2.1 认识一元二次方程(1) 教案 -北师大版数学九年级上册

第二章　一元二次方程
本章教材分析
　　本章的主要内容包括:一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法),运用一元二次方程分析和解决实际问题.其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容.
方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习做好准备.
数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固.
【教学目标】
1.了解一元二次方程及有关概念.
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程.
3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法.
4.通过丰富的实例,让学生合作探讨,老师点评分析,建立数学模型;根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念.
5.通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法——直接开方法,导入用配方法解一元二次方程,又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程.
6.通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0(a≠0)导出解一元二次方程的求根公式,接着讨论求根公式的条件:b2-4ac>0,b2-4ac=0,b2-4ac<0.
7.通过实例探索一元二次方程的根与系数的关系.
8.提出问题、分析问题,建立一元二次方程的数学模型,并用该模型解决实际问题.
9.经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型.
10.经历用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想.
11.经历设置丰富的问题情境,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣.
【重点难点】
重点
1.一元二次方程及其他有关的概念.
2.用配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程.
3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.
　　难点
1.一元二次方程配方法解题.
2.用公式法解一元二次方程时的讨论.
3.一元二次方程根的判别式.
4.一元二次方程根与系数的关系.
5.建立一元二次方程实际问题的数学模型;方程解与实际问题解的区别.
【教学分析】
学情分析
初中阶段是智力发展的关键年龄,学生的逻辑思维从经验型逐步向理论型发展,观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展,从年龄特点来看,初中学生好动、好奇、好表现,注意力易分散,爱发表见解,希望得到老师的表扬,所以在教学中应抓住学生这些特点,一方面要运用直观生动的生活实例,激发学生的兴趣,使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面要创造条件和机会,让学生发表见解,发挥学生学习的主动性,促进学生个性发展.从认知基础上看,学生已经学习了一元一次方程、平方根、因式分解等知识,为本章的学习奠定了基础.
学生在利用方程解决实际问题的过程中,有时会发现仅用这些知识是不能够解决的,因此迫切的需要一元二次方程这个解决问题的工具.
教学建议
1.方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习做好准备.
联系已有的相关知识,如一次方程、方程组,以及函数知识,以求进一步提高学生整体应用数学建模思想的意识和能力.一元二次方程的解法中,渗透“降次”的转化思想,体会不同解法的优缺点与相互的联系,培养学生灵活解一元二次方程的能力与扎实的运算功底.对实际问题的探索不要以繁、难、偏、旧的问题作为学生探究性学习的题材.
　　2.对于“一元二次方程根的判别式”,为了教学,适当添加习题,使学生理解一元二次方程根的存在情况与系数的关系.
3.对于“一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)”,为了后续学习(包括初、高中函数的学习)的方便,可根据学生情况,在教学中安排1~2课时,组织学生进行这方面的简单探究活动.
4.对于含字母系数的一元二次方程的解法,建议老师们应以至少一节课的内容加以补充,添加适当的习题.
【教学课时】
本单元共用10课时.
课题
课时
认识一元二次方程
2
用配方法求解一元二次方程
2
用公式法求解一元二次方程
2
用因式分解法求解一元二次方程
1
一元二次方程的根与系数的关系
1
应用一元二次方程
2
总计
10
2.1
认识一元二次方程
第1课时
认识一元二次方程(1)
【教学内容】
教材第31~33页,本课时主要探究一元二次方程的概念和它的一般形式.
【教材分析】
本课时主要是探究一元二次方程的概念和它的一般形式,关键在于理解一元二次方程的概念时要三个条件帮助理解,以及一般形式里面所需要掌握的几项和对应的系数.
【教学目标】
知识与能力
了解一元二次方程的概念和它的一般形式,会根据实际问题列一元二次方程.
过程与方法
经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程,进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.
情感、态度与价值观
在列方程的过程中体会一元二次方程是刻画现实世界的重要模型.
【重点难点】
重点
一元二次方程的概念和一般形式.
难点
正确理解和掌握一般形式中的a≠0,“项”和“系数”.
【教学方法】
本课时设计的教学内容主要是一元二次方程的概念的推导和应用.
在课堂教学中,可先从具体的背景出发,激发学生的学习兴趣,体会一元二次方程的使用价值,然后通过例题和练习进一步巩固对概念的理解.
【教学准备】
教师准备:多媒体课件.
