期末试卷-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（人教A版必修3+必修4）（含解析）

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2020-2021学年高一数学下学期期末复习综合自测
（时间120分钟，满分150分）
选择题（每小题5分，共计60分）
1．已知点在第三象限，则角的终边位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为，则甲、乙两人下成和棋的概率为（ ）
A． B． C． D．
3. 在上，满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为（ ）
A． B． C． D．
5.在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)21·世纪*教育网
A． B． C．1 D．3
6.随机调查某校50个学生的午餐费,结果如下表,这50个学生午餐费的平均值和方差分别是（ ）
餐费元 3 4 5
人数 10 20 20
A．4, B．4, C．, D．,
7. 若，均为锐角，，，则（????）
A． B． C．或 D．
8.某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内应填（ ）
A． B． C． D．
9.函数的部分图象如图所示，则，的值分别是（ ）
A．2， B．2， C．4， D．4，
10.如图，在中，，用向量，表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11.将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12.已知平面区域，直线和曲线有两个不的交点，它们围成的平面区域为，向区域?上随机投一点 ，点落在区域内的概率为．若，则的取值范围为（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13．若数据的平均数为，则____________.
14. 执行如图所示的程序框图，则输出的k值是________．
15.化简为_____
16.已知，与的夹角为，那么=___________ .
三、解答题（共计70分）
17. （8分）已知函数.
（Ⅰ）化简；
（Ⅱ）若，求的值.
18. （8分）已知向量.
(1)若，求的值；
(2)当时，求与夹角的余弦值．
19. （12分）已知向量,,其中,且.
(1)求和的值;
(2)若,且,求角.
20. （12分）某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的化学成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段，，…，后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求出这60名学生中化学成绩低于50分的人数；
（2）估计高二年级这次考试化学学科及格率（60分以上为及格）；
（3）从化学成绩不及格的学生中随机调查1人，求他的成绩低于50分的概率．
21. （15分）已知向量a＝(cos2ωx－sin2ωx，sinωx)，b＝(，2cosωx)，设函数f(x)＝a·b(x∈R)的图象关于直线x＝对称，其中ω为常数，且ω∈(0，1)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若将y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y＝h(x)的图象，若关于x的方程h(x)＋k＝0在上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．www-2-1-cnjy-com

22．（15分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，如表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如表121世纪教育网版权所有
年份x 2011 2012 2013 2014 2015
储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到表2：
时间代号t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
（1）求z关于t的线性回归方程；
（2）通过（1）中的方程，求出y关于x的回归方程；
（3）用所求回归方程预测到2010年年底，该地储蓄存款额可达多少？
附：对于线性回归方程，
其中, .
参考答案
1．【答案】B
【分析】判断出的符号，由此判断角的终边位置在象限.
【详解】由于点在第三象限，所以，
所以在第二象限.故选：B
2．【答案】D
【分析】利用互斥事件概率加法公式直接求解．
【详解】甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为，
则甲、乙下成平局的概率为：．故选：D．
【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，属于基础题．
3. 【答案】B
【分析】根据的函数图象结合特殊角的三角函数值，即可容易求得结果.
【详解】根据的图象可知：当时，或，
数形结合可知：当，得．故选：.
【点睛】本题考查利用三角函数的图象解不等式，属简单题.
4. 【答案】C
【分析】设回归直线方程为，根据回归直线必过样本中心，求.
【详解】由回归直线的斜率的估计值为1.23，设回归直线方程为，
代入 ， ，解得： ，回归直线方程是.
故选：C
【点睛】本题考查回归直线方程，意在考查基本公式和计算，属于简单题型.
5. 【答案】 B
【分析】根据向量的线性表示逐步代换掉不需要的向量求解.
【详解】设 ，

所以 所以 故选B.
【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.
6. 【答案】C
【分析】根据题目中的数据，求出它们的平均数和方差即可.
【详解】根据题意，得这50个学生午餐费的平均值是：
，
方差是：，故选C.
