江苏省徐州市泉山区2020-2021学年高一下学期期末测试数学试题（一） Word版含解析

泉山区2020-2021学年高一下学期期末测试
数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．空间两点false，false之间的距离等于（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．在false中，已知false，false，false，则角false等于（ ）
A．30° B．120° C．60° D．150°
3．设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是(　　)
A．若false,false,则false
B．若false,则false
C．若false,则false
D．若false,则false
4．已知圆false上有两个不同的点到直线false的距离等于false则false的取值范围是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
5．对于非零向量false，下列命题正确的是（　　）
A．若false，则false
B．若false，则false
C．若false，则false
D．若false，则false的夹角为锐角
6．某中学有300名教师，其中初级教师60名，中级教师150名，高级教师90名.考虑采用分层抽样或系统抽样方法，从全校教师中抽取10人参加一个网络教学座谈会.采用分层抽样时，将初级教师随机编号为1~60，中级教师随机编号为61~210，高级教师随机编号为211~300；采用系统抽样时，将全校教师统一随机编号为1，2，…，300，并将整个编号从小到大依次均分为10组.
给出下列两组样本号码：①7，34，61，88，115，142，169，223，250，288；②26，32，90，100，138，172，188，211，254，297.
则下列结论中错误的是（ ）
A．样本①可能为分层抽样
B．样本②可能为分层抽样
C．样本①可能为系统抽样
D．样本②可能为系统抽样
7．已知false，且false，则false的值为（ ）
A．7 B．-7 C．false D．false
8．已知定义在false上的函数false满足false，且当false时，false.若对任意false，都有false成立，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列判断正确的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两条直线平行或异面；
B．与两条异面直线都相交的两条直线异面；
C．平行于两个相交平面的直线，平行于这两个平面的交线．
D．二面角的棱垂直于二面角平面角所在的平面
10．在三棱锥false中，下列说法正确的有（ ）
A．若false，则false在底面的射影为false外心
B．若false，则false在底面的射影为false的垂心
C．若false与底面所成的角相等，则false在底面的射影为false的重心
D．三个侧面false与底面所成二面角相等，则false在底面的射影为false的内心
11．已知等边false边长为false．点false在false边上，且false，false．下列结论中正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．下列命题正确的是（ ）
A．若false，false，则false
B．若false，false，false，则false
C．若false，则false
D．若false，false，false，则false的最小值为3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数false，false，给出下列四个结论：
①函数false的值域是false；②函数false为奇函数；③函数false的图象关于直线false对称；④若对任意false，都有false成立，则false的最小值为false.
其中正确结论的序号是___________.
14．已知某篮球运动员在最近5场比赛中的得分的折线图如图所示，则该运动员得分的标准差为__________.
15．如图，false是正方体false的棱false上的一点，且false平面false，则异面直线false与false所成角的余弦值为______．
16．在直角三角形false中，false，false，false为斜边false上一动点，沿false将false折成一个直二面角false，则false，false两点间的距离的最小值为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数false的部分图象如图所示.
（Ⅰ）求函数false的解析式；
（Ⅱ）将函数false的图象向左平移false个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的false倍，纵坐标不变，得到函数false的图象，求函数false的单调递减区间.
18．某工厂投资128万元，在今年初购进了一台新生产设备，并立即投入使用.预计该设备使用后，每年可创收54万元，第一年的维修、保养费共8万元，从第二年起，每年的维修、保养费均比上一年增加4万元.
（1）求该设备使用到第几年底开始为工厂盈利？
（2）该设备使用若干年后，有两种处理方案：①当年累计盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉；②当年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉.问哪种处理方案较为合理，并说明理由.
19．在false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，已知false.
（1）求false的大小；
（2）如图，在false边的右侧取点false，使得false，若false，求当false为何值时，四边形false的面积最大，并求其最大值.
20．长沙梅溪湖步步高购物中心在开业之后，为了解消费者购物金额的分布，在当月的电脑消费小票中随机抽取false张进行统计，将结果分成6组，分别是：false，false，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在false元的区间内）.
（1）若在消费金额为false元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票均来自false 元区间的概率；
（2）为做好五一劳动节期间的商场促销活动，策划人员设计了两种不同的促销方案.
方案一：全场商品打八折.
方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免.利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由（直方图中每个小组取中间值作为该组数据的替代值）.
