江苏省徐州市沛县高中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析

沛县高中2020-2021学年高一下学期期末考试
数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名?考生号?考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数false，其中i是虚数单位，则z的虛部为（ ）
A．false B．3 C．false D．false
2．已知false为任意角，则“false”是“false”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图，已知false，用false，false表示false，则false等于（ ）
A．false B．false
C．false D．false
4．明朝早期，郑和在七下西洋的过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海，形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节?时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位，其采用的主要工具为牵星板.由12块正方形木板组成，最小的一块边长约为2厘米(称一指).观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂垂直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下边缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，与其相切，依高低不同替换?调整木板，木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为九指板，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知false，false，false，false均为锐角，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．如图，在直角三角形false中，false，false，D为false边上一点，已知false且false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知平行四边形false中，false，若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．如图，false中，false为false边上的中线，E为false延长线上一点，且false，若false，false，false（ ）
A．2 B．4 C．false D．false
二?多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．设false为复数，false．下列命题中正确的是（ ）
A．若false，则false B．若false，则false
C．若false，则false D．若false，则false
10．已知false，false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．下列说法错误的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
12．如图所示，设false是平面内相交成false角的两条数轴，false分别是与false轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系false为false仿射坐标系，若false，则把有序数对false叫做向量false的仿射坐标，记为false，在false的仿射坐标系中，false，false则下列结论中，正确的是（ ）．

A．false B．false
C．false D．false在false上的投影向量为false
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．O是平面上一定点，△ABC中AB=AC，一动点P满足：false，则直线AP通过△ABC的___________(请在横线上填入正确的编号）
①外心 ②内心 ③重心 ④垂心
14．设false是两个不共线的非零向量，若向量false与false的方向相反，则false________．
15．已知false，且false，则false___________.
16．在false中，false，false，false，false是false中点，false在边false上，false，false，则false________（2分），false的值为________（3分）.
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17．已知向量false，O为坐标原点．
（1）若false求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△ABC的面积．
18．如图，false是平面四边形false的一条对角线，已知false，且false.
（1）求证：false为等腰直角三角形；
（2）若false，false，求四边形false面积的最大值.
19．如图，在扇形false中，半径false，圆心角false，A是半径false上的动点，矩形false内接于扇形false，且false.
（1）若false，求线段false的长；
（2）求矩形false面积的最大值.
20．如图，角false的顶点与平面直角坐标系false的原点重合，始边与false轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点false，若点false的坐标为false.
（1）求false的值；
（2）若将false绕原点false按逆时针方向旋转false，得到角false，设false，求false的值.
21．目前，"新冠肺炎"在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行.因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量false（毫克）与药熏时间false（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量false（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量false（毫克）与时间false（小时）的函数关系式为false（false为常数）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量false（毫克）关于时间false（小时）的变化曲线如图所示.
（1）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量false（毫克）与时间false（小时）之间的函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室?
22．已知函数false，false.
（1）求函数false图象的对称轴的方程；
（2）当false时，求函数false的值域；
（3）设false，存在集合false，当且仅当实数false，且在false时，不等式false恒成立．若在（2）的条件下，恒有false（其中false），求实数false的取值范围.
沛县高中2020-2021学年高一下学期期末考试
数学试题 解析
1．A
【分析】
利用复数的乘法运算化简，可得false的虚部.
【详解】
解：false，则false的虚部为false.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题计算的关键是复数的运算法则.本题考查了复数的计算，属于简单题.
2．B
【分析】
根据必要不充分条件的定义，即可得到答案；
【详解】
falsefalse，
falsefalse推不出false，
反之，falsefalsefalse，
false“false”是“false”的必要不充分条件，
故选：B.
3．C
【分析】
根据向量加法和减法的三角形法则即可求解.
【详解】
解：false，
false，
故选：C.
4．D
【分析】
由false所在直角三角形中两直角边长已知，根据直角三角形中三角函数定义计算出false，再由正切的二倍角公式计算．
【详解】
由题意false所对直角边长为false，相邻直角边长为false，则斜边长为false，
false，false，false，
false
故选：D．
5．A
【分析】
首先利用同角基本关系式求false和false，再利用角的变换false的值.
