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2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（人教A版必修四）
第二章
平面向量
考点
(1)正确理解向量的概念，及零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量、平行向量、共线向量的相关概念，准确表示向量.21教育网
(2)向量的加法、减法、向量的数乘及相关的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)几何意义是考查向量运算的重点，要求能准确应用向量运算的法则及运算定律进行运算，并能熟练的结合平面几何的相关性质进行相关问题的解决．
(3)熟练掌握平面向量的基
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)本定理，能准确的用平面向量的基底表示平面内的任意向量，应用向量的夹角、正交分解、向量的坐标表示、向量加、减、数乘、共线向量的坐标表示．要求会用向量的三种表示法：几何表示法、字母表示法、坐标表示法表示向量，并要注意到向量的坐标运算是代数运算，其加、减及数乘运算实质是同名坐标之间的运算.21cnjy.com
(4)要理解与掌握平面向量的数量积
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的概念、向量的模及夹角的表示、平面向量的数量积运算律的理解及平面向量数量积的应用，理解平面向量的数量积与向量投影的关系，通过数形结合，对平面向量的平行、垂直等位置关系与平面向量的数量积相结合解决与向量有关的综合性问题的处理.
1．
选择题
1.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A.与
B.与
C.与
D.与
2.【2018年高考全国I卷】在中，为边上的中线，为的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
3.在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（
）
A.
B
.
C.
D.
4.设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（
）
A.20
B.15
C.9
D.6
5.中，点为边的中点，点为边的中点，交于点，若，则=（
）
A.
B.
C.
D.
6.已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝，则＝(
)
A．2－
B．－＋2
C．－
D．－＋
7.如图，正方形中，是的中点，若，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．2
8.设分别为的三边的中点，则（
）
A.
B.
C.
D.
9.在四边形ABCD中，设＝a，＝b，且＝a＋b，|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是( )2·1·c·n·j·y
A.梯形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
10.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A.－＝0
B.－＝
C.－＝
D.＋＝0
11.在△ABC中，如果AD，BE分别为BC，AC上的中线，且＝a，＝b，那么为( )
A.a＋b
B.a－b
C.a－b
D.－a＋b
12.若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A. B.
C.
D.
13.知＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，则点D的坐标为( )
A.(－2,3)
B.(2，－3)
C.(－2,1)
D.(2，－1)
14.【2019年高考全国I卷】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．
15.【2019年高考全国II卷】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（
）
A．?3
B．?2
C．2
D．3
16.已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则（
）
A.
B.
C.
D.
17.直角中，
为斜边边的高，若，
，则（
）
A.
B.
C.
D.
2．
填空题
18.设向量a，b不平行，向量a＋λb与－a＋b平行，则实数λ＝________.
19.已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，则x＋y＝________.
20.设a，b是不共线的两个向量，已知＝2a＋kb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则k的值为________.【来源：21·世纪·教育·网】
21.设e1，e2是不共线的两
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是__________.(写出所有满足条件的序号)21·世纪
教育网
22.已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，＝2e1－3e2，＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________.www-2-1-cnjy-com
23.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________.2-1-c-n-j-y
24.已知向量a＝(3,4)，b＝(－1，k)，且a⊥b，则a＋4b与a的夹角为________.
25.设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，
则＝________.
26.已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为________．21
cnjy
com
27.如图所示，用两条成120?的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是
.【来源：21cnj
y.co
m】
28.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为___________．【出处：21教育名师】
29.已知单位向量e1与e2的夹角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为α，且cos
α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos
β＝________.【版权所有：21教育】
30.【2019年高考北京卷文数】已知向量=（–4，3），=（6，m），且，则m=__________．
31.【2019年高考全国III卷】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.21教育名师原创作品
32.【2019年高考天津卷理数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则___________．21
cnjy
com
33.【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是___________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
34.【2017年高考天津卷理】在中，，，．若，
，且，则的值为___________．
三．解答题
35.判断下列命题是否正确，并说明理由.
