《1.1等腰三角形》期末复习专题提升训练 2020-2021学年北师大版数学八年级下册（Word版 附答案）

2021学年北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》期末复习专题提升训练（附答案）
1．如图，△ABC中，∠A＝∠ABC，DE垂直平分BC，交BC于点D，交AC于点E．
（1）若AB＝5，BC＝8，求△ABE的周长；
（2）若BE＝BA，求∠C的度数．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
3．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．
（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；
（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．
4．如图，在△ABC中，B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．
6．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
7．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
8．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F．
（1）证明：BA＝BC；
（2）求证：△AFC为等腰三角形．
9．已知：在△ABC中，AC＜AB＜BC．线段AB的垂直平分线交BC于点D，点E在BC上，且BE＝AB．连接AD，AE，∠AEC＝3∠BAD．
（1）如图1，求证：AD＝AE；
（2）如图2，当∠B＝2∠CAE时，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形．
10．在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于F．
（1）若∠BAC＝120°，求∠BAD的度数．
（2）求证：△ADF是等腰三角形．
11．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD于E，交AC于F．
求证：CE＝CF．
12．如图，已知在△ABC中，AC＝BC＝AD，∠CDE＝∠B，
求证：△CDE是等腰三角形．
13．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点E为CD上一点，连接BE，AE，且BE、AE分别平分∠ABC、∠BAD．求证：CD＝AD+BC．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点O在BC边上运动（O不与B、C重合），连接AO．作∠AOD＝∠B，OD交AB于点D．
（1）当OD∥AC时，判断△AOB的形状并证明；
（2）在点O的运动过程中，△AOD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDO的度数；若不可以，请说明理由．
15．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．
（1）求证：AC＝BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　 　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AD⊥BC于点D，点E是BC上一点，AE＝AB．
求证：（1）BD＝ED； （2）CD＝AB+BD．
18．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．
（3）如果BC＝10，求AB+AE的长．
19．如图，已知D是∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线的交点，DE∥BC，交AB于点E，交AC于点F．求证：EF＝BE﹣CF．
20．已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，点D是BC边上一点，且AD＝AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．
（1）若∠CAD＝α，求∠ACD的度数．
（2）在（1）的条件下，求∠BCF的大小；（用含α的式子表示）
（3）判断△ACF的形状，并说明理由．
21．如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
22．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
23．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】：如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE　 　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】：如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE　 　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
25．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
参考答案
1．解：（1）∵∠A＝∠ABC，
∴AC＝BC，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+CE＝AB+AC＝AB+BC，
∵AB＝5，BC＝8，
∴△ABE的周长＝5+8＝13；
（2）∵BE＝BA，
∴∠A＝∠AEB，
∵BE＝CE，
∴∠EBC＝∠C，
∴∠A＝∠AEB＝∠EBC+∠C＝2∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠C＝180°，
解得：∠C＝36°．
2．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
3．解：（1）△APB是直角三角形，
理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，
∵PQ∥AC，
∴∠BPQ＝∠C，
∴∠APB＝60°，
∴∠BAP＝90°，
∴△APB是直角三角形；
（2）当AQ＝QP时，
∴∠QAP＝∠APQ＝30°，
∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，
当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，
∴∠BQP＝105°，
当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，
∵P不与B、C重合，
∴不存在，
综上所述：∠BQP＝105°或60°．
4．解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；
（2）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11（秒）．
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，
则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12（秒）．
综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
5．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．
6．证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∴AB＝AC．
（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，
∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，
7．证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE．
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，
∴AF＝CF．
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG．
∴AE＝GC＝8．
∵GC＝2BG，
∴BG＝4．
∴BC＝12．
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．
8．证明：（1）在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴BA＝BC；
（2）∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAD＝∠BCE，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
∴△AFC为等腰三角形．
9．（1）证明：设∠B＝α，
∵线段AB的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝α，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝2α，
∵∠AEC＝3∠BAD＝3α，∠AEC＝∠B+∠BAE，
∴∠DAE＝α，
∵AB＝BE，
∴∠AEB＝∠BAE＝2α，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE；
（2）解：如图2，由（1）知：AD＝BD，AD＝AE，
∴△ABD和△ADE都是等腰三角形，
∵AB＝BE，
∴△ABE也是等腰三角形，