21．已知函数false，false．
（1）当false时，求不等式false的解集；
（2）若存在false使关于false的方程false有四个不同的实根，求实数false的取值范围．
22．在三角形false中，false是线段false上一点，且false为线段false上一点．
（1）已知false，设false，求false；
（2）若E为线段false的中点，直线false与false相交于点F，求false．
泉山区2020-2021学年高一下学期期末测试
数学试题 解析版
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．空间两点false，false之间的距离等于（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
【分析】
利用空间中两点间距离公式即可求解.
【详解】
因为false，false，
所以false，
故选：B
2．在false中，已知false，false，false，则角false等于（ ）
A．30° B．120° C．60° D．150°
【答案】B
【分析】
利用余弦定理列出关系式，将false及false代入求出false的值,再利用余弦定理表示出false，将三边长代入求出false的值,即可确定出false的度数．
【详解】
false,
∴由余弦定理得: false,即false,
false,
∵false为三角形内角，
false.
故选:false.
【点睛】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，难度较易.
3．设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是(　　)
A．若false,false,则false
B．若false,则false
C．若false,则false
D．若false,则false
【答案】D
【详解】
对于A，false,false时，若false ，则false，但题目中无条件false ，故A也不一定成立；
对于B，false,false.显然false不成立；
对于C，由面面平行的判定，一个面经过另一个面的垂线，仅有false 不能得到false 或false，故不正确．
对于D，false ，则false，又false，则false，结论成立；
故选D
4．已知圆false上有两个不同的点到直线false的距离等于false则false的取值范围是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】C
【分析】
由圆false可得圆心和半径，画图，可得false，进而可得结果.
【详解】
由圆false
false过定点false
false，false上有两个不同点到false距离为false
即false，false
false的取值范围为false
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解决平面解析几何问题，画图分析，数形结合很关键.本题考查了运算求解能力和数形结合思想，属于一般题目.
5．对于非零向量false，下列命题正确的是（　　）
A．若false，则false
B．若false，则false
C．若false，则false
D．若false，则false的夹角为锐角
【答案】C
【分析】
选项A：两边不能同时除以false，应该移项，逆用向量数量积的运算律，得出结论；
选项B:根据公式false可以进行判断；
选项C:因为false是非零向量，所以false，可以依据这个进行判断；
选项D：两个数量积为负，可以得到两个向量的夹角为钝角或者是夹角，依此进行判断.
【详解】
解：A：若false，则false false，故A错误；
B：若false，则false，故B错误；
C：非零向量false，false，故C正确；
D：若false，则false的夹角为锐角或0，故D错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．
6．某中学有300名教师，其中初级教师60名，中级教师150名，高级教师90名.考虑采用分层抽样或系统抽样方法，从全校教师中抽取10人参加一个网络教学座谈会.采用分层抽样时，将初级教师随机编号为1~60，中级教师随机编号为61~210，高级教师随机编号为211~300；采用系统抽样时，将全校教师统一随机编号为1，2，…，300，并将整个编号从小到大依次均分为10组.
给出下列两组样本号码：①7，34，61，88，115，142，169，223，250，288；②26，32，90，100，138，172，188，211，254，297.
则下列结论中错误的是（ ）
A．样本①可能为分层抽样
B．样本②可能为分层抽样
C．样本①可能为系统抽样
D．样本②可能为系统抽样
【答案】C
【分析】
利用分层抽样比求出初，中，高级教师抽取的人数，根据根据分层抽样、系统抽样的特征即可求解.
【详解】
若采用分层抽样，则抽样比例为false，
从而初，中，高级教师抽取的人数分别为2，5，3，
所以在编号1~60内抽取2个号码，在编号61~210内抽取5个号码，
在编号211~300内抽取3个号码，样本①，②都符合.
若采用系统抽样，则每30个编号抽取1个号码，
即在编号1~30，31~60，61~90，…，271~300内各抽取1个号码.
因为61，88都在编号61~90范围内，则样本①不符合，
但样本②符合，
故选：C.
7．已知false，且false，则false的值为（ ）
A．7 B．-7 C．false D．false
【答案】B
【分析】
根据正弦的二倍角公式可得false，再由同角三角函数的基本关系可得false，利用两角差的正切公式即可求解.
【详解】
因为false，则false.
又false，则false，
所以false，从而false，
所以false，
故选：B.
8．已知定义在false上的函数false满足false，且当false时，false.若对任意false，都有false成立，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
【分析】
利用基本不等式，结合false，分别求得false，false，false时函数的最小值分别为false， false，-1，得到m的最大值在区间false上，然后令 false，由false求解.
【详解】
当false时，false，
当且仅当false，即false时取等号.
