河南省平顶山文科大联盟2020-2021学年高二下学期期末测试文科数学试题 Word版含答案

平顶山文科大联盟
2020-2021学年第二学期期末测试
高二文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3．已知．则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在一次对性别与是否说谎有关的调查中，得到如下数据，根据表中数据判断如下结论中正确的是(　　)
性别 说谎 不说谎 总计
男 6 7 13
女 8 9 17
总计 14 16 30
A．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关
B．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关
C．在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关
D．在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关
5．在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点都在单位圆上，则的实部为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆C：的左?右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．数列的前n项和为，，，则（ ）
A．393 B．403 C．406 D．414
9．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A. 346 B. 373 C. 446 D. 473
10．已知()对任意实数成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．
12. 设，，．则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数的最小值为______.
14．已知，则的最小值为_______.
15．观察下列各式：，则_____________.(用数字作答)
16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．据国家统计局公布的数据显示，从2015年到2019年全国居民人均可支配收入x(单位：万元)与全国居民人均消费支出y(单位：万元)均呈现上升的趋势，得到统计数表(表中数据已四舍五入处理)如下：
年份 2015 2016 2017 2018 2019
全国居民人均可支配收入x 2.2 2.4 2.6 2.8 3.1
全国居民人均消费支出y 1.6 1.7 1.8 2.0 2.2
（1）在给出的坐标系中画出散点图，求样本的相关系数r的值，并说明两个变量x，y间的线性相关强度；
（2）求出样本的线性回归方程，并解释回归系数的实际意义；
（3）利用（2）中的回归方程，预测当全国居民人均可支配收入为5万元时，全国居民人均消费支出是多少万元？(以上计算均精确到0.01)
参考数据：，，，，，.参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；样本的相关系数
18．如图，四棱柱的棱长均为2，点是棱的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若，，求直线与底面所成角的正切值.
19．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
20．有一种画椭圆的工具如图1所示.定点是滑槽的中点，短杆绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，.当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周(不动时，也不动)，处的笔尖画出的曲线记为.以为原点，所在的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.
（1）求曲线的方程；
（2）在平面直角坐标系中，过点的动直线与曲线交于?两点，是否存在异于点的定点，使得平分？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.
21．已知函数.
（1）当时，试判断函数在上的单调性；
（2）存在，，，求证：.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22．已知、是中心为点的椭圆的两条相交弦，交点为，两弦与椭圆长轴的夹角分别为、，且，求证：.
[选修4—5：不等式选讲]
23．已知函数．
（1）当时，若对恒成立，求实数的取值范围；
（2）关于的不等式在上有解，求实数a的取值范围。
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2020-2021学年第二学期期末测试
高二文科数学参考答案与评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-6 BCADBD 7-12 ACBCDA
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．1 14． 15．13959 16． (1). 5 (2).
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（1）根据题意，在坐标系中作出散点图如图所示（图略）
由于，
则由公式得.
即两个变量x，y之间呈线性正相关，两者高度相关.（4分）
（2）由于，
，
故回归方程为，（7分）
回归系数表明当全国居民人均可支配收入每增加1万元时，全国居民人均消费支出大约平均增加0.68万元.（9分）
（3）由（2）知，当时，得，
即可预测全国居民人均消费支出是3.48万元.（12分）
18.（1）连接交于点，连接.
由题意知四边形是菱形，故点是的中点. （2分）
又点是棱的中点，所以.
又平面，平面，所以平面. （4分）
（2）连接，，设，连接，，，
由，，可得，则. （5分）
由题意知四边形是菱形，故点是的中点，得.
在中，由余弦定理知.
连接，在中，由余弦定理得.
连接，故.（7分）
在中，易得，故，得.
又，所以.
易知，且，所以平面，
又平面，所以平面平面.
又，所以平面.
故是直线与底面所成的角. （10分）
又，所以，所以，
所以，即直线与底面所成角的正切值为.（12分）
19.（1）由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，
∴，得证.（4分）
（2）由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，（7分）
又，∴，
整理得，解得或，（9分）
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；（11分）
综上，.（12分）
20.（1）由题可知，曲线是中心在坐标原点，焦点在轴的椭圆，
设，所以，
所以曲线的方程为.（3分）
（2）假设存在异于点的定点，使得平分；
当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于两点为，，
由对称性可知，若定点存在，则点一定在轴上，设点.
当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于两点为，，平分也成立，（5分）
当直线斜率存在且不为0时，设直线方程为，，，
联立，得（6分）
，
所以，（8分）
因此，
又，，
所以，因为不恒为0，所以，即，；（11分）
故综上所述，存在点使得平分.（12分）
21.（1）当时，，，（1分）
当时，，
所以，当时，函数在上单调递增.（3分）
（2）证明：不妨设，由得，
，
.（4分）
设，则，故在上为增函数，
，从而，
，
，
要证只要证，（7分）
下面证明：，即证，
令，则，即证明，只要证明：，
设，，则在单调递减，
当时，，从而得证，即，
，即.（12分）
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22.建立如图所示的平面直角坐标系,设椭圆的长轴、短轴的长度分别为,
则椭圆的方程为,设,点,（2分）
则直线的参数方程为,（为参数）.（4分）
代入椭圆方程化简得到：
（6分）
因为,又已知直线与椭圆有两个交点,因此方程①有两个根,设这两个根为分别为,容易得到
.（8分）
同理对于直线,将换为,得到
.
即。（10分）
[选修4—5：不等式选讲]
23.（1）当时，，
有绝对值三角不等式知≤2，当且仅当时等号成立（2分）
因为对恒成立，所以对恒成立，
即，，解得或，（4分）
故的取值范围为.（5分）
（2）因为，所以，
即，，（6分）
因为在上有解，所以在上有解，
即，，（8分）
因为，，所以，的取值范围为.（10分）