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2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（人教A版必修3）
第三章
概率
考点一 |随机事件的概率
(1)需清楚频率是一个试验值，不同的随机试验次数可能出现不同的结果，而概率是一个稳定值，不会回随机试验的次数不同而改变.
(2)互斥事件与对立事件
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)之间是有联系与区别的，互斥事件是不可能同时发生的两个或多个事件，而对立事件是不能同时发生的，且必须有一个发生的两个事件．
(3)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求出时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率.
1．
选择题
1.在10个学生中，男生有x人.现从10个学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：
①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生.若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为( )
A.5
B.6
C.3或4
D.5或6
【答案】 C
【解析】 由题意知，10个学生中，男生人数少于5，但不少于3，∴x＝3或x＝4.故选C.
2..甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么( )
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．
3.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；
②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球；
④恰有1个白球与都是黄球．
其中互斥而不对立的事件共有( )
A．0组
B．1组
C．2组
D．3组
【答案】B
【解析】①中“至少有1个白球”与“至少有1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个黄球”可以同时发生，如恰有1个白球和1个黄球，①中的两个事件不是互斥事件．②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，则两个事件不互斥．③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都是指有1个白球和1个黄球，因此两个事件是同一事件．④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选B．
4.
每道选择题有4个选项，其中只有1个选
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)项是正确的，某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是，我每题都随机地选择其中一个选项，则一定有3道选择题结果正确.”这句话( )
A.正确
B.错误
C.不一定正确
D.以上都不对
【答案】 B
【解析】 虽然答对一道题的概率为，但实际问题中，并不意味着一定答对3道，可能全对，可能对3道，也可能全不对等.
5.下列结论正确的是( )
A.设事件A的概率为P(A)，则必有0＜P(A)＜1
B.事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效.现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D.某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
【答案】 C
【解析】 A项不正确，因为0≤P
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)(A)≤1；若事件A是必然事件，则P(A)＝1，故B项不正确；对于D项，奖券的中奖率为50%，若某人购买此奖券10张，则可能会有5张中奖，所以D项不正确.故选C.
6.【2016·天津高考】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝.
7.某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是( )
A.明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水
B.明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水
C.明天本地降水的可能性是80%
D.以上说法均不正确
【答案】 C
【解析】 选项A，B显然不正确，因为明天本
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)地降水的概率为80%不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%.故选C.2·1·c·n·j·y
8.【2019全国I理6】我国古代典籍《
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“—
—”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数有20个，则该重卦恰有3个阳爻的概率．故选A．
2．
填空题
9.某人进行打靶练习，共射击10次，其
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未打中．假设此人射击1次，则中靶的概率约为________；中10环的概率约为________．
【答案】0.9 0.2
【解析】中靶的频数为9，试验次数为10，所
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)以中靶的频率为＝0.9，所以此人射击1次，中靶的概率约为0.9，同理，中10环的概率约为0.2.
10.给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是.
其中正确命题有__________.
【答案】 ④
【解析】 ①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的.②③混淆了频率与概率的区别.④正确.
3．
解答题
11.袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果.
(1)从中任取1球；(2)从中任取2球.
【解析】 (1)条件为：从袋中任取1球.结果为：红、白、黄、黑4种.
(2)条件为：从袋中任取2球.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)若记(红，白)表示一次试验中取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种.
12.如图所示，有两个可以自由转
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
【解析】 列表如下：
A B
3
4
5
6
1
4
5
6
7
2
5
6
7
8
3
6
7
8
9
由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．
因为P(和为6)＝＝，所以甲、乙获胜的概率不相等．
所以这样的游戏规则不公平．如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游戏规则是公平的．21教育网
考点二 古典概型
(1)理解与掌握古典概型的条件与意义．
(2)会求古典概型的概率．
(3)能解决古典概型与统计的综合问题．
(4)注意区分有放回抽取时每次抽取之后总体个数不变，无放回抽取时每次抽取之后总体个数减少．
1．
选择题
1.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】掷两颗均匀的骰子的所有基本事件有种，点数之和为5的有4种，所以所求概率为．
2.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率
3.从中任取个不同的数，则取出的两个数之差的绝对值为的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】任取两个不同的数有共6种，两个数之差的绝对值为2的有
，故.