当false时，false，则
falsefalse，
当且仅当false，即false时取等号，此时false成立.
当false时，false，则
falsefalse，
当且仅当false，即false时取等号.
令false，则false，false在false上单调递减，在false上单调递增.
令false，则false，解得false或false，即false或false，即false或false.
所以当false时，都有false成立，故false的取值范围是false，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题关键是求得false，false，false时函数的最小值，明确false时，m的最大值所在区间为false而得解.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列判断正确的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两条直线平行或异面；
B．与两条异面直线都相交的两条直线异面；
C．平行于两个相交平面的直线，平行于这两个平面的交线．
D．二面角的棱垂直于二面角平面角所在的平面
【答案】CD
【分析】
利用空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面之间的位置关系即可得出结果.
【详解】
A，垂直于同一条直线的两条直线平行或异面或相交，故A错误；
B，与两条异面直线都相交的两条直线异面或相交，故B错误；
C，由线面平行的性质可得，平行于两个相交平面的直线，
平行于这两个平面的交线，故C正确；
D，由二面角的平面角的定义可得，二面角的棱垂直于二面角平面角所在的平面，故D正确.
故选：CD
10．在三棱锥false中，下列说法正确的有（ ）
A．若false，则false在底面的射影为false外心
B．若false，则false在底面的射影为false的垂心
C．若false与底面所成的角相等，则false在底面的射影为false的重心
D．三个侧面false与底面所成二面角相等，则false在底面的射影为false的内心
【答案】ABD
【分析】
利用直角三角形全等，结合点的射影，外心定义可判定A正确，C错误；结合线面垂直的判定与性质及垂心定义可判定B;根据二面角的定义，线面垂直的判定与性质，内心的定义可以判定D正确.
【详解】
设S在底面所在平面内的射影为O,连接OA,OB,OC.
若SA=SB=SC,则RtSOA,SOB,SOC全等，所以OA=OB=OC,∴O为ABC的外心,故A正确；
若SA,SB,SC与底面所成的角相等，即∠SAO=∠SBO=∠SCO，则RtSOA,SOB,SOC全等，所以OA=OB=OC,∴O为ABC的外心，故C错误；
若SA⊥SB，SA⊥SC,SB⊥SC，则易知SA⊥平面SBC,故SA⊥BC，又∵SO⊥平面ABC,∴SO⊥BC,又∵SA∩SO=S,∴BC⊥平面SOA,∴BC⊥OA,同理AC⊥OB,BC⊥OA,∴O为ABC的垂心，故B正确；
三个侧面false与底面所成二面角相等，在底面内过O作BC，CA，AB的垂线，垂足分别为D,E,F,连接SD,SE,SF,
利用线面垂直的判定与性质易得SD⊥BC,SE⊥AC,SF⊥AB,故∠SDO,∠SEO，∠SFO为侧面与底面所成的二面角的平面角，故∠SDO=∠SEO=∠SFO，故SDO,SEO,SFO全等，故OE=OE=OF,又显然O在ABC外部时不合二面角相等的意义，故O为ABC的内心，故D正确.
故选:ABD.
【点睛】
本题考查三棱锥顶点在底面内的射影位置的判定，涉及线面角，二面角，线面垂直的判定与性质，三角形全等的判定与性质，属小综合题，难度一般.关键是熟练运用线面垂直的判定与性质，准确掌握线面角，二面角的概念.
11．已知等边false边长为false．点false在false边上，且false，false．下列结论中正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】ABD
【分析】
作出图形，利用余弦定理计算出false，进而可求得false，并利用余弦定理求出false，false，可计算出false和false，进而可判断各选项的正误.
【详解】
如下图所示：
在false中，false，整理得false，
false，false，解得false，false，则false，
false，
由余弦定理得false，同理可得false，
所以，false，false，
因此，false，false.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查解三角形，根据余弦定理解三角形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
12．下列命题正确的是（ ）
A．若false，false，则false
B．若false，false，false，则false
C．若false，则false
D．若false，false，false，则false的最小值为3
【答案】ACD
【分析】
对选项A，利用不等式性质即可判断A正确；对选项B，利用特值法即可判断B错误；对选项C，利用基本不等式性质求解即可；对选项D，首先根据题意得到false，从而得到false，再展开利用基本不等式求解即可.