∵∠B＝2∠CAE，
∴∠CAE＝α，
△AEC中，∠C＝∠AED﹣∠CAE＝2α﹣α＝α，
∵∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝α+α＝α，
∴∠C＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴△ADC是等腰三角形，
综上，图2中的四个等腰三角形分别是：△ABD，△ABE，△ADE，△ADC．
10．（1）解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°；
（2）证明：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC即∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∴△ADF是等腰三角形．
11．证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CBF+∠CFB＝∠DBE+∠DEB＝90°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF＝∠DBE，
∴∠CFB＝∠DEB，
又∵∠FEC＝∠DEB，
∴∠CFB＝∠FEC，
∴CE＝CF．
12．证明：∵∠ADE+∠CDE+∠BDC＝180°，∠BCD+∠B+∠BDC＝180°，∠CDE＝∠B，
∴∠ADE＝∠BCD，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
在△ADE和△BCD中，
，
∴△ADE≌△BCD（ASA），
∴DE＝CD，
∴△CDE是等腰三角形．
13．证明：∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，
∴∠DAE＝∠BAE，∠ABE＝∠EBC，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DEA，∠ABE＝∠BEC，
∴∠DAE＝∠DEA，∠EBC＝∠BEC，
∴AD＝DE，BC＝CE．
∴CD＝DE+CE＝AD+BC．
14．解：（1）△AOB为直角三角形，理由如下：
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵OD∥AC，∠AOD＝∠B＝30°，
∴∠OAC＝∠AOD＝30°，
∴∠BAO＝120°﹣30°＝90°，
∴△AOB是直角三角形；
（2）△AOD的形状可以是等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①DA＝DO时，∠OAD＝∠AOD＝30°，
∴∠BDO＝∠OAD+∠AOD＝60°；
②OA＝OD时，∠ODA＝∠OAD＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BDO＝180°﹣75°＝105°；
③AD＝AO时，∠ADO＝∠AOD＝30°，
∴∠OAD＝120°＝∠BAC，点O与C重合，不合题意；
综上所述，∠BDO的度数为60°或105°．
15．（1）证明：∵∠CAO＝90°﹣∠BDO，
∴∠CAO＝∠CBD．
在△ACD和△BCD中，
∴△ACD≌△BCD（AAS）．
∴AC＝BC；
（2）由（1）知∠CAD＝∠DEA＝∠DBO，
∴BD＝AD＝DE，过D作DN⊥AC于N点，如右图所示：
∵∠ACD＝∠BCD，
∴DO＝DN，
在Rt△BDO和Rt△EDN中，
∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL），
∴BO＝EN．
在△DOC和△DNC中，
∴△DOC≌△DNC（AAS），
可知：OC＝NC；
∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝8．
16．解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．，
∵∠B＝∠C，
∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
17．证明：（1）∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∵AD⊥BC，
∴DE＝BD．
（2）在△ACE中，∠AEB＝∠C+∠CAE＝∠B，
又∵∠B＝2∠C，
∴2∠C＝∠C+∠CAE，
∴∠C＝∠CAE，
∴CE＝AE＝AB，
∴CD＝CE+DE＝AB+BD．
18．解：（1）根据等腰三角形的定义判断，△ABC等腰直角三角形；
∵BE为角平分线，而AE⊥AB，ED⊥CE，故AE＝DE，故△ADE均为等腰三角形；
∵BE＝BE，∠ABE＝∠DEB，
∴△ABE≌△DBE（SAS），
∴AB＝BD，
∴△ABD和△ADE均为等腰三角形；
∵∠C＝45°，ED⊥DC，
∴△EDC也符合题意，
综上所述符合题意的三角形为有△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；
（2）AD与BE垂直．
证明：∵△ABE≌△DBE（SAS），
∴BA＝BD，EA＝EC，
∴BE垂直平分相等AD，即AD⊥BE．
（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，
∴AE＝DE，
在Rt△ABE和Rt△DBE中
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴AB＝BD，
又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠C＝45°，又ED⊥BC，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴DE＝DC，
即AB+AE＝BD+DC＝BC＝10．
19．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠DBC．
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC．
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝DE．
∵CD平分∠ACG，
∴∠ACD＝∠DCG．
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCG．
∴∠ACD＝∠EDC，
∴CF＝DF．
∵EF+DF＝DE，
∴EF＝BE﹣CF．
20．解：（1）∵AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠CAD＝α，
∴∠ACD＝（180°﹣∠CAD）＝90；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：
∴∠DAG+∠ADG＝90°，
∵AD＝AC，
∴∠CAG＝∠DAG＝∠CAD＝α，
∵CF⊥AD于点E，
∴∠DCE+∠ADG＝90°，
∴∠DCE＝∠DAG＝∠CAD＝α，
即∠BCF＝α；
（3）△ACF是等腰三角形．
理由：∵∠B＝45°，AG⊥BC，
∴∠BAG＝45°，
∵∠BAC＝45°+∠CAG，∠AFC＝45°+∠DCE，∠DCE＝∠DAG，∠CAG＝∠DAG，
∴∠BAC＝∠AFC，
∴AC＝FC，
∴△ACF是等腰三角形．
21．解：（1）由题意，t×1+12＝2t，
解得：t＝12，
∴当t＝12时，M，N两点重合，
此时两点在点C处重合；
（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．
理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，
∵CM＝NB，
∴y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时，AM＝AN．
22．解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
23．解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF＝2，BC＝1，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
24．（1）证明：如图1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，BC＝．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°．
∴DA＝DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE＝BE＝．
∴BC＝BE．
∴△EBC是等边三角形；
（2）结论：AD＝DG+DM．
证明：如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，
又∵DM＝DW，
∴△WDM是等边三角形，
∴MW＝DM，
在△WGM和△DBM中，
∵
∴△WGM≌△DBM，
∴BD＝WG＝DG+DM，
∴AD＝DG+DM．
（3）结论：AD＝DG﹣DN．
证明：延长BD至H，使得DH＝DN．
由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2＝∠3＝60°．
∴∠4＝∠5＝60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．
∴∠H＝∠2．
∵∠BNG＝60°，
∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．
即∠DNG＝∠HNB．
在△DNG和△HNB中，
∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG＝HB．
∵HB＝HD+DB＝ND+AD，
∴DG＝ND+AD．
∴AD＝DG﹣ND．
25．解：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形