4.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设2名男同学为女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有，共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有，共3种可能，则选中的2人都是女同学的概率为，故选D．
5.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】本题主要考查古典概率的求解，首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式即可求解．
【答案】B
【解析】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，
则从这5只中任取3只的所有取法有，，共10种．
其中恰有2只做过测试的取法有，共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为，故选B．
6.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（
）2-1-c-n-j-y
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，21世纪教育网随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故所求概率为，故选C．21教育名师原创作品
7.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（
）
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【答案】C
【解析】若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球；A：由于抽到的两个球是红球和黑球的次数是奇数还是偶数无法确定，故无法判定乙盒和丙盒中异色球的大小关系，而抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故选C.
8.【2017年高考山东卷理数】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（
）
A．
B．21世纪教育网
C．
D．
【答案】C
【解析】本题对古典概型和对立事件的概率考查.标有的张卡片中，标奇数的有张，标偶数的有张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是，故选C．
9.【2017年高考天津卷文数】有5支彩
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】本题主要考查古典概型及其概率计算.选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率．故选C．
10.【2017年高考全国Ⅱ卷文数】从分别写
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：
1
2
3
4
5
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
总计有25种情况，满足条件的有10种．所以所求概率为．
11.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )21·cn·jy·com
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】 首先要弄清楚“心
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)有灵犀”的实质是|a－b|≤1，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得，基本事件的总数有36种.因此他们“心有灵犀”的概率为P＝＝.【版权所有：21教育】
12.【2017山东】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】不放回的抽取2次有，如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
可知与是不同，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同有=40，所求概率为．
2．
填空题
13.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是
．
【答案】
【解析】
将先后两次点数记为，则基本事件共有（个），其中点数之和大于等于有，共种，则点数之和小于共有种，所以概率为．
14.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为________.
【答案】
【解析】 用A，B，C表示三名男同学，用a，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种，2名都是女同学的选法为ab，ac，bc，共3种，故所求的概率为＝.
3．
解答题
15.【2019年高考天津卷文数】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为．享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
员工项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
【分析】本题主要考查随机抽样、用列举
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．21cnjy.com
【解析】（1）由已知，老、中、青员工人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．
（2）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为，共15种．
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
，共11种．
所以，事件M发生的概率．
【答案】（1）应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（2）（i）见解析，（ii）．
考点三
几何概型
(1)判断一个概率模型是否为几何概型，必须要判断所给的试验中基本事件是否等可能发生，其个数是否是无限．www.21-cn-jy.com
(2)求解几何概型问题时，对于几何度量（长度
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、角度、面积或体积）的选取必须注意否则会造成错误的解答．会求长度、角度、面积、体积呈现的几何概型概率的计算.21
cnjy
com
1．
选择题
1.【2018年高考全国Ⅰ卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（
）【来源：21cnj
y.co
m】
A．p1=p2
B．p1=p3
C．p2=p3
D．p1=p2+p321世纪教育网版权所有
【答案】A
【解析】设，则有，从而可以求得的面积为，黑色部分的面积为
，其余部分的面积为，所以有，
根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A．
2.【2017年高考全国Ⅰ卷】如图，正方形A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（
）21·世纪
教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】法一：设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为．由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，故选B．www-2-1-cnjy-com
法二：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率满足，故选B．【出处：21教育名师】
3.【2016年全国I】某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，
且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得图：
由图得等车时间不超过10分钟的概率为．
4.【2016高考新课标2理数】从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（
）【来源：21·世纪·教育·网】
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影
中，由几何概型概率计算公式知，所以.故选C
.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
2．
填空题
5.【2017年高考江苏卷】记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是______________．21
cnjy
com
【答案】
【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是．
6.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是___________。
【答案】
【解析】若使两点间的距离为，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为．
7.在长为12
cm的线段AB上任取一点C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?).现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32
cm2的概率为________．
【答案】
【解析】 设AC＝x
cm(0由12x－x2<32，即(x－8)(x－4)>0，解得0由几何概型概率计算公式，得所求概率为＝.
8.已知在四棱锥P?ABCD中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O?ABCD的体积不小于的概率为________．
【答案】
【解析】当四棱锥O?ABCD的体
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)积为时，设O到平面ABCD的距离为h，则有×22×h＝，解得h＝.如图所示，在四棱锥P?ABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为.因为PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以＝，
又四棱锥P?ABCD与四棱锥P?EFGH相似，所以四棱锥O?ABCD的体积不小于的概率为
P＝＝3＝3＝.
9.在上随机地取一个数，则事件”直线与圆相交”发生的概率为
．
【答案】
【解析】
首先的取值空间的长度为2，由直线与圆相交，所
以，解得，所以得事件发生时的取值空间为，其长度
为，利用几何概型可知，所求概率为
.