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在平行四边形ABCD中，一定有＝；
④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
36.如图，在△OAB中，延长BA到C，使A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，DC与OA交点为E，设＝a，＝b，用a，b表示向量，.21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
37.已知中，,边上的高为，求点和向量的坐标.
38.如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点，＝＝，记＝a，＝b.试用向量a，b表示.21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
39.已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β.www.21-cn-jy.com
40.已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R).
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
41.已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标.
42.已知向量
（1）若，求的值；
（2）若求的值。
43.在平面直角坐标系中，给定，点为的中点，点满足，点满足.
（1）求与的值；（2）若三点坐标分别为，求点坐标.
44.【2017年高考江苏卷】已知向量
（1）若a∥b，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（人教A版必修四）
第二章
平面向量
考点
(1)正确理解向量的概念，及零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量、平行向量、共线向量的相关概念，准确表示向量.21世纪教育网版权所有
(2)向量的加法、减法、向量
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的数乘及相关的几何意义是考查向量运算的重点，要求能准确应用向量运算的法则及运算定律进行运算，并能熟练的结合平面几何的相关性质进行相关问题的解决．
(3)熟练掌握平面向量的基本定理，能准确的用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平面向量的基底表示平面内的任意向量，应用向量的夹角、正交分解、向量的坐标表示、向量加、减、数乘、共线向量的坐标表示．要求会用向量的三种表示法：几何表示法、字母表示法、坐标表示法表示向量，并要注意到向量的坐标运算是代数运算，其加、减及数乘运算实质是同名坐标之间的运算.21cnjy.com
(4)要理解与掌握平面向量的数量积的概念、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)向量的模及夹角的表示、平面向量的数量积运算律的理解及平面向量数量积的应用，理解平面向量的数量积与向量投影的关系，通过数形结合，对平面向量的平行、垂直等位置关系与平面向量的数量积相结合解决与向量有关的综合性问题的处理.
1．
选择题
1.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A.与
B.与
C.与
D.与
【答案】 D
【解析】 ∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC，BD互相平分，∴＝.
2.【2018年高考全国I卷】在中，为边上的中线，为的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】本题考查的是有关平面向量
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，根据向量的运算法则，
可得
，所以，故选A.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
3.在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（
）
A.
B
.
C.
D.
【答案】B
【解析】本题考点是平面向量的基本定理的应用.由于平面向量的基本定理可得,不共线的向量都可与作为基底.只有成立.故选B.www.21-cn-jy.com
4.设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（
）
A.20
B.15
C.9
D.6
【答案】C
【解析】本题考点是平面向量的基本定理及向量的运算，由题意可知，，所以
，选C.
5.中，点为边的中点，点为边的中点，交于点，若，则=（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】三点共线，；同理由三点共线得解得故，故选B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
6.已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝，则＝(
)
A．2－
B．－＋2
C．－
D．－＋
【答案】A
【解析】∵依题，所以.故选A
7.如图，正方形中，是的中点，若，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】设正方形边长为，以为原点建立平面直角坐标系，
则,，
依题意，，即，
解得.
8.设分别为的三边的中点，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在中，，
同理，
．
9.在四边形ABCD中，设＝a，＝b，且＝a＋b，|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是( )2·1·c·n·j·y
A.梯形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
【答案】 B
【解析】 由＝a＋b，∴四边形ABCD为平行四边形，
又＝a－b，∵|a＋b|＝|a－b|，∴||＝||.∴四边形ABCD为矩形.
10.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A.－＝0
B.－＝
C.－＝
D.＋＝0
【答案】 C
【解析】 ∵＝，∴－＝0，A正确；
∵－＝＋＝，B正确；
∵－＝＋＝，C错误；
∵＝，∴＝－，∴＋＝0，D正确.
11.在△ABC中，如果AD，BE分别为BC，AC上的中线，且＝a，＝b，那么为( )
A.a＋b
B.a－b
C.a－b
D.－a＋b
【答案】 A
【解析】 由题意，得＝＋＝b＋＝b＋(＋)＝b＋a＋，
即＝b＋a＋.解得＝a＋b.
