江苏省苏州市高中2020-2021学年高一下学期6月月考数学试题 PDF版含答案

2020-2021苏州中学高一下 6月月考
数学
一 、单选题
1.已知复数 z在复平面上对应的点为 ?2, -1?,则 ( )
?
A.z=-1+2i B. |z| =5 C. z=-2-i D.z-2是纯虚数
??? ??? ???
2.已知 P是 ΔABC所在平面内一点 ，若 CB=λPA+PB，其中 λ∈R，则 P点一定在 ( )
A.ΔABC内部 B. AC边所在直线上
C. AB边所在直线上 D.BC边所在直线上
3.若 一 个 样 本 容 量 为 8的 样 本 的 平 均 数 为 5，方 差 为 2． 现 样 本 中 又 加 入 一 个 新 数 据 5，此 时 样 本 容 量
为 9，平均数为 ? 2
x，方差为 s ，则 ( )
? 2 ? 2 ? 2 ? 2
A.x=5， s <2 B. x=5， s >2 C. x>5， s <2 D.x>5， s >2
4.在 ΔABC 中 ，内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 是 a， b， c，若 2 2
a -b = 2bc， sinC =2 2sinB，则 A=
( )
π
A. ? ?? ?? ??
6
古 希 腊 数 学 家 阿 基 米 德 的 墓 碑 上 ，刻 着 一 个 “圆 柱 容 球 ”的 几 何 图 形 ，就 是 圆 柱 容 器 里 放 了 一 个 球 ，
这 个 球 顶 天 立 地 ，四 周 碰 边 (如 图 )． 若 记 这 个 球 的 表 面 积 和 体 积 分 别 为 S1和 V1，圆 柱 的 表 面 积 和 体
积分别为 S2和 V2，则 ( )
?S1 V1 S1 V1
A. 2 2 2 2
?S1 V1 S1 V1
C. >? D.?与 ?
2 2 2 2
???
2 ???
2 ??? ???
6.在 ΔABC中 ，设 |AC| AB| 2AM ?BC，则动点 M 的轨迹必通过 ΔABC的 ( )
A.垂心 B. 内心 C. 重心 D.外心
7. 在 △ABC 中 ，内 角 A,B ,C 的 对 边 分 别 是 a,b,c. 若 c = 3 ABC 的 面 积 等 于
?1c?asinA+bsinB-csinC ,则 a+b的取值范围是 ( )
2 ?
A.(2,3] B. ( 33] C. ?3,2 3? ?? ,2 3?
?在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ， E是 棱 CC1的 中 点 ， F是 侧 面 BCC1B1内 的 动 点 ，且 A1与 平 面
D1A的垂线垂直 ，如图所示 ，下列说法不正确的是 ( )
D1 C1
A1 B1
E
F
D C
A B
A.点 F的轨迹是一条线段 B. A1与 BE是异面直线
C. A1F与 D1E不可能平行 D.三棱锥 F-ABD1的体积为定值
二 、多选题
9.下列说法正确的是 ( )
A.向量不能比较大小 ，但向量的模能比较大小．
?? ? ?? ?
B.?a?与 ?b? ab
? ? ? ? ? ?
C.若 a//b， b//c，则 a//c
??? ???
D.若向量 AB CD ? A， B， C， D四点在一条直线上
π
10.在 ΔABC 中 ，角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c,已 知 A= ?， a= 6，若 a-b=ccosB-
3
ccosA，则 ΔABC的面积可能为 ( )
3
A.2 3 B. 3 C. 6 D. ?
2
如 图 1， “六 芒 星 ”是 由 两 个 全 等 正 三 角 形 组 成 ，中 心 重 合 于 点 O且 三 组 对 边 分 别 平 行 ，点 A， B是
??? ??? ???
“六 芒 星 ”(如 图 2)的 两 个 顶 点 ，动 点 P在 “六 芒 星 ”上 (内 部 以 及 边 界 )，若 OP=xOA+yOB，则 x+
y的取值可能是 ( )
A
O B
O
图 1 图 2六芒星
2
-2π B. e C. π D.e
12.已 知 三 棱 锥 P-ABC 的 每 个 顶 点 都 在 球 O的 球 面 上 ， AB=BC =2， PA=PC = 5， AB⊥
BC，过 B 作 平 面 ABC 的 垂 线 BQ，且 BQ = AB， PQ = 3， P 与 Q 都 在 平 面 ABC 的 同 侧 ，则
( )
A.三棱锥 2
P-ABC的体积为 ? B. PA⊥AB
3
C. PC//BQ D.球 O的表面积为 9π
三 、填空题
13.某 学 校 组 织 学 生 参 加 数 学 测 试 ，成 绩 的 频 率 分 布 直 方 图 如 图 ，数 据 的 分 组 依 次 为 ： [20， 40)， [40，
60)， [60， 80)， [80， 100],则 60分为成绩的第 百分位数 .