【详解】
false是锐角，false，false，
false，false，且false，
false，false，
false
false
false
false.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题考查角的变换求三角函数值，本题的关键是角的变换，即变形false，即求false的值.
6．C
【分析】
先由题中条件，得到false，false，在false中，利用正弦定理，列出等量关系，进而可求出false.
【详解】
因为false，false，所以false，false，
在false中，false，false，则false，
由正弦定理可得：false，即false，
所以false.
故选：C.
7．D
【分析】
根据平面向量的线性运算法则，由题中条件，得到false，列出方程组求解，得出false，即可得出结果.
【详解】
因为四边形false为平行四边形，所以false，
又false，
所以false，
因此false，解得false，所以false.
故选：D.
8．D
【分析】
根据条件得false，false，结合false可得解.
【详解】
false,
false，
又因为false，所以false，
解得false，所以false.
故选：D.
9．BC
【分析】
取特殊值法可判断AD错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.
【详解】
由复数模的概念可知，false不能得到false，例如false，A错误；
由false可得false，因为false，所以false，即false，B正确；
因为false，false，而false，所以false，所以false，C正确；
取false，显然满足false，但false，D错误.
故选：BC
10．CD
【分析】
先计算得到false，false，再利用false
false展开得到答案.
【详解】
false，false，
false；
false，false；
false
false
当false，所以false，
当false，所以false，
故选：CD.
【点睛】
本题考查了三角函数值的计算，变换false是解题的关键.
11．ABC
【分析】
选项false不符合棱锥，棱台定义，所以错误；选项false，会得出棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是false，构成平面图形，所以错误；选项false，可推出侧棱与底面垂直，所以正确.
【详解】
选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，
由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，
故A错误；
选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，
而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，
因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；
选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是false时，
各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；
选项D，若每个侧面都是长方形则说明侧棱与底面垂直，
又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.
故选:ABC.
【点睛】
本题考查多面体的定义，以及结构特征，属于基础题.
12．ABD
【分析】
利用false运算可得false的仿射坐标，知A正确；
根据false，利用平面向量数量积的运算律可求得B正确；
由false，知C错误；
利用false可求得false在false上的投影数量，由投影向量定义计算可得D正确.
【详解】
对于A，false，false，false，即false，A正确；
对于B，false，B正确；
对于C，false，
false与false不垂直，C错误；
对于D，false，
false在false上的投影数量为false，
false在false上的投影向量为false，D正确.
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义运算的问题，解题关键是能够利用false表示所求内容，根据平面向量的加减、数乘以及数量积运算等知识来进行求解.
13．① ② ③ ④
【详解】
设BC中点为D，则AD为△ABC中BC边上的中线，
由向量的运算法则可得false ,
由题意有：false ，
即false ，∴A、P、D三点共线，
点P一定过△ABC的重心，
结合AB=AC可得：直线AP通过△ABC的外心、内心、垂线和重心.
答案为：① ② ③ ④
14．false
【分析】
根据题意可知，存在false，使得false，根据平面向量基本定理列式可求出结果.
【详解】
因为向量false与false的方向相反，
所以存在false，使得false，
又false是两个不共线的非零向量，
所以false，消去false得false，因为false，所以false，
所以false.
故答案为：false
15．false
【分析】
先由已知条件求出false，然后求出false的值，从而可求出false
【详解】
解：因为false，false，
所以false，
false，
所以false
false，
因为false，所以false，
所以false，
故答案为：false
16．false false
【分析】
由false，结合平面向量数量积的运算即可得false；由平面向量的线性运算可得false，再由平面向量数量积的运算即可得false.
【详解】
因为false，false，false，所以false，
由题意false，false，
所以false
false，
所以false；
由false可得false
false，
解得false.
故答案为：false；false.
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算及数量积运算的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
17．（1）2；（2）false.
【分析】
（1）根据向量false，得到向量 false，再由false，利用坐标运算求解.