12.若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A. B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 ∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)＝r＋s，
∴r＝，s＝－.
∴3r＋s＝－＝.
13.知＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，则点D的坐标为( )
A.(－2,3)
B.(2，－3)
C.(－2,1)
D.(2，－1)
【答案】 D
【解析】 设D(x，y)，则＝(x，y－1)，2＝(2，－2)，
根据＝2，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即解得故选D.
14.【2019年高考全国I卷】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】本题考查的是向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B．【来源：21·世纪·教育·网】
15.【2019年高考全国II卷】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（
）
A．?3
B．?2
C．2
D．3
【答案】C
【解析】本题考点为平面向量的数量积.由，，得，则，．故选C．
16.已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴.
17.直角中，
为斜边边的高，若，
，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】依题意，由射影定理得，其中，所以有.
2．
填空题
18.设向量a，b不平行，向量a＋λb与－a＋b平行，则实数λ＝________.
【答案】 －4
【解析】 ∵a，b不平行，∴－a＋b≠0.
又a＋λb与－a＋b平行.
∴存在实数μ，使a＋λb＝μ(－a＋b).
∴根据平面向量基本定理得，
∴λ＝－4.
19.已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，则x＋y＝________.
【答案】1
【解析】由于A，B，P三点共线，则，在同一直线上，由共线向量定理可知，必存在实数λ使得
＝λ即－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ.
∴x＝1－λ，y＝λ，则x＋y＝1.
20.设a，b是不共线的两个向量，已知＝2a＋kb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则k的值为________.21·世纪
教育网
【答案】 －1
【解析】 ＝＋＝2a－b，
∵A，B，D三点共线，∴∥，则存在实数λ使得：＝λ，
2a＋kb＝λ(2a－b)，得得：k＝－1.
21.设e1，e2是不共线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是__________.(写出所有满足条件的序号)2-1-c-n-j-y
【答案】 ①②④
【解析】 对于③，4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
22.已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，＝2e1－3e2，＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________.21
cnjy
com
【答案】 －4
【解析】 因为M，N，P三点共线，所以存在实数k使得＝k，所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，
又e1，e2为平面内两个不共线的向量，可得解得λ＝－4.
23.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________.【来源：21cnj
y.co
m】
【答案】 直角三角形
【解析】 因为＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，
所以|＋|＝|－|，即·＝0，故⊥，△ABC为直角三角形.
24.已知向量a＝(3,4)，b＝(－1，k)，且a⊥b，则a＋4b与a的夹角为________.
【答案】
【解析】 因为a⊥b，故a·b＝0，所以－3＋4k＝0，
故k＝，故a＋4b＝(－1,7)，
设a＋4b与a的夹角为θ，则
，
因θ∈[0，π]，故θ＝.
25.设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，
则＝________.
【答案】 ±
【解析】 ∵·＝0，∴OM⊥CM，∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，
由＝，得k＝±，即＝±.
26.已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为________．【出处：21教育名师】
【答案】±2
【解析】如图所示，以OA、OB为边作平行四边形OACB，则由|＋|＝|－|得，
平行四边形OACB是矩形，⊥.
由图象得，直线y＝－x＋a在y轴上的截距为±2.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
27.如图所示，用两条成120?的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是
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]
【答案】10N
【解析】
∵绳子的拉力是一样的（对称）
，∴OA=OB
，∴四边形OADB为菱形
.
∵∠AOB=120?
，∴∠AOD=60?
.又OA=OB=AD
，
∴三角形OAD为等边三角形
，∴OD=OA
.
又根据力的平衡得OD=OC=10
，
∴OA=10
，∴OA=OB=10
.
∴每根绳子的拉力大小是10N.
