河南省郑州市2020-2021学年高二下学期期末数学理科试题（Word含答案）

郑州市2020—2021学年下期期末考试
高二数学（理）试题
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数的导函数是，且满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知随机变量的分布列如右表．则实数的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列四个命题：
（1）两个变量相关性越强则相关系数就越接近于；
（2）两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；
（3）在回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于，表示回归效果越好；
（4）在独立性检验中，随机变量的观测值越小，判断“与有关系”的把握程度越大．
其中正确命题的个数是（
）
A．
B．
C．
D．
5．校园歌手大赛共有名同学成功进人决赛，其中名男同学，名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求名男同学站在两端，则有______种不同的站法．
A．
B．
C．
D．
6．用反证法证明命题：若，则，应提出的假设为（
）
A．，至少有一个不等于
B．，至多有一个不等于
C．，都不等于
D．，只有一个不等于
7．“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．下表记录了第年（2016年为第一年）捐赠现金（万元）的数据情况．由表中数据得到了关于的线性回归方程为，预测2021年该商会捐赠现金______万元．
A．
B．
C．
D．
8．2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布．据此估计：在全市抽取名高三学生的数学成绩，恰有名同学的成绩超过分的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
9．九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的名同学（甲校名，乙校、丙校各名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到，，三个班，每个班至少分配名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，第个图形是由正三边形“扩展”而来，第个图形是由正四边形“扩展”而来．依次类推，第个图形是由正边形“扩展”而来，其中，那么第个图形共有______个顶点．
A．
B．
C．
D．
11．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数（是自然对数）在定义域上有三个零点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．平面内一点到直线：的距离为：．由此类比，空间中一点到平面：的距离为______．
14．已知，是不相等的两个实数，且，．在方程所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在轴上的双曲线的概率为______．
15．2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注，作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字，，，，，的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成______个不同的六位数．
16．已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知复数．
（Ⅰ）当实数取什么值时，复数是纯虚数；
（Ⅱ）当实数取什么值时，复平面内表示复数的点位于第一、三象限．
18．在二项式的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．
19．已知数列满足：，，．
（Ⅰ）计算，，的值；
（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
20．已知的数．
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性．
21．2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有人．
（Ⅰ）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？
喜欢
不喜欢
总计
男生
______
______
女生
______
______
总计
______
______
（Ⅱ）为鼓励学生阅读古典文学书籍，学校特开展一场古典文学趣味有奖活动，并设置六个奖项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这名同学中选出名男生，名女生参加活动，记为参加活动的同学中获奖的女生人数，求的分布列及数学期望．
附：
，
22．已知函数，，其中．
（Ⅰ）若曲线在处的切线斜率为，求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
郑州市2020-2021下期高二数学考试理科评分参考
解答题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
填空题
13．；
14．；
15．；
16．
三、解答题
17．解：
（1）当复数是纯虚数时，有，解得．
所以当实数时，复数是纯虚数．
（2）当表示复数的点位于第一、三象限时，有，解得或，
所以当实数时，表示复数的点位于第一、三象限．
18．解：（1）展开式的通项为：，
依题可得：，
.
由（1）知，展开式中的第，，，项为有理项，且
，，，
19．解：（1）
，，．
（2）猜想：．
证明：①当时，，猜想成立；
②假设当时猜想成立，即．
那么，依题可得．
所以，当时猜想成立．
根据①和②，可知猜想对任何都成立．
20．解：（1）当时，，定义域为，
．
令，解得，或．
当变化时，，的变化情况如下表：
＋
－
＋
单调递增
单调递减
单调递增
当时，有极大值，且极大值为；
当时，有极小值，且极小值为．
（2）函数定义域为，
．
令得或．
①若，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
②若，即，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
③若，即，则当时，，单调递增，
④若，即，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上：当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是，，递减区间是；
当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是．
21．解：（1）由已知可得调查中男生共有人，女生有人，其中喜欢阅读古典文学的有人
故列联表为：
喜欢
不喜欢
总计
男生
女生
总计
．
故能在犯错误概率不超过的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关．
，，，，．
的分布列为
．
22．解：（1）依题可得且，
．
．
（2）有题设即，
整理得，
设，则上式即为．
，令得．
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
又当时，，
只需，即，
设，则．
令得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
．
．