???频率
组距
O ?成绩 /分
如图 ，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD为正方形 ， PA⊥平面 ABCD．给出下列命题 ：
① PB⊥AC； ②平面 PAB与平面 PCD的交线与 AB平行 ； P
③平面 PBD⊥平面 PAC； ④ ΔPCD为锐角三角形．
其中正确命题的个数是
A D
B
??? ??? ??? ??? ??? C
15.在 1
△ABC 中 ,若 CD =2DB,P 为 线 段 AD 上 且 满 足 CP = ?CA+mCB,则 实 数 m的 值 为
2
16.在 2 2
ΔABC中 ，内 角 A， B， C所 对 的 边 分 别 为 a， b， c，若 a=7， ΔABC的 面 积 为 10 3，且 b +c -
2 2
a =accosC+c cosA，则 sinB+sinC
四 、解答题
? ?
17.已知平面向量 a= (2cosθ,1)， b= (1,3sinθ)．
? ?
(1)若 a//b，求 sin2θ的值 ；
? ?
(2)若 π
a⊥b，求 tan?θ+?
4 ?
18.如 图 ，在 三 棱 锥 ABCD中 ， AB⊥AD， BC⊥BD，平 面 ABD⊥平 面 BCD，点 E、 F(E与 A、 D不
重合 )分别在棱 AD， BD上 ，且 EF//平面 ABC．求证 ：
(1)EF⊥AD；
(2)AD⊥AC．
A
E
B D
F
C
19.如图 ，在 ΔABC中 ， AB=8， AC=6， AD⊥BC， M， N 分别为 AB， AC的中点．
??? ???
(1)若 DM ?DN =-6，求 BC的长度．
??? ??? ??? ???
DM ?DB DN ?DC
(2)若 ????????? +????????? =5，求 △ABC面积的大小．
|DB| |DC|
A
M N
B C
D
20.如 图 1，在 直 角 梯 形 ABCD中 ， 1
AB//CD， AB⊥AD，且 AB=AD=?CD=1,现 以 AD为 一 边 向
2
梯 形 外 作 正 方 形 ADEF，然 后 沿 边 AD将 正 方 形 ADEF翻 折 ，使 平 面 ED⊥DC,M 为 ED的 中 点 ，如
图 2．
(1)求证 ： AM//平面 BEC；
(2)求证 ：平面 BCD⊥平面 BDE；
(3)若 DE=1,求点 D到平面 BEC的距离．
E
E M D C F M
D C
F A B A B
1 2
21.某 公 园 计 划 改 造 一 块 四 边 形 区 域 ABCD铺 设 草 坪 ，其 中 AB=2百 米 ， BC=1百 米 ， AD=CD，
AD⊥CD，草 坪 内 需 要 规 划 4条 人 行 道 DM， DN， EM， EN 以 及 两 条 排 水 沟 AC， BD，其 中 M， N，
E分别为边 BC， AB， AC的中点．
(1)若 ∠ABC=90°，求排水沟 BD的长 ；
(2)当 ∠ABC变化时 ，求 4条人行道总长度的最大值．
B
N M
A C
E
D
22.如 图 ， A， B是 单 位 圆 上 的 相 异 两 定 点 (O为 圆 心 )，且 ∠AOB=θ(θ为 锐 角 )． 点 C为 单 位 圆 上 的
动点 ，线段 AC交线段 OB于点 M．
??? ??? C B
(1)求 OA?AB(结果用 θ表示 )；
(2)若 θ=60° M
??? ??? A
①是否存在点 3
C,使得 CA?CB=??若存在 ，求出 ∠BOC的大小 ;若不存 O
2
在 ，请说明理由 ;
??? ??? S
②设 ΔCOM
OM =tOB(0SΔABM
2020-2021苏州中学高一下 6月月考
数学
一 、单选题
1.已知复数 z在复平面上对应的点为 ?2, -1?,则 ( )
?
A.z=-1+2i B. |z| =5 C. z=-2-i D.z-2是纯虚数
【答案】 D
??? ??? ???
