第一章 三角函数【知识梳理】-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（人教A版必修4）

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2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（人教A版必修4）
知识梳理
第一章　三角函数
知识点一　任意角和弧度制
1.角的相关概念
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型 定义 图示
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
2. 象限角
在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.
（1）象限角：终边在第几象限就是第几象限角；
（2）轴线角：终边落在坐标轴上的角.
（3）象限角的集合形式：
第一象限角的集合为，Z；
第二象限角的集合为，Z；
第三象限角的集合为，Z；
第四象限角的集合为，Z.
3.终边相同的角
终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.【来源：21·世纪·教育·网】
4. 角度制与弧度制
（1）弧度制：
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．21cnjy.com
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
（2）角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝rad≈0.017_45 rad 1 rad＝°≈57.30°
（3）一些特殊角的度数与弧度数的对应关系.
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0







π
2π
5. 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则
α为度数 α为弧度数
扇形的弧长 l＝ l＝αR
扇形的面积 S＝ S＝lR＝αR2
知识点二　任意角的三角函数
1.单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.
2.定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y；
(2)x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x；
(3)叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝ (x≠0).
对于确定的角α，上述三_??????é???????????_确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.www.21-cn-jy.com
3.三角函数的定义域：
函数名 定义域
正弦函数 R
余弦函数 R
正切函数
2）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
3）三角函数线：
设角α的顶点在坐标原点，_?§?è?????xè??é??_负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.利用三角函数线可以判断角的三角函数值的符号或比较角的大小.21·世纪*教育网
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
知识点三 同角三角函数的基本关系式
1.基本关系
基本关系 关系式 语言叙述
平方关系 sin2α＋cos 2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系 tan α＝(α≠kπ＋，k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
2.公式变形
(1)平方关系变形：
sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
(2)商的变形
sin α＝cos_α·tan_α，cos α＝.
知识点四　三角函数的诱导公式
α sin α cos α tan α
公式一 α＋2kπ(k∈Z) sin α cos α tan α
公式二 π＋α －sin α －cos α tan α
公式三 －α －sin α cosα －tan α
公式四 π－α sin α －cos α －tan α
公式五 －α cos α sin α
公式六 ＋α cos α －sin α
1.公式一～四归纳：α_???2k??(k_∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.
2.±α的正弦、余弦函数值，函数名改变，把α看作锐角，符号看±α的函数值符号.简记为：“函数名改变，符号看象限”.21教育网
3.六组诱导_??????????????????_概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.2·1·c·n·j·y
知识点五　三角函数的图象与性质
1.正弦函数的图象与性质：
性质
图象
定义域
值域
最值 当时，；当时，．
周期性
奇偶性 ,奇函数
单调性 在上是增函数；在上是减函数．
对称性 对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。
2.余弦函数的图象与性质：
性质
图象
定义域
值域
最值 当时，；当时，．
周期性
奇偶性 偶函数
单调性 在上是增函数；
在上是减函数．
对称性 对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。
3.正切函数：
性质
图象
定义域
值域
最值 既无最大值，也无最小值
周期性
奇偶性 奇函数
单调性 在上是增函数．
对称性 对称中心无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形。
知识点六　函数 的图象
1.用五点法画出正弦型函数的图象，先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图象，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.
2.对于来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．21世纪教育网版权所有
3.函数y＝sin x的图象与y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象关系：
y＝sin x的图象 y＝sin(x＋φ)的图象倍),\s\do15(纵坐标不变))
y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
4.在函数的图象平移变换中要注意“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，向左平移个单位得的图象．21·cn·jy·com
知识点七　三角函数模型的简单应用
1.三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型.
2.三角函数模型的建立程序.
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