3.2 平面直角坐标系教案-北师大版数学八年级上册

3.2
平面直角坐标系
【教学目标】
了解平面直角坐标系的产生过程;会正确画出平面直角坐标系;能在平面直角坐标系中,由点求坐标,由坐标描点;会从实际问题中抽象出数学模型.
能在方格纸上建立适当的直角坐标系.描述物体的位置.能结合具体情境灵活运用多种方式确定物体的位置.
【重点难点】
●重点:能在平面直角坐标系中,由点求坐标,由坐标描点并能根据实际问题建立适当的坐标系,写出各点的坐标.
●难点:平面直角坐标系中各类点的特征,并能根据已知条件建立适当的直角坐标系.
【教法与学法】
●教法:从生活中学生感兴趣的位置确定问题引申出几何图形的位置问题,通过师生合作探究,启发、引导学生在图形中建立适当的直角坐标系来解决问题.
●学法:借助数形结合的数学思想方法掌握坐标与线段之间的关系,通过建立不同坐标原点的直角坐标系,对比解决问题的优缺点,进一步理解坐标与线段.
【教学过程】
一、情境引入
如教材图3-4是某市的旅游示意图,在科技大学的小亮如何向来访的朋友介绍该市的几个风景点的位置呢?
教材图3-4
学生活动:回顾上节课确定位置的方法.小组合作探究.
教师总结:上节课我们学习了“列,行”“经度,纬度”“方向角,距离”等多种确定位置的方法,并学会了用有序数对来简便表示位置,那么用哪种方法确定右图中的风景点更加合适呢?用“经度,纬度”?还是“方向角,距离”?
接下来我们一起来学习更广泛应用的确定位置的方法——平面直角坐标系.
【设计意图】从一个密切联系生活实际的问题引入,引发学生对平面直角坐标系的学习兴趣,让学生初步感受从问题情境建立数学模型的思路.
二、互动新授
【问题1】(1)小红在旅游示意图上画上了方格,标上数字(如教材图3-5),并用(0,0)表示科技大学的位置,用(5,7)表示中心广场的位置,那么钟楼的位置如何表示?(2,5)表示哪个地点的位置?(5,2)呢?
(2)如果小亮和他的朋友在中心广场,并以中心广场为“原点”,做了如教材图3-6所示的标记,那么你能表示“碑林”的位置吗?“大成殿”的位置呢?
学生活动:小组合作探究.
师生合作探究:(1)显然小红想使用“列,行”这种有序数对来确定位置.她用(5,7)表示中心广场的位置,说明了中心广场在第5列,第7行,那么其他位置也应该按这种方法,同时两个数据按先“列”后“行”的顺序来排列.
(2)以中心广场为“原点”,建立两条互相垂直的数轴,使得其他位置距离中心较近,像是建立了一个指挥中心,更加容易描述点的位置以及找到位置.以中心广场为“原点”,使得列与行的表示延伸到了负数,如“钟楼”在横轴负半轴所在位置,可称为-2列1行,那么按“列,行”的顺序排列就可得钟楼的位置表示法了.
教材图3-5　教材图3-6
【解】(1)钟楼的位置表示为(3,8);(2,5)表示是大成殿的位置;(5,2)表示影月楼的位置.
(2)钟楼的位置可表示为(-2,1).大成殿的位置可表示为(-3,-2).
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.通常,两条数轴分别置于水平位置与铅直位置.取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x轴或横轴,铅直的数轴叫做y轴或纵轴,x轴和y轴统称坐标轴,它们的公共原点O称为直角坐标系的原点.
建立了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一组有序实数对来表示了.
如教材图3-7所示,对于平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序实数对(a,b)叫做点P的坐标.
教材图3-7　教材图3-8
如教材图3-8所示,在平面直角坐标系中,两条坐标轴把平面分成四部分:右上方的部分叫做第一象限,其他三部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不在任何一个象限内.
【问题2】(1)如教材图3-10所示的平面直角坐标系中,描出下列各点:A(-5,0),B(1,4),C(3,3),D(1,0),E(3,-3),F(1,-4).
(2)依次连接A,B,C,D,E,F,A,你能得到什么图形?
(3)在平面直角坐标系下,点与实数对之间有何关系?
学生活动:小组合作探究,得到确定A点位置的方法,在教师总结后,独立完成后面的几个点.
　　　教材图3-10
师生合作探究:从点坐标的概念可知,过x轴上的-5所表示的点向x轴作垂线,过y轴上的0所表示的点作y轴的垂线,两条垂线的交点即为点A的位置.其他各点同理.
【解】依次连接A,B,C,D,E,F,A可得如上图所示图形.
在直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一个有序实数对,都有平面上唯一的一点和它对应.
【问题3】如教材图3-12所示是一个笑脸.
(1)在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点,指出它们的坐标,说说这些点的坐标有什么特点.
(2)在其他象限内分别找几个点,看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点.
(3)不描出点,分别判断A(1,2),B(-1,-3),C(2,-1),D(-3,4)这些点所在的象限.
学生活动:独立完成,再小组交流结果.
教师总结:(1)观察第一象限内任意点的坐标,可知它们的横、纵坐标都是正数.
(2)第二象限内点的横坐标都是负数,纵坐标都是正数;第三象限内点的横坐标都是负数,纵坐标都是负数;第四象限内点的横坐标都是正数,纵坐标都是负数.