2.已知 P是 ΔABC所在平面内一点 ，若 CB=λPA+PB，其中 λ∈R，则 P点一定在 ( )
A.ΔABC内部 B. AC边所在直线上
C. AB边所在直线上 D.BC边所在直线上
【答案】 B
3.若 一 个 样 本 容 量 为 8的 样 本 的 平 均 数 为 5，方 差 为 2． 现 样 本 中 又 加 入 一 个 新 数 据 5，此 时 样 本 容 量
为 9，平均数为 ? 2
x，方差为 s ，则 ( )
? 2 ? 2 ? 2 ? 2
A.x=5， s <2 B. x=5， s >2 C. x>5， s <2 D.x>5， s >2
【答案】 A
2 2
4.在 ΔABC 中 ，内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 是 a， b， c，若 a -b = 2bc， sinC =2 2sinB，则 A=
( )
?π
A. ?? ?? ??
6
【答案】 A
5.古 希 腊 数 学 家 阿 基 米 德 的 墓 碑 上 ，刻 着 一 个 “圆 柱 容 球 ”的 几 何 图 形 ，就 是 圆 柱 容 器 里 放 了 一 个 球 ，
这 个 球 顶 天 立 地 ，四 周 碰 边 (如 图 )． 若 记 这 个 球 的 表 面 积 和 体 积 分 别 为 S1和 V1，圆 柱 的 表 面 积 和 体
积分别为 S2和 V2，则 ( )
?S1 V1 S1 V1
A. 2 2 2 2
?S1 V1 S1 V1
C. >? D.?与 ?
2 2 2 2
B
???
2 ???
2 ??? ???
6.在 ΔABC中 ，设 |AC| AB| 2AM ?BC，则动点 M 的轨迹必通过 ΔABC的 ( )
A.垂心 B. 内心 C. 重心 D.外心
【答案】 D
7. 在 △ABC 中 ，内 角 A,B ,C 的 对 边 分 别 是 a,b,c. 若 c = 3 ABC 的 面 积 等 于
?1c?asinA+bsinB-csinC ,则 a+b的取值范围是 ( )
2 ?
A.(2,3] B. ( 33] C. ?3,2 3? ?? ,2 3?
【答案】 D
8.在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ， E是 棱 CC1的 中 点 ， F是 侧 面 BCC1B1内 的 动 点 ，且 A1与 平 面
D1A的垂线垂直 ，如图所示 ，下列说法不正确的是 ( )
D1 C1
A1 B1
E
F
D C
A B
(点 F的轨迹是一条线段 B. A1与 BE是异面直线
C. A1F与 D1E不可能平行 D.三棱锥 F-ABD1的体积为定值
【答案】 C
二 、多选题
9.下列说法正确的是 ( )
A.向量不能比较大小 ，但向量的模能比较大小．
?? ? ?? ?
B.?a?与 ?b? ab
? ? ? ? ? ?
C.若 a//b， b//c，则 a//c
??? ???
D.若向量 AB CD ? A， B， C， D四点在一条直线上
【答案】 AB
π
10.在 ΔABC 中 ，角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c,已 知 A= ?， a= 6，若 a-b=ccosB-
3
ccosA，则 ΔABC的面积可能为 ( )
3
A.2 3 B. 3 C. 6 D. ?
2
【答案】 BD
11.如 图 1， “六 芒 星 ”是 由 两 个 全 等 正 三 角 形 组 成 ，中 心 重 合 于 点 O且 三 组 对 边 分 别 平 行 ，点 A， B是
??? ??? ???
“六 芒 星 ”(如 图 2)的 两 个 顶 点 ，动 点 P在 “六 芒 星 ”上 (内 部 以 及 边 界 )，若 OP=xOA+yOB，则 x+
y的取值可能是 ( )
A
O B
O
图 1 图 2六芒星
2
A.-2π B. e C. π D.e
【答案】 BC
12.已 知 三 棱 锥 P-ABC 的 每 个 顶 点 都 在 球 O的 球 面 上 ， AB=BC =2， PA=PC = 5， AB⊥
BC，过 B 作 平 面 ABC 的 垂 线 BQ，且 BQ = AB， PQ = 3， P 与 Q 都 在 平 面 ABC 的 同 侧 ，则
( )
A.三棱锥 2
P-ABC的体积为 ? B. PA⊥AB
3
C. PC//BQ D.球 O的表面积为 9π
【答案】 ABD
三 、填空题
13.某 学 校 组 织 学 生 参 加 数 学 测 试 ，成 绩 的 频 率 分 布 直 方 图 如 图 ，数 据 的 分 组 依 次 为 ： [20， 40)， [40，
60)， [60， 80)， [80， 100],则 60分为成绩的第 百分位数 .
