圆C相交（不含A
点）于P3、P4，?ABP3、?ABP4都是等腰三角形……11分；设椭圆C的左右端
点分别为M 、N ，则AM ? 4 ? AB，所以P1、P2 与P3、P4 分别与M 、N 重合，
所以一共存在两个点P ，使?ABP为等腰三角形……12分。
1
22.⑴ 2
a ?1时，f(x) ? lnx? x 在区间[ 1,e ]上单调增加……2分，所以 f(x)
2
2
e 1
在区间[ 1,e ]上的最大值M ? f(e) ?1? ……3分，最小值m ? f(1) ? ……4
2 2
分。
1
⑵记 2
F(x) ? f(x)?2ax ? lnx?(a? )x ?2ax，x?( 1, ??)
2
/ 1 / 2
F (x) ? ?(2a?1)x?2a……5分，由F (x) ? 0得(2a?1)x ?2ax?1? 0
x
1 / 1
若a ? ，则F (x) ? ?1? 0……6分，F(x) ? lnx? x单调递减，
2 x
F(x)? F(1) ? ?1? 0……7分，函数 f(x)的图象恒在直线y ? 2ax下方……8分
1 1 4a 1 2
若a ? ，则a? ? 0，当x ? (?1)时，F(x) ? lnx?(a? )x ?2ax ? 0
2 2 2a?1 2
，函数 f(x)的图象不恒在直线y ? 2ax下方
1 1
若 /
a ? ，F (x) ? (x?1)[(2a?1)? ]? 0……10分，F(x)单调递减，F(x)的
2 x
1 1 1
最大值为F(1) ? ?(a? )……10分，由F(1) ? ?(a? )? 0得a ? ? ……11分。
2 2 2
1 1
综上所述，实数a的取值范围为[? , ]……12分
2 2
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