10.【2019年高考全国Ⅱ卷】我
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．
【答案】
【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．
【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为，所以该站所有高铁平均正点率约为．
21世纪教育网
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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第三章
概率
考点一 |随机事件的概率
(1)需清楚频率是一个试验值，不同的随机试验次数可能出现不同的结果，而概率是一个稳定值，不会回随机试验的次数不同而改变.2·1·c·n·j·y
(2)互斥事件与对立事件之
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)间是有联系与区别的，互斥事件是不可能同时发生的两个或多个事件，而对立事件是不能同时发生的，且必须有一个发生的两个事件．21
cnjy
com
(3)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求出时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率.
1．
选择题
1.在10个学生中，男生有x人.现从10个学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：
①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生.若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为( )
A.5
B.6
C.3或4
D.5或6
2..甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么( )
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
3.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；
②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球；
④恰有1个白球与都是黄球．
其中互斥而不对立的事件共有( )
A．0组
B．1组
C．2组
D．3组
4.
每道选择题有4个选项，其中只有1个选项
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是正确的，某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是，我每题都随机地选择其中一个选项，则一定有3道选择题结果正确.”这句话( )
A.正确
B.错误
C.不一定正确
D.以上都不对
5.下列结论正确的是( )
A.设事件A的概率为P(A)，则必有0＜P(A)＜1
B.事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效.现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D.某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
6.【2016·天津高考】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( )
A． B． C． D．
7.某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是( )
A.明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水
B.明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水
C.明天本地降水的可能性是80%
D.以上说法均不正确
8.【2019全国I理6】我国古代典籍《周
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“—
—”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（
）21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
2．
填空题
9.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未打中．假设此人射击1次，则中靶的概率约为________；中10环的概率约为________．
10.给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是.
其中正确命题有__________.
3．
解答题
11.袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果.
(1)从中任取1球；(2)从中任取2球.
12.如图所示，有两个可以自由转动的均匀转
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)盘A，B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
考点二 古典概型
(1)理解与掌握古典概型的条件与意义．
(2)会求古典概型的概率．
(3)能解决古典概型与统计的综合问题．
(4)注意区分有放回抽取时每次抽取之后总体个数不变，无放回抽取时每次抽取之后总体个数减少．
1．
选择题
1.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（
）
A．
B．
C．
D．
2.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（
）21·世纪
教育网
A．
B．
C．
D．
3.从中任取个不同的数，则取出的两个数之差的绝对值为的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
4.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（
）www-2-1-cnjy-com
A．
B．
C．
D．
5.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
6.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
7.【2016年高考北京理数】袋中装
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（
）
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
8.【2017年高考山东卷理数】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（
）21教育名师原创作品
A．
B．21世纪教育网
C．
D．
9.【2017年高考天津卷
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)文数】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
10.【2017年高考全国Ⅱ卷文数】从
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
11.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )21教育网
A.
B.
C.
D.
12.【2017山东】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（
）21·cn·jy·com
A．
B．
C．
D．
2．
填空题
13.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是
．
14.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为________.
3．
解答题
15.【2019年高考天津卷文数】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为．享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
员工项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
考点三
几何概型
(1)判断一个概率模型是否为几何概型，必须要判断所给的试验中基本事件是否等可能发生，其个数是否是无限．21世纪教育网版权所有
(2)求解几何概型问题时，对于几何度量（长
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)度、角度、面积或体积）的选取必须注意否则会造成错误的解答．会求长度、角度、面积、体积呈现的几何概型概率的计算.www.21-cn-jy.com
1．
选择题
1.【2018年高考全国Ⅰ卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（
）2-1-c-n-j-y
A．p1=p2
B．p1=p3
C．p2=p3
D．p1=p2+p3【来源：21cnj
y.co
m】
2.【2017年高考全国Ⅰ卷】如图，正
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（
）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
3.【2016年全国I】某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，【版权所有：21教育】
且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
4.【2016高考新课标2理数】从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（
）
A.
B.
C.
D.
2．
填空题
5.【2017年高考江苏卷】记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是______________．
6.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是___________。【来源：21·世纪·教育·网】
7.在长为12
cm的线段AB上任
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32
cm2的概率为________．21
cnjy
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8.已知在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O?ABCD的体积不小于的概率为________．
9.在上随机地取一个数，则事件”直线与圆相交”发生的概率为
．
10.【2019年高考全国
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)Ⅱ卷】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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