人教A必修4综合测试-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（人教A版必修4）（含解析）

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2020-2021学年高一数学下学期期末复习自测（必修四）
（时间120分钟，满分150分）
选择题（每小题5分，共计60分）
1．（ ）．
A． B． C． D．
2．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
4．如果函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，且，则（ ）
A．1 B．3 C． D．5
6．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，与的夹角为,则在上的投影为(　　)
A．2 B．1 C． D．
8．在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）.
A． B． C． D．
9．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10． （ ）
A． B． C． D．
11．函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
12．不等式的解集为
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13．将函数的图像向左平移个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则_________．
14．化简为_____
15．在直角坐标系中，为原点,O、A、B不共线，，则________
16．若(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β＝_____.
三、解答题（共计70分）
17．（8分）已知，向量，.
（1）若向量与平行，求k的值；
（2）若向量与的夹角为钝角，求k的取值范围.
18．（10分）已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
19．（10分）已知A、B、C是的三内角，且，是判断此三角形的形状．
20．（12分）若函数，的图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为6．
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，当时，求的值域．
21．（15分）如图为一个_???è???¤??????????_该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数关系式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？21教育网
22．（15分）设函数图像的一条对称轴是直线 .
（1）求；
（2）求函数的单调递增区间;
（3）画出函数在区间上的图像.
参考答案
1．【答案】C
【分析】直接利用诱导公式计算可得；
【详解】.故选：C
【点睛】本题考查正弦函数求值，诱导公式的应用，属于基础题.
2．【答案】D
【分析】利用负数不能开偶次方根，再由三角不等式的解法求解．
【详解】由，得，
解得．
所以函数的定义域是.故选：D．
3．【答案】A
【分析】根据题意得到，，再解不等式即可得到答案.
【详解】当，时，函数单调递增，
即当，时，函数单调递增.故选：A
【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调区间，属于简单题.
4．【答案】A
【分析】先根据函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值.21cnjy.com
【详解】∵函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称.
∴∴
当时，有.故选：A.
【点睛】本题主要考查三角函数的简单性质，考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力，属基础题.www.21-cn-jy.com
5．【答案】D
【分析】利用向量的垂直，求出，然后求解向量的模．
【详解】，，且，可得，解得，
所以，则．故选：．
6．【答案】A
【分析】由题意，求得，，根据，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，向量，，
可得，，
因为，所以，解得.故选：A.
7．【答案】A
【分析】向量在上的正射影的数量为|，又，从而根据条件分别求()?和即可.
【详解】∵,与的夹角为，∴，
由此可得，∴.
设与的夹角为，∵()?，∴，
可得向量在上的正射影的数量为|.故选A.
【点睛】(1)本题主要考查向量的投影和向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 在上的“投影”的概念：叫做向量在上的“投影”， 向量在向量上的投影，它表示向量在向量上的投影对应的有向线段的数量．它是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零.【来源：21·世纪·教育·网】
8．【答案】D
【分析】根据向量共线转化为，利用三点共线求实数的取值.
【详解】，又因为，所以，即，
所以，
因为点三点共线，所以，解得：.故选：D
【点睛】本题考查向量共线，平面向量基本定理，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.
9．【答案】D
【分析】利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．21·cn·jy·com
【详解】
因为
，
所以，故选：D
10．【答案】C
【分析】利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解．
【详解】
．故选：．
11．【答案】B
【分析】先将函数转化为，再根据，利用余弦函数的性质求解.
【详解】函数
因为，所以，
，所以函数的值域为，故选：B
12．【答案】B
【分析】将不等式化为，然后根据的范围得到的范围，结合正弦函数的图象解不等式即可．
【详解】∵，∴．
∵，∴，∴，
∴．∴原不等式的解集为．故选B．
【点睛】解答本题的关键是将原不等式化为的形式，然后将作为一个整体，并结合正弦函数的图象求解，其中整体代换和数形结合是解决类似问题的常用思路．
13．【答案】
【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为，再根据其图象关于原点中心对称得，进而计算得.
【详解】根据题意得函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为：，
由函数图象关于原点中心对称，故，即
所以.故答案为：
【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 2·1·c·n·j·y
函数是奇函数 ；
函数是偶函数；
函数是奇函数；
函数是偶函数.
