第二章 平面向量【知识梳理】-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（人教A版必修4）

中小学教育资源及组卷应用平台
2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（人教A版必修四）
知识梳理
第二章　平面向量
知识点一　向量的定义和表示法
1.向量与数量
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量.
2.向量的几何表示
(1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度.
(2)向量可以用有_?????????è?¨?¤????_向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作||.向量也可用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，.
知识点二　向量的有关概念
向量名称 定义
零向量 长度为0的向量，记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量
平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b
相反向量 长度相等且方向相反的向量.
知识点三　向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
知识点四　向量共线定理
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.21cnjy.com
知识点五　平面向量基本定理
1.定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有
且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
知识点六　两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角(如图所示).21·cn·jy·com
(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0°≤θ≤180°.
(2)当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向.
2.垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.
知识点七　平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
平面向量数量积的有关结论
1）两个向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB＝θ 叫做向量与的夹角．
夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，
夹角θ＝180°.
（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥.
2）平面向量数量积
（1）已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，
即＝，其中θ是与的夹角．
规定.
当⊥时，θ＝90°，这时.
（2）的几何意义：
数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
3）向量数量积的性质：
（1），.
（2）(θ为与的夹角).
（3）.
4）数量积的运算律
（1）交换律：.
（2）分配律：
（3）对.
5）平面向量数量积的几何意义
(1)条件：向量a与b的夹角为θ.
(2)投影：
向量b在a方向上的射影 |b|cos θ
向量a在b方向上的射影 |a|cos θ
(3)a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积.
6）平面向量数量积的性质
当0°≤θ＜90°，非零向量的数量积为正数.
当θ＝90°，非零向量的数量积为零.
当90°＜θ≤180°，非零向量的数量积为负数.
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，
(1)a⊥b?a·b＝0.
(2)当a∥b时，a·b＝
(3)a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
知识点八　1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.21世纪教育网版权所有
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示:
(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．21教育网
(2)若，则．
3.平面向量的坐标运算
(1)若，则；
(2)若，则．
(3)设，则，.
4.平面向量的坐标运算技巧：向量_?????????è?¨?¤????_是向量的代数表示，是向量数与形的完美结合.向量的坐标运算主要利用加、减、乘的运算法则进行的运算，如果已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量坐标，提示向量的坐标一定是有向线段的终点坐标减去起点坐标.www.21-cn-jy.com
比如：，则
5.注意向量坐标与点的坐标的区_??????è???????????_的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．2·1·c·n·j·y
6.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线?x1y2－x2y1＝0.
7.数量积的坐标运算：设，有下面的结论：
（1）.
（2）.
（3）
（4）(θ为与的夹角
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_