1.5.1全称量词与存在量词课件-2020-2021学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（17张PPT）

1.5全称量词与存在量词
第一章集合与常用逻辑用语
1.5.1全称量词与存在量词
学习目标：
1.通过已知的数学实例，理解全称量词和存在量词的意义.
2.能够借助常用逻辑用语进行数学表达，论证和交流，体会逻辑用语在数学中的作用.
3.能判断全称命题和存在命题的真假.
教学重点：
理解全称量词和存在量词的意义.
教学难点：
全称命题和存在命题真假的判定.
思考
例：所有的素数都是奇数、有的无理数的平方还是无理数、有的人能活到一百多岁.
大家思考:这些语句都是命题吗?如果是命题，又怎么判断他们的真假呢?
你还能举出类似的例子吗?
探究一: 全称量词与全称量词命题
判断下列语句是否为命题?
（1）x﹥5；
（2）2x+1是整数；
（3）对所有的x R，x﹥5
（4）对任意的x Z，2x+1是整数.
解：命题是可以判断真假的陈述句，语句（1）（2）含有变量x，而变量x不知道代表什么数，因此无法判断真假，故（1）（2）不是命题.
语句（3）在（1）的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行了限定；语句（4）在（2）的基础上，用短语“对所有的"对变量x进行了限定；使得（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此语句（3）（4）是命题.
我们可以得出全称量词和全称量词命题的概念.
1.全称量词：短语“对所有的” “对任意一个”在逻辑用语中通常叫做全称量词.
用符号“ ”表示，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“全部的”等.
2.全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
例如：对任意的n Z，2n+1是奇数；所有的正方形都是矩形均为全称命题.
数学表达形式： x M，p（x）. “对M中任意一个x，有p（x）成立”.
探究二：判断全称量词命题的真假
问题一：请将下列符号语言转化为文字语言并判断真假.
（1） x R，x2+2x+2 0;
（2） x R，x3 x2.
解：（1）对所有的实数x，都有x2+2x+2 0;
x2+2x+2 0 （x+1）2+1 0为真命题.
（2）对所有实数x，都有x3 x2;
x3 x2 x2（x-1） 0，当x﹤1时，不成立，故为假命题.
问题二：从上述命题中，你能找到判断全称量词命题真假的一般方法吗?
判断一个全称量词命题为真时，必须对在给定集合的每一个元素x，都使命题p（x）为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p（x）为假即可.
探究三：存在量词与存在量词命题
思考：
下列语句是命题吗? （1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系?
（1）2x+1=3;
（2）x能被2或3整除;
（3）存在一个x0 R，使得2x0+1=3;
（4）至少有一个x0 Z，x0能被2或3整除.
解：语句（1）（2）不是命题，
语句（3）在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量x进行了限定;
语句（4）在（2）的基础上，用短语“至少一个”对变量x进行了限定;
使得（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此语句（3）（4）是命题.
我们可以得出存在量词和存在量词命题的概念.
1. 存在量词：短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑用语中通常叫做存在量词.
用符号“ ”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“有的”等.
2. 存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
例如：有的平行四边形是菱形;有一个素数不是奇数.
数学表达形式: x0 M，p（x0）. “对M中任意一个x0，有p（x0）成立”.
探究四：判断存在量词命题的真假
问题一：判断下列存在量词命题的真假.
（1）有一个实数x，使 ;
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
（3）有些平行四边形是菱形.
解：（1）由于 ，因此一元二次方程无实根.所以，存在量词命题“有一个实数x，使 ”是假命题.
（2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.
（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.
问题二：从上述命题中，你能找到判断存在量词命题真假的一般方法吗?
判断一个存在量词命题为真时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p（x）为真;
要判断一个存在量词命题为假时，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p（x）为假.
练一练
1.判断下列全称量词命题的真假.
（1）每个四边形的内角和都是360°；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3）存在一个四边形，它的对角线互相垂直.
解：（1）真命题；
（2）假命题，因为负数没有算术平方根；
（3）真命题，菱形的对角线互相垂直.
练一练
2.判断下列存在量词命题的真假.
（1）任意奇数的平方还是奇数；
（2）至少有一个整数n，使得 为奇数；
（3） 是无理数.
解：（1）真命题；
（2）假命题，因为n（n+1）必为偶数；
（3）真命题，因为 是无理数， 是无理数.
课堂小结
——你学到了那些新知识呢？
1.全称量词与全称量词命题；
2.全称量词命题的真假判断；
3.存在量词与存在量词命题；
4.存在量词命题的真假判断.