学生准备:复习有关方程的知识.
【教学过程】
一、引入概念
【问题1】　幼儿园某教室矩形地面的长为8
m、宽为5
m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18
m2的地毯(如图),四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗?
如果设所求的宽度为x
m,那么你能列出怎样的方程?
【问题2】　观察下面等式:
102+112+122=132+142.
你还能找出五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?
如果将这个五个连续整数中的第一个数设为x,那么怎样用含x的代数式表示其余四个数?根据题意,你能列出怎样的方程?
【问题3】　如图所示,一个长为10
m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8
m.如果梯子的顶端下滑1
m,那么梯子的底端滑动多少米?
　　(a)　　　　　　　　　(b)
你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗?如果设梯子底端滑动x
m,那么你能列出怎样的方程?
教师给出图片,学生观察,思考,然后教师提问,学生回答.
(设计意图:在具体的情境中巩固列方程的一般思路,为概念的提出赋予实际的意义.)
二、新授
由上面的三个问题,我们可以得到三个方程:
(8-2x)(5-2x)=18,
x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2,
(x+6)2+72=102.
这三个方程有什么共同特点?
归纳:上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫作一元二次方程.
注:符合一元二次方程即符合以下三个条件:
①只含有一个未知数;②未知数的最高次数为2;③整式方程.
我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别为二次项系数和一次项系数.
(设计意图:在方程的比较中得到概念,能够体现出合作探究的意识.)
三、例题讲解
例1　下列方程中是一元二次方程的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.2x+1=0
B.y2+x=1
C.x2+1=0
D.+x2=1
【分析】　由一元二次方程的定义中“一元”即只含一个未知数,可以排除B,由定义中未知数的最高次数为2且是整式方程可以排除A、D,故应选C.
例2　把一元二次方程(x+3)2-5=2x2-4x化成一般形式,并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
　　【分析】　先将所给的方程化为一般形式后再指出它的各项系数及常数项.
例3　党的十六大提出全面建设小康社会,加快推进社会主义现代化建设,力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番,在本世纪的头二十年(2001~2020年),要实现这一目标,以十年为单位计算,设每个十年的国民生产总值的增长率都是x,那么x满足的方程为(　　)
A.(1+x)2=2　　　B.(1+x)2=4
C.1+2x=2
D.(1+x)+2(1+x)=4
【分析】　设2000年的国民生产总值为a,那么第1个十年的国民生产总值为a+ax=2a,即a(1+x)=2a,第2个十年的国民生产总值为a(1+x)+a(1+x)x=2×2a,即a(1+x)2=4a,所以(1+x)2=4.
(设计意图:在例题的讲评中,体会一元二次方程的概念和应用价值.)
四、课堂练习
1.下列方程中,不是一元二次方程的是(　　)
A.2x2+7=0
B.2x2+2x+1=0
C.5x2+y+4=0
D.3x2+(1+x)+1=0
2.一元二次方程7x2-2x=0的二次项、一次项、常数项依次是(　　)
A.7x2,2x,0
B.7x2,-2x,无常数项
C.7x2,0,2x
D.7x2,-2x,0
3.某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留念,全班共送了2
550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为(　　)
A.x(x+1)=2
550
B.x(x-1)=2
550
C.2x(x+1)=2
550
D.x(x-1)=2
550×2
五、课堂小结
1.学生谈谈本节课的收获.
2.师生共同归纳.
(设计意图:让学生自己小结,自己对本节课知识进行整合,培养学生养成一种对所学知识进行归纳总结的习惯.但学生总结时,难免会出现不全面,没有条理性,这时老师要帮助学生归纳.以培养学生有条理、清晰阐述自己观点的能力.)
【布置作业】
教材第32页习题2.1第1,2题.
【板书设计】
1　第1课时　认识一元二次方程(1)
1.引入概念
2.例1　例2　例3
3.练习
4.小结
【教学反思】
在实际教学中,有的学生概念背得很熟,但在准确和熟练应用方面较差,缺乏应变能力.针对学生中存在的这些问题,本节课突出对教学概念形成过程的教学,采用探索发现的方法研究概念,并引导学生进行创造性学习.
教学中,可运用启发引导的方法让学生从实际的问题出发,观察发现并归纳出一元二次方程的概念,启发学生发现规律,并总结规律,最后达到解决问题的目的.