（2）由（1）得到 false，然后由 false求解.
【详解】
（1）因为向量false，
所以向量false，
又因为false，
所以false，
解得 false.
（2）由（1）知：false，
所以false，
所以false.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．（1）见解析；（2）false.
【分析】
（1）首先利用题中的条件false，结合向量的运算法则，得到false，再根据条件false，转化得到false，从而得到false，进而证得结果；
（2）设false，利用余弦定理得到false，将四边形false的面积转化为两个三角形的面积之和，应用辅助角公式化简，从而得到其最大值.
【详解】
（1）证明：因为false，所以false，
即false，
所以false，即false，
又false，所以false，
整理得false，所以false，即false，
所以false是等腰直角三角形.
（2）设false，可得false，
则四边形false的面积
false，
因为false，所以当false时，false取得最大值值false.
【点睛】
该题考查的是有关向量与三角形的问题，涉及到的知识点有向量的运算，向量的数量积，向量的模的平方与向量的平方是相等的，向量垂直的条件，余弦定理解三角形，三角形的面积公式，难度一般.
19．（1）false；（2）矩形false面积的最大值为false.
【分析】
（1）由题意可得false，过false作false的垂线，垂足为false，在false中，即可求解.
（2）由（1）可得false，false，从而可得false，false，根据矩形面积公式以及辅助角公式即可求解.
【详解】
（1）falsefalse且false，
false为等边三角形，false,
又四边形false为矩形，false，false，
在扇形false中，半径false，
过false作false的垂线，垂足为false，
false，
在false中，false.
（2）矩形false面积false，
设false，由（1）可知false，false，
false，false，
false，
false
false，
false，false，
false当false，即false时，矩形false面积的最大值，
最大值为false.
20．（1）false；（2）false.
【分析】
（1）由三角函数定义求得false，再由同角间三角函数关系求得false，false，用二倍角公式得false后可得结论；
（2）由角的关系得false，利用两角和的正切公式可求得false．
【详解】
解：（1）由题意得：false，且角false为第二象限的角
则false，false
∴false
false
（2）由题意知false，则false
则false
false
false．
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的定义，两角和与差的正切公式，二倍角公式，同角韹三角函数关系．解题确定角的关系是关键．由旋转得false，则false，从而有false，再结合已知条件柯得结论．确定已知角和未知角的关系选用恰当的公式也是解题关键．
21．（1）false；（2）0.8小时.
【分析】
（1）false时，设false，由最高点求出false，再依据最高点求出参数false，从而得函数解析式；
（2）解不等式false可得结论．
【详解】
解：（1）依题意，当false时，
可设false，且false，解得false
又由false，解得false，
所以false
（2）令false，
即false，
得false，解得false，
即至少需要经过false后，学生才能回到教室.
22．（1）false；（2）false；（3）false.
【分析】
（1）利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的对称性得解；
（2）令false，换元，化函数为false的二次函数，求出false，由此可值域；
（3）由题意利用分离参数法、换元法、基本不等式先求出集合false，根据（2）中false的范围得出false的范围，再由false可得false的范围．
【详解】
解：（1）false
false
false
令false，得false
所以函数false图象的对称轴方程为：false
（2）由（1）知，false，
当false时，false，
∴false，false，即false
令false，
则false，false，false
由false
得false，false
∴当false时，false有最小值false，
当false时，false有最大值1，
所以当false时，函数false的值域为false
（3）当false，不等式false恒成立，
因为false时，false，false，所以false，
令false，则false，
所以false
又false，
当且仅当false即false时取等号
而false，所以false，即false，所以false
又由（2）知，false，
当false时，false，
所以，要使false恒成立，只须使false，
故false的取值范围是false．
【点睛】
关键点点睛：本题考查两角和的正弦公式，三角函数的对称性，换元法求三角函数的值域，考查不等式恒成立问题，在同时出现false和false的函数中常常设false换元转化为二次函数，再结合二次函数性质求解．不等式恒成立问题仍然采用分离参数转化为求函数的最值．