???频率
组距
O ?成绩 /分
【答案】 30
14.如图 ，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD为正方形 ， PA⊥平面 ABCD．给出下列命题 ：
① PB⊥AC； ②平面 PAB与平面 PCD的交线与 AB平行 ； P
③平面 PBD⊥平面 PAC； ④ ΔPCD为锐角三角形．
其中正确命题的个数是
【答案】 2 A D
B C
??? ??? ??? ??? ???
15.在 1
△ABC 中 ,若 CD =2DB,P 为 线 段 AD 上 且 满 足 CP = ?CA+mCB,则 实 数 m的 值 为
2
【答案】 ?1
3
2 2
16.在 ΔABC中 ，内 角 A， B， C所 对 的 边 分 别 为 a， b， c，若 a=7， ΔABC的 面 积 为 10 3，且 b +c -
2 2
a =accosC+c cosA，则 sinB+sinC
【答案】 ????13 3
14

?
17.已知平面向量 ?
a= (2cosθ,1)， b= (1,3sinθ)．
? ?
(1)若 a//b，求 sin2θ的值 ；
? ? π
(2)若 a⊥b，求 tan?θ+?
4 ?
(1)由题意知 1
6sinθcosθ=1?sin2θ=?
3
2
(2)2cosθ+3sinθ=0?tanθ=-?
3
2
-?+1
π 1
tan(θ+?) =?????3 =?
4 2 5
1+?
3
18.如 图 ，在 三 棱 锥 ABCD中 ， AB⊥AD， BC⊥BD，平 面 ABD⊥平 面 BCD，点 E、 F(E与 A、 D不
重合 )分别在棱 AD， BD上 ，且 EF//平面 ABC．求证 ：
(1)EF⊥AD；
(2)AD⊥AC．
A
E
B D
F
C
(1)
EF//面 ABC ??? ??
EF?面 ABD ?EF//AB?
EF⊥AD
面 ABD∩面 ABC=AB??? ??
AB⊥AD ??
(2)
面 ABD⊥面 BCD A A A A
面 ABD∩面 BCD=BDA A A A
BC⊥面 ABDA A
BC?面 BCD A
A BC⊥ADA A
BC⊥BD A AA AD⊥面 ABCAAD?AC
AD?面 ABD A A
A A
AD⊥AB A A
A
BC∩AB=B A A
AC?面 ABC A
19.如图 ，在 ΔABC中 ， AB=8， AC=6， AD⊥BC， M， N 分别为 AB， AC的中点．
??? ???
(1)若 DM ?DN =-6，求 BC的长度．
??? ??? ??? ???
DM ?DB DN ?DC
(2)若 ????????? +????????? =5，求 △ABC面积的大小．
|DB| |DC|
A
M N
B C
D
1 1 ??? ???
(1)DM = ? 1 2
AB=4DN =?AC=3,DM ?DN =-6?cos∠MDN =-?,∠BAC= ∠MDN =?π
2 2 2 3
2 2
BC= AB +AC +AB?AC 2 37
(2)由题意知 M,N 在 BC上的投影长度为 5，所以 BC=10
1
S=?×8×6=24
2
1
20.如 图 1，在 直 角 梯 形 ABCD中 ， AB//CD， AB⊥AD，且 AB=AD=?CD=1,现 以 AD为 一 边 向
2
梯 形 外 作 正 方 形 ADEF，然 后 沿 边 AD将 正 方 形 ADEF翻 折 ，使 平 面 ED⊥DC,M 为 ED的 中 点 ，如
图 2．
(1)求证 ： AM//平面 BEC；
(2)求证 ：平面 BCD⊥平面 BDE；
(3)若 DE=1,求点 D到平面 BEC的距离．
E
E M D C F M
D C
F A B A B
1 2
【解析】
(1)证明 ：取 EC中点 N，连接 MN， BN．
在 ΔEDC中 ， M， N 分别为 EC， ED的中点 ，
E
所以 1
MN//CD，且 MN =?CD．
2 F M N
由已知 1
AB//CD， AB=?CD，
2 D C
所以 MN//AB，且 MN =AB．
A B
所以四边形 ABNM 为平行四边形．
所以 BN//AM．
又因为 BN ?平面 BEC，且 AM ?平面 BEC，
所以 AM//平面 BEC．
(2)证明 ：在正方形 ADEF中 ， ED⊥AD,又 ED⊥DC,AD∩DC=D,AD、 DC?平面 BCD，
∴ED⊥平面 BCD， ED?平面 BDE,
∴平面 BCD⊥平面 BDE
(3)先证 BC⊥平面 BDE,平面 BDE⊥平面 BEC．
过点 D作 EB的垂线交 EB于点 G，则 DG⊥平面 BEC
所以点 D到平面 BEC的距离等于线段 DG的长度
在 BD?DE 6 6
Rt△BDE中 ， DG=?????=?,所以点 D到平面 BEC的距离等于 ??