【点睛】该题考查的是有关求一组数据的平均数和方差的问题，涉及到的知识点有平均数和方差的公式，属于简单题目.21教育网
7. 【答案】B
【分析】首先判断的范围，再表示为，利用两角差的余弦公式求解.
【详解】因为，均为锐角，若是锐角，那么，则，这与已知矛盾，所以是钝角，则
，
.故选：B
【点睛】本题考查已知三角函数求值，重点考查角的转化，属于基础题型，本题的易错点是忽略判断的范围，而造成增根情况.21·cn·jy·com
8. 【答案】A
【分析】根据程序框图的结构及输出结果,逆向推断即可得判断框中的内容.
【详解】由程序框图可知,,则
所以此时输出的值,因而时退出循环.因而判断框的内容为故选:A
【点睛】本题考查了根据程序框图的输出值,确定判断框的内容,属于基础题.
9. 【答案】A
【分析】利用正弦函数的周期性可得，进而求得，再利用时取得最大值可求得值.
【详解】∵在同一周期内，函数在时取得最大值，时取得最小值，
∴函数的周期满足，由此可得，解得，
函数表达式为.又∵当时取得最大值2，
∴，可得，∵，
∴取，得.故选：A.
【点睛】本题考查由的部分图象确定函数解析式，考查正弦函数的周期性和最值，属于基础题.
10. 【答案】C
【分析】由得，再由向量的加法得，最后把代入，求得答案.
【详解】因为，故选C.
【点睛】本题考查向量的加法和数乘运算的几何意义，考查平面向量基本定理在图形中的应用.
11. 【答案】D
【分析】本题首先可根据诱导公式以及二倍角公式将函数转化为，然后根据三角函数平移的相关性质得出平移后的函数为，最后根据函数为偶函数即可得出结果.
【详解】令，
则
，
设向右平移个单位长度后得到的函数为，
则，
因为函数为偶函数，所以，解得，
因为，所以的最小值为，故选：D.
【点睛】本题考查诱导公式、二倍角公式、三角函数图像的平移以及三角函数的奇偶性，考查的公式有、，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.www.21-cn-jy.com
12. 【答案】D
【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案．
【详解】由题意知，平面区域，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，又由直线过半圆上一点，2-1-c-n-j-y
当时直线与轴重合，此时，故可排除，
若，如图所示，可求得，所以的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了集合概型的_?????¨?????????è§?_答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．21*cnjy*com
13. 【答案】
【分析】根据求平均数的公式，得到关于的方程，求得.
【详解】由题意得：，解得：，故填：.
【点睛】本题考查求一组数据的平均数，考查基本数据处理能力.
14. 【答案】3
【解析】试题分析：由程序框图知，输出．
考点：程序框图.
15. 【答案】1
【分析】根据同角三角函数的基本关系式对所求表达式进行化简，由此求得表达式的值.
【详解】
依题意.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
16. 【答案】
【分析】由，与的夹角为，求出与的数量积，然后直接利用向量的模的求法，求出的值即可.
【详解】与的夹角为，
，
，
，故答案为.
【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.【来源：21cnj*y.co*m】
17. 【答案】 （1）；（2）
【分析】
（1）根据诱导公式化简分子、分母，即可得，进而可得最简形式；（2）根据两角和的正切公式有，结合已知求得，即可求函数值2·1·c·n·j·y
【详解】
（1），
∴
∴
（2）由，知：，即
又，所以
【点睛】本题考查了利用诱导公式化简函数式，并由已知函数值，结合两角和的正切公式求函数值，属于简单题
18. 【答案】（1）-3；（2）－.
【分析】
(1)根据向量平行的坐标关系求得
(2)根据向量的数量积运算求得夹角.
【详解】　(1)由题意，得．因为，
所以，解得.
(2)当时，．
设与的夹角为θ，则
.
所以与夹角的余弦值为－.
【点睛】本题考查向量的平行关系和向量数量积运算，属于基础题.
19. 【答案】 (1)，；(2).