(3)观察各点的横纵坐标的正负,可知点A在第一象限,点B在第三象限,点C在第四象限;点D在第二象限.
【问题4】在一次“寻宝”游戏中,寻宝人已经找到了坐标为(3,2)和(3,-2)的两个标志点(如教材图3-17),并且知道藏宝地点的坐标为(4,4),除此外不知道其他信息.如何确定直角坐标系找到“宝藏”?
学生活动:小组合作探究.
师生合作探究:由已知两个标志点的横坐标都是3,可得过这两点的直线平行于　　　　轴,由纵坐标是2与-2,可得连接所得的这两点线段的垂直平分线就是　　　　轴,因此,如教材图3-17所示连接这两个标志点可得4个单位长度;过这两个标志点分别作它们连接线的垂线,并取3个单位长度,得到两个点,过这两点的直线即是　　　　轴,由此可取点(4,4).?
教师总结:如教材图3-17所示,建立直角坐标系并找到“宝藏”.
教材图3-17
【设计意图】从实际问题情境中引出直角坐标系,易于学生理解,能激发学生的学习兴趣,对比上节课的几种位置表示法,体现了直角坐标系表示法的某些优点.用坐标表示几何图形中的点,使学生体会数形结合思想,增强数学知识的应用意识.联系、比较学生熟悉的长方形与正三角形,引导学生建立直角坐标系,使得线段长度与点坐标之间的联系更为直观,并能充分调动学生对直角坐标系的学习兴趣.
三、例题讲解
【例1】在直角坐标系中描出下列各点,并将各点用线段依次连接起来:(-3.5,6),(-5,4),(-4,4),(-6,2),(-4,2),(-4,0),(-3,0),(-3,2),(-1,2),(-3,4),(-2,4).
解析:准确画出直角坐标系,再依次描出各点即可.
【例2】若点A(2m-6,3m-1)是第二象限内的整点(横纵坐标有为整数),则m的值为　　　　.?
解析:根据第二象限内的点的特征建立不等式组,求出x的取值范围.
【例3】如图,正方形ABCD边长为10,连接各边的中点E,F,G,H,得到正方形EFGH.建立适当的直角坐标系,分别写出A,B,C,D,E,F,G,H的坐标.
解析:要准确、快捷写出各点的坐标,必须恰当建立直角坐标系.根据点的坐标的意义,所建立的直角坐标系应满足易于求出点到两坐标的距离.
四、练习巩固
1.若点P(m,1-2m)的横坐标与纵坐标互为相反数,则点P一定在
(　　)
A.第一象限　　　　　B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.如果点P(m+3,m+1)在直角坐标系的x轴上,P点坐标为
(　　)
A.(0,2)
B.(2,0)
C.(4,0)
D..(0,-4)
3.如图所示,草房的地基AB长15米,房檐CD的长为20米,门宽为6米,CD到地面的距离为18米,请你建立适当的直角坐标系并写出A、B、C、D、E、F的坐标.
以　　　为x轴,以　　　为y轴建立平面直角坐标系,则A　　　　,B　　　　,C　　　　,D,E　　　　,F　　　　.?
五、课堂小结
通过本节课的学习,你有什么收获?
本节课主要学习了:
1.在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.通常,两条数轴分别置于水平位置与铅直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x轴或横轴,铅直的数轴叫做y轴或纵轴,x轴和y轴统称坐标轴,它们的公共原点O称为直角坐标系的原点.
2.对于平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序实数对(a,b)叫做点P的坐标.
3.在平面直角坐标系中,两条坐标轴把平面分成四个象限.
4.x轴上坐标特点是(x,0);y轴上坐标特点是(0,y).第一、二、三、四象限上坐标特点分别是(+,+)、(-,+)、(-,-)、(+,-).
5.若一条直线与x轴平行,那么这条直线上所有点的纵坐标相同;若一条直线与y轴平行,那么这条直线上所有点的横坐标相同.
6.选择一个适当的点作为原点,确定x轴、y轴的正方向,在几何图形上建立直角坐标系.
7.依题意建立适当的直角坐标系来解决实际问题.
【布置作业】
教材习题3.2和习题3.3.
【板书设计】
2.平面直角坐标系
1.有序实数对(a,b)叫做点P的坐标,其中a是点P向x轴作垂线的垂足,b是向y轴作垂线的垂足
2.x轴上坐标特点是(x,0);y轴上坐标特点是(0,y).第一、二、三、四象限上坐标特点分别是(+,+)、(-,+)、(-,-)、(+,-)
3.与x轴平行的一条直线上所有点的纵坐标相同;与y轴平行的一条直线上所有点的横坐标相同
4.选取适当的位置作为原点,建立直角坐标系
5.已知部分点的坐标建立适当的直角坐标系解决实际问题
【教学反思】
本节课的主要内容是在几何图形中建立适当的平面直角坐标系,用坐标表示图形中的点,让学生学会采用“数形结合”的思想方法思考问题.教学过程从情境问题引入,易于学生体会坐标值与距离的关系,初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题,增强学生的应用意识,提高实践能力.教学中学生常常没有理清线段、坐标、象限之间的关系,从而导致写反横、纵坐标,取错正负号,如:第三象限内的点到x轴的距离是3,则有错误如横坐标是3、纵坐标是3等等,因此教学中应多引导学生画出示意图,通过直观的数形结合来解决问题,就可以避免此类错误了.