BE 3 3
21.某 公 园 计 划 改 造 一 块 四 边 形 区 域 ABCD铺 设 草 坪 ，其 中 AB=2百 米 ， BC=1百 米 ， AD=CD，
AD⊥CD，草 坪 内 需 要 规 划 4条 人 行 道 DM， DN， EM， EN 以 及 两 条 排 水 沟 AC， BD，其 中 M， N，
E分别为边 BC， AB， AC的中点．
(1)若 ∠ABC=90°，求排水沟 BD的长 ；
(2)当 ∠ABC变化时 ，求 4条人行道总长度的最大值．
B
N M
A C
E
D
5 7 π
(1)BD= 1+?- 10cos∠BCD ?- 10cos(∠BCA+?)=
2 2 4
?7 1 2 2 2
- 10???-??? 3 2
)=???
2 5 2 5 2 2
（ 2）在 △DEN 中 ，
1 2 π
DN = ?+DE -DEcos(C+?)
4 2
?1 2
= +DE +DEsinC
4
1 2
?+DE +sinB
4
?1 5
+?-cosB+sinB
4 4
?3 π
+ 2sin(B-?)
2 4
?3
≤ + 2
2
2
1+?
2
同理 9 π 1
DM = ?+ 2sin(B-?)≤?+ 2
4 4 2
所以总长度 2 1 1 3 2 3
≤1+?+?+ 21+?=3+???,当 B=?π时取到
2 2 2 2 4
22.如 图 ， A， B是 单 位 圆 上 的 相 异 两 定 点 (O为 圆 心 )，且 ∠AOB=θ(θ为 锐 角 )． 点 C为 单 位 圆 上 的
动点 ，线段 AC交线段 OB于点 M．
??? ??? C B
(1)求 OA?AB(结果用 θ表示 )；
(2)若 θ=60° M
??? ??? A
①是否存在点 3
C,使得 CA?CB=??若存在 ，求出 ∠BOC的大小 ;若不存 O
2
在 ，请说明理由 ;
??? ??? S
②设 ΔCOM
OM =tOB(0SΔABM
【解析】
以 O为原点 OA为 x正半轴建系 ， A(1,0),B(cosθ,sinθ)
??? ???
(1)OA?AB= (1,0) ? (cosθ-1,sinθ) =cosθ-1
(2)
1 3
B(?,?)
2 2
①设 C(cosx,sinx),x∈ [60,180°]
??? ??? 1 3 3
CA?CB= (1-cosx, -sinx) ? (?-cosx,?-sinx) =?- 3sin(x+60°)
2 2 2
当 x+60° =180°,即 x=120°
此时 ∠BOC=60°
??? ???
②因为 OM =tOB(0在 OM
△AOM 中由正弦定理 ???????? ????????1
= 得
x x
sin(90° -?) sin(30° +?)
2 2
?x
cos
OM =????????????2 1
=??????
? x 3 x 1 3
?+?sin? ?+?u
2 2 2 2 2
其中 x 3
u=tan?∈ (?, + ∞)
2 3
?1 3 2
sinx-???????
????SΔCOM SΔAOC-SΔAOM 2 4
=????????=??????????????1+ 3u
SΔABM SΔAOB-SΔAOM ?3 3 2
-???????
4 4 1+ 3u
????u 3 2
2 -???????
??????????????1+u 4
= 1+ 3u
?3 3 2
-???????
4 4 1+ 3u
?2 u+ 3
= ??????
2
3 u +1
令 4 3
m=u+ 3???
3
所以
2 1
f(m) =???????????
3 4
m-2 3+?
m
因为 4 3
m+?-2 3∈ (?, + ∞)
m 3
所以
f(m) ∈ (0,2)