【详解】
(1)∵,∴,即.
代入,得,
又,则,.
则.
.
(2)∵,,∴.
又,∴.
∴==.
由,得.
20. 【答案】（1）6人；（2）75%；（3）.
【解析】
试题分析：（1）由频率分布直方图可得化学成绩低于50分的频率为0.1，然后可求得人数为人；（2）根据频率分布直方图求分数在第三、四、五、六组的频率之和即可；（3）结合图形可得“成绩低于50分”的人数是6人，成绩在这组的人数是，由古典概型概率公式可得所求概率为．
试题解析：
（1）因为各组的频率和等于1，由频率分布直方图可得低于50分的频率为：
，
所以低于分的人数为（人）．
（2）依题意可得成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），其频率之和为，
故抽样学生成绩的及格率是，
于是，可以估计这次考试化学学科及格率约为75%．
（3）由（1）知，“成绩低于50分”的人数是6人，
成绩在这组的人数是（人），
所以从成绩不及格的学生中随机调查1人，有15种选法，成绩低于50分有6种选法，
故所求概率为．
21. 【答案】（1）T＝6π；单调递增区间为，k∈Z.（2）{k|或k＝－2}．
【分析】
（1）先利用平面向量的数量积定义和二倍角公式、辅助角公式得到，再利用对称性求出值，再利用三角函数的性质进行求解；（2）先利用三角函数图象变换得到，再令，利用三角函数的图象和数形结合思想进行求解.【出处：21教育名师】
【详解】
(1)f(x)＝a·b＝(cos2ωx－sin2ωx)＋2sinωxcosωx
＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin.
∵直线x＝是y＝f(x)的图象的一条对称轴，
∴(k∈Z)，即ω＝k＋(k∈Z)．
又ω∈(0，1)，∴ω＝，f(x)＝2sin，
∴T＝6π.
令，k∈Z，得，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由（1）得f(x)＝2sin，将y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y＝2sin的图象，∴h(x)＝2sin.【版权所有：21教育】
令＝t，∵0≤x≤，∴－≤t≤，
方程h(x)＋k＝0在上有且只有一个实数解，
即方程2sint＋k＝0在上有且只有一个实数解，
亦即y＝2sint，t∈的图象与直线y＝－k有且只有一个交点，
画出图象分析可知－≤－k＜或－k＝2，即或k＝－2.
故实数k的取值范围是{k|或k＝－2}．
【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质、三角函数的图象变换，意在考查学生的逻辑思维能力和综合分析解决问题的能力，属于中档题．解决本题的易错点在于三角函数的图象变换，学生往往得到错误的结果“”，在处理图象平移时，要注意平移的单位仅对于“自变量”而言，如本题中.21教育名师原创作品
22．【答案】（1）；（2）；（3）3.6千亿．
【解析】
【分析】
（1）利用最小二乘法求出z关于t的线性回归方程；
（2）通过，把z关于t的线性回归方程化成y关于x的回归方程；
（3）利用回归方程代入求值．
【详解】
解：（1）由表中数据，计算（1+2+3+4+5）＝3，
（0+1+2+3+5）＝2.2，
tizi＝1×0+2×1+3×2+4×3+5×5＝45，
12+22+32+42+52＝55，
所以1.2，
b2.2﹣1.2×3＝﹣1.4，
所以z关于t的线性回归方程为z＝1.2t﹣1.4；
（2）把t＝x﹣2010，z＝y﹣5代入z＝1.2t﹣1.4中，得到：
y﹣5＝1.2（x﹣2010）﹣1.4，
即y关于x的回归方程是y＝1.2x﹣2408.4；
（3）由（2）知，计算x＝2010时，y＝1.2×2010﹣2408.4＝3.6，
即预测到2010年年底，该地储蓄存款额可达3.6千亿．
【点睛】本题主要考查了非线性回归模型问题，采用适当的变量替换，把问题转化成线性回归问题，是求解非线性回归问题的主要手段．
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