14．【答案】1
【分析】根据同角三角函数的基本关系式对所求表达式进行化简，由此求得表达式的值.
【详解】
依题意.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
15．【答案】0
【分析】
根据向量的线性运算求出，根据对应关系求出的值即可．
【详解】，，，
，，.故答案为：0．
16．【答案】kπ－，k∈Z
【解析】
【分析】由已知化简可得tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1代入两角和的正切公式，可以求出的正切值，在求得的值.www-2-1-cnjy-com
【详解】
(tanα－1)(tanβ－1)＝2?tanαtanβ－tanα－tanβ＋1＝2?tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1
?＝－1.
即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝kπ－，k∈Z.故答案为：
【点睛】本题目考查了正切函数的和差角公式，属于基础题.
17．【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果；
（2）利用，且不共线，列式计算即得结果.
【详解】
（1）依题意，，，
又，得，即
解得或；
（2）与的夹角为钝角，则，即，
即，解得或.
由（1）知，当时，与平行，舍去，
所以.
【点睛】思路点睛：两向量夹角为锐角（或钝角）的等价条件：
（1）两向量夹角为锐角，等价于，且不共线；
（2）两向量夹角为钝角，等价于，且不共线.
18．【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据，利用两角差的余弦函数公式即可求解．21·世纪*教育网
（2）利用二倍角公式可求，的值，进而即可代入求解．
【详解】
（1）因为，
所以
又因为，
所以
所以
（2）因为，
所以
所以
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想．2-1-c-n-j-y
19．【答案】见解析.
【分析】根据并结合进行化简，最后得到，于是得，进而得到三角形的形状．
【详解】由题意可得，∴，
，
又，
，
，
，
又B、C是三角形内角，
∴，
，
∴三角形为等腰三角形．
【点睛】判断三角形形状的常用方法
(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而得到三角形的形状．21*cnjy*com
(2)“边化角”：利用正弦、余_?????????????·????_条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而得到三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
20．【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）求出函数的周期，求解，利用函数经过的点，求解，然后得到函数的解析；
（2）利用函数的图象的平移变换推出函数的解析式，求解相位的范围，然后求解函数的最值，即可得的值域．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
（1）因为相邻的两个零点差的绝对值为6，
记的周期为，则，
所以，所以，
所以；
因为的图象经过点，所以，
所以，又，所以 ，
所以函数的解析式为．
（2）由(1)知，
因为将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，
所以函数的解析式为，
当时，，所以，
综上，当时，的值域为．
【点睛】
关键点点睛：由函数的部分图象确定解析式关键在于确定参数，的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定.
(2)因为，所以往往通过求周期来确定，可通过已知曲线与轴的交点从而确定，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为；相邻的两个零点之间的距离为.【出处：21教育名师】
21．【答案】(1) ；(2) ，缆车到达最高点时，用的时间最少为30 s．
【分析】
(1)建立平面直角坐标系，结合条件求出点的坐标后可得h与θ间的函数关系式．(2)由t s转过的弧度数为可得θ与t的关系，代入（1）中的关系式可得h与t之间的函数解析式，然后通过最值可得所求的最小时间．【版权所有：21教育】
【详解】
(1)以圆心原点，建立如图所示的坐标系，如下图所示，
则以为始边，为终边的角为，
故点B坐标为．
∴．
（2）点A在圆上转动的角速度是，故t s转过的弧度数为，
∴，
∴．
令，
得，
∴，
∴．
令，得t=30 s．
∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30 s．
【点睛】用三角函_??°?¨????è§???????_际问题主要有两种：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，体现了新课标中“数学建模”的本质．21世纪教育网版权所有
22. 【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.
【分析】
（1）由正弦函数的对数轴求出；
（2）根据正弦函数性质求得增区间；
（3）列表描点连线可得图象．注意五点法中的特殊点和区间的端点．
【详解】
（1）是函数的一条对称轴，
，即
，
（2）由（1）知
由题意得
所以函数的单调递增区间为
（3）由可知


















故函数在区间上的图像为：
【点睛】本题考查三角函数的对称性，单调性，考查用列表描点法作正弦型函数的图象．属于基础题．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_