【详解】
对选项A，因为false，所以false，又因为false，所以false，故A正确；
对选项B，因为false，false，false，设false，false，false，
则false，false，false，故B错误；
对选项C，因为false，所以false
false，故C正确；
对选项D，因为false，所以false，
所以false，
当且仅当false，即false，false时，取等号.故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数false，false，给出下列四个结论：
①函数false的值域是false；②函数false为奇函数；③函数false的图象关于直线false对称；④若对任意false，都有false成立，则false的最小值为false.
其中正确结论的序号是___________.
【答案】①③④
【分析】
利用辅助角公式化简，结合正弦函数和余弦函数的性质，分别判断即可．
【详解】
false.①false的值域是false，结论正确；
②falsefalse为偶函数，结论错误；
③当false时，false，false取最大值，结论正确；
④因为false，false分别为false的最小值点和最大值点，则false，结论正确.
所以正确结论的序号是①③④.
故答案为：①③④
14．已知某篮球运动员在最近5场比赛中的得分的折线图如图所示，则该运动员得分的标准差为__________.
【答案】2
【分析】
由折线图写出每场比赛的分值并求false，由false求方差，进而可得标准差.
【详解】
由图知，该运动员5场比赛的得分分别为10，13，12，14，16，则平均数为false，
∴方差为false，所以标准差为2.
故答案为：2.
15．如图，false是正方体false的棱false上的一点，且false平面false，则异面直线false与false所成角的余弦值为______．
【答案】false
【详解】
不妨设正方体false的棱长为false，如图，当false为false中点时，false平面false，则false为直线false与false所成的角，在false中，
false，故答案为false.
【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
16．在直角三角形false中，false，false，false为斜边false上一动点，沿false将false折成一个直二面角false，则false，false两点间的距离的最小值为___________.
【答案】false
【分析】
过点false作false于false，连结false，false，可证false，设false，利用余弦定理可求false，从而可求false，false两点间的距离的最小值.
【详解】
过点false作false于false，连结false，
由直二面角false可得平面false平面false，
而平面false平面false，false平面false，故false平面false，
而false平面false，故false.
设false，
则有false，false，false，
在false中，由余弦定理得
false，
在false中，由勾股定理得
false，
所以当false时，false取得最小值为false.
故答案为：false.
【点睛】
方法点睛：空间中最值的计算问题，往往转化为平面中几何对象的计算问题，注意利用余弦定理、正弦定理等来处理平面图形.
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数false的部分图象如图所示.
（Ⅰ）求函数false的解析式；
（Ⅱ）将函数false的图象向左平移false个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的false倍，纵坐标不变，得到函数false的图象，求函数false的单调递减区间.
【答案】（Ⅰ）false（Ⅱ）false.
【分析】
（Ⅰ）直接利用函数的图象求出函数的关系式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用函数的图象的平移变化和伸缩变化的应用求出false，再利用正弦函数的单调性得单调区间即可
【详解】
（Ⅰ）由已知false图象得false
false，则false.
因为false，false
所以false.
因为false，false，
所以false.
所以false．
（Ⅱ）由题可得：false向左平移false得y=2cosx,横坐标再缩短到原来的false倍得false
故false
false
false．
因为false，false
所以false.
所以false的单调递减区间为false.
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变化，函数的图象的平移变化和伸缩变化的应用，函数单调性，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
18．某工厂投资128万元，在今年初购进了一台新生产设备，并立即投入使用.预计该设备使用后，每年可创收54万元，第一年的维修、保养费共8万元，从第二年起，每年的维修、保养费均比上一年增加4万元.
（1）求该设备使用到第几年底开始为工厂盈利？
（2）该设备使用若干年后，有两种处理方案：①当年累计盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉；②当年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉.问哪种处理方案较为合理，并说明理由.
【答案】（1）第4年；（2）选择方案②处理该设备较为合理，理由见解析.
【分析】
（1）设该设备第false年的维修，保养费为false万元，可得数列false是等差数列，利用等差数列的前false项和公式，结合一元二次不等式可得出该设备使用到开始为工厂盈利的年数；
（2）利用二次函数的性质可得方案①的总利润的最大值；利用基本不等式可得方案②总利润的最大值，进行比较可得答案．
【详解】
（1）设该设备第false年的维修，保养费为false万元，
据题意，数列false是首项为8，公差为4的等差数列，
所以前false年的维修、保养费之和false（万元）.
设该设备使用false年后的累计盈利额为false万元，则false.
由false，得false，即false，解得false.
因为false，则false，所以该设备使用到第4年底开始为工厂盈利.
（2）①因为false，
则当false时，年累计盈利额达到最大值160万元.