28.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为___________．21教育名师原创作品
【答案】-3
【解析】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；
∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；
当a=b+2时，；
∵b2+2b﹣2的最小值为；
∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．
29.已知单位向量e1与e2的夹角为α
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，且cos
α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos
β＝________.21
cnjy
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【答案】
【解析】 ∵|a|＝＝
＝3，
|b|＝＝
＝2，
∴a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e
＝9－9×1×1×＋2＝8，
∴cos
β＝＝.
30.【2019年高考北京卷文数】已知向量=（–4，3），=（6，m），且，则m=__________．
【答案】8
【解析】向量则.
31.【2019年高考全国III卷】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.21教育网
【答案】
【解析】因为，，所以，
，所以，所以
．
32.【2019年高考天津卷理数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则___________．21·cn·jy·com
【答案】
【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，则，.
因为∥，，所以，因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为.
由得，，所以.所以.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
33.【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是___________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】.
【解析】本题考查在三角形中平面向量的数量
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)积运算.如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
，
得即故
34.【2017年高考天津卷理】在中，，，．若，
，且，则的值为___________．
【答案】
【解析】本题考查的是平面向量基本定应用问题.
由题可得，
则．
【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．www-2-1-cnjy-com
三．解答题
35.判断下列命题是否正确，并说明理由.
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在平行四边形ABCD中，一定有＝；
④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
【解析】 ①两个向量不相等，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确.②＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确.③在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，③正确.④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确.⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确.⑥若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确.
36.如图，在△OAB中，延长BA到C，使A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，DC与OA交点为E，设＝a，＝b，用a，b表示向量，.
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【解析】 ∵AC＝BA，∴A是BC的中点，
∴＝(＋)，∴＝2－＝2a－b.
∴＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.
37.已知中，,边上的高为，求点和向量的坐标.
【答案】＝（－1，2）
【解析】设点D坐标（x，y），由AD是BC边上的高可得⊥，且B、D、C共线，
∴
∴
∴
∴
解得
∴点D坐标为（1，1），＝（－1，2）.
38.如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点，＝＝，记＝a，＝b.试用向量a，b表示.
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【解析】 因为＝＝(－)＝(－a－b)，＝＝－b，
所以＝－＝(－a－b)－＝(b－a).
39.已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β.
【解析】 如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°，
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以OA，OB为邻边作?OACB，则＝a＋b，＝－＝a－b，＝＝a.
因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，
即a－b与a的夹角β＝60°.
因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，所以OC⊥AB.所以∠COA＝90°－60°＝30°，
即a＋b与a的夹角α＝30°，所以α＋β＝90°.
40.已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R).
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
【证明】 (1)若m＋n＝1，
则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，
∴－＝m(－)，
即＝m，∴与共线.
又∵与有公共点B，则A，P，B三点共线.
(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
∴－＝λ(－).
又＝m＋n.
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.
∵O，A，B不共线，∴，不共线，
∴∴m＋n＝1.
41.已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标.
【解析】 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20).
∴M(0,20).
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴＝(9，－18).
42.已知向量
（1）若，求的值；
（2）若求的值。
【答案】（1）（2）.
【解析】⑴因为，所以
于是，故
⑵由知，所以
从而，即，
于是.
又由知，，所以，或.
因此，或
43.在平面直角坐标系中，给定，点为的中点，点满足，点满足.
（1）求与的值；（2）若三点坐标分别为，求点坐标.
【答案】（1）；（2）点的坐标为.
【解析】（1）设
则
.
，，
故
，
而
由平面向量基本定理得，解得
.
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（2）、、，由于为中点，
.
设，又由（1）知
所以
可得，解之得
所以点的坐标为.
44.【2017年高考江苏卷】已知向量
（1）若a∥b，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
【答案】（1）；（2）时，取到最大值3；时，取到最小值．
【解析】（1）因为，，a∥b，所以．
若，则，与矛盾，故．
于是．又，所以．
（2）．
因为，所以，从而．
于是，当，即时，取到最大值3；
当，即时，取到最小值．
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精品试卷·第
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