所以按方案①处理，该设备的使用年限是12年，总利润为false（万元）.
②因为falsefalse，则当false，
即false时，年平均盈利额达到最大值16万元.
所以按方案②处理，该设备的使用年限是8年，总利润为false（万元）.
综上分析，两个方案的总利润相等，但方案①比方案②要多用4年时间才能获得170万元的总利润，
所以选择方案②处理该设备较为合理.
19．在false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，已知false.
（1）求false的大小；
（2）如图，在false边的右侧取点false，使得false，若false，求当false为何值时，四边形false的面积最大，并求其最大值.
【答案】（1）false；（2）当false时，四边形false的面积取得最大值false.
【分析】
（1）利用正弦定理把边转化为角，求出角B；
（2）设false，分别求出false的面积，利用三角函数求最值.
【详解】
（1）在false中，由正弦定理得false，
化简得false.
因为false，所以false.
又false，故false.
（2）由（1）知，false且false，所以false为等边三角形.
设false，则在false中，由余弦定理得false，
所以false，false，
四边形false的面积false.
因为false，所以false.当false，即false时，false.
所以当false时，四边形false的面积取得最大值false.
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
20．长沙梅溪湖步步高购物中心在开业之后，为了解消费者购物金额的分布，在当月的电脑消费小票中随机抽取false张进行统计，将结果分成6组，分别是：false，false，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在false元的区间内）.
（1）若在消费金额为false元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票均来自false 元区间的概率；
（2）为做好五一劳动节期间的商场促销活动，策划人员设计了两种不同的促销方案.
方案一：全场商品打八折.
方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免.利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由（直方图中每个小组取中间值作为该组数据的替代值）.
【答案】（1）false（2）方案一的优惠力度更大.
【详解】
试题分析：(1)根据频率分布直方图，可知在false内抽6张，因此在false内抽4张，记为false，在false内抽2张，记为false，然后列举出从中任选2张所有的选法，在从中找到两张小票均来自false的的所有情况，即可求出概率.
（2）首先计算出各组频率，然后算出方案一购物的平均费用和方案二购物的平均费用，通过比较得到方案一的优惠力度更大.
试题解析：
（1）由直方图可知，按分层抽样在false内抽6张，
则false内抽4张，记为false，在false内抽2张，记为false，
设两张小票均来自false为事件false，
从中任选2张，有以下选法：false共15种.
其中，两张小票均来自false的有false，共6种，
∴false.
（2）解法一：由直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05.
方案一购物的平均费用为：
false（元）
方案二购物的平均费用为：
false（元）.
∴方案一的优惠力度更大.
（2）解法二：由直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，
方案一平均优惠金额为：
false（元）.
方案二平均优惠金额为：false（元）
∴方案一的优惠力度更大.
21．已知函数false，false．
（1）当false时，求不等式false的解集；
（2）若存在false使关于false的方程false有四个不同的实根，求实数false的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）false．
【分析】
（1）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集；
（2）先令false，由false，则可得false，再将false有四个不同的实根，转化为false有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出false的取值范围．
【详解】
（1）由题意，false，即false，
解方程false得false，false.
①当false时，即当false时，解不等式false，得false或false，
此时false的解集为false；
②当false时，即false时，解不等式false，得false，
此时false的解集为false；
③当false时，即当false时，解不等式false，得false或false，
此时false的解集为false；
综上，当false时，false的解集为false；
当false时，false的解集为false；
当false时，false的解集为false；
（2）当false时，令false，当且仅当false时，等号成立；
则关于false的方程false可化为false，
关于false的方程false有四个不等实根，
即false有两个不同正根，
则false，
由②③式可得false，
由①知：存在false使不等式false成立，
故false，
即false，解得false或false.
故实数false的取值范围是false．
【点睛】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
22．在三角形false中，false是线段false上一点，且false为线段false上一点．
（1）已知false，设false，求false；
（2）若E为线段false的中点，直线false与false相交于点F，求false．
【答案】（1）false；（2）false．
【分析】
（1）运用向量的线性运算得false，对比可求得false，可得答案；
（2）令false，由B、D、F三点共线，求得false，得出向量false的线性表示，再由向量数量积的运算可得答案.
【详解】
解：（1）false
false
false，
false
所以false；
（2）falsefalse，
令false，则false，
由B、D、F三点共线：false，
false，
falsefalse
false.
【点睛】
关键点点睛：解决向量的线性运算和数量积运算时，关键在于转化法的运用，将待求的向量转化为已知向量得以求解.