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2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（人教A版必修四）
第三章
三角恒等变换
考点
(1)会求两角和与差的正弦、余弦、正切值..
(2)
会求类似于15°，75°，105°等特殊角的正、余弦、正切值．
(3)
用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值.
逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值.
(4)
会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值，会用辅助角公式解决与三角函数相结合的综合类问题.
1．
选择题
1.
求值：（
）
A．
B．
C．
D．
2.已知，=，则=（
）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
3.已知点是角终边上一点，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
4.
在平面直角坐标系中，已知点，，则（
）
A．1
B．
C．
D．2
5.
已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
6.
已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
7.
若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
8.
的值为（
）
A．
B．1
C．
D．2
9.
已知为第四象限角，，则（
）
A．
B．
C．
D．
10.
已知，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
11.
若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
12.
已知sin
α=，α∈（π，），则tan等于（ ）
A．－2
B．
C．或2
D．－2或
13.设，，且tan=，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14.已知角?角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，角的终边在第四象限，角的终边绕原点顺时针旋转后与重合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
15.已知α?β为三角形的两个内角，cosα=，sin(α+β)=，则β=（
）
A．
B．
C．或
D．或
16.函数，则关于函数性质说法正确的是（
）
A．周期为
B．在区间上单调递增
C．对称中心为(k∈Z)
D．其中一条对称轴为x=
2．
填空题
17.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数的最小值为___________．
18.【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
19.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知，则__________．
20.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知，，则__________．
21.函数()的最大值是
.
22.已知α，β均为锐角，tan
α＝，tan
β＝，则α＋β＝______
23.若cos(α－β)＝，cos
2α＝，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________.
24.【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数，则的最小值是_____________．
25.【2019年高考江苏卷】已知，则的值是
.
26.已知向量，，若，则________.
27.已知，若，则_________.
28.已知函数在上单调函数，则的最大值是______.
29.若，则_________.
30.曲线在处的切线的倾斜角为，则__________．
31.
函数在上的零点之和为____________.
3．
解答题
32.化简:
33.已知是一元二次方程的2个根，求的值.
34.
求证：（1）；
（2）.
35.求函数的最小正周期．
36.设函数．
（1）求；
（2）令，若任意、，恒有，求的值．
37.已知函数.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间.
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精品试卷·第
2
页
（共
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2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（人教A版必修四）
第三章
三角恒等变换
考点
(1)会求两角和与差的正弦、余弦、正切值..
(2)
会求类似于15°，75°，105°等特殊角的正、余弦、正切值．
(3)
用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值.
逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值.
(4)
会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值，会用辅助角公式解决与三角函数相结合的综合类问题.
1．
选择题
1.
求值：（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】用诱导公式及两角和的余弦公式求解.
【解析】
故选：A.
2.已知，=，则=（
）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【答案】A
【分析】先根据和=求出的值，代入两角和的余弦公式即可．
【解析】因为，=，所以，
所以．
故选：A．
3.已知点是角终边上一点，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由三角函数的定义可得，，再利用两角差的余弦公式即可求解.
【解析】由题意可得，，
=+=××，
故选：A．
4.
在平面直角坐标系中，已知点，，则（
）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】利用两点间距离公式结合三角函数公式求解．
【解析】
点，，
故选：A．
5.
已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据两角差的余弦公式即可得出，然后即可求出的值.
【解析】
,
.故选：D.
6.
已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系可求得，由两角和差正切公式可求得结果.
【解析】
由得：，，
.
故选：D.
7.
若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数与对数的关系得到，，再根据两角差的正切公式计算可得；
【解析】
因为，，所以，.
所以
故选：B
8.
的值为（
）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【分析】根据正切的差角公式逆用可得答案．
【解析】
，
故选：B．
9.
已知为第四象限角，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由，得，且为第四象限角，得出结果.
【解析】，.又为第四象限角，所以.
故选：B.
【名师点睛】由余弦定理的二倍角公式得，要考虑为第几象限.
10.
已知，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知等式结合二倍角余弦公式，可得，根据的范围即可求，进而求.
【解析】由已知等式得：，
∴，又，
∴，即.
故选：C.
11.
若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式，先得到，再由二倍角公式与诱导公式，即可得出结果.
【解析】由可得，
所以.
故选：D.
12.
已知sin
α=，α∈（π，），则tan等于（ ）
A．－2
B．
C．或2
D．－2或
【解析】∵sin
α=，α∈（π，），∴cos
α=，∴tan
α=.∵α∈（π，），
∴∈（，），∴tan＜0.
tan
α=
=，即2tan2+
3tan－2=0，解得tan=－2，或tan=（舍去），故选A．
【答案】A
13.设，，且tan=，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】本题的考点二倍角的余弦，二倍角的正弦.
.tan=
因为，，所以．故选C．
14.已知角?角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，角的终边在第四象限，角的终边绕原点顺时针旋转后与重合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】绕原点顺时针旋转后与重合可令，
，的终边在第四象限为第一象限角，
.
【解析】因为绕原点顺时针旋转后与重合，所以可令，
因为且的终边在第四象限，所以为第一象限角，所以，所以.
故选：C.
【名师点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能够根据及的终边在第四象限判断出为第一象限角.
15.已知α?β为三角形的两个内角，cosα=，sin(α+β)=，则β=（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】A
【分析】根据角、的范围，利用同角公式求出和，再根据，利用两角差的余弦公式可求出结果.
【解析】因为，，所以，所以，
因为，且，所以，
所以，
所以
，
又，所以.故选：A
【名师点睛】求解关键有两个：①利用角的范围和三角函数值的范围判断出，进而求出；②将拆为，再利用两角差的余弦公式求解.www.21-cn-jy.com
16.函数，则关于函数性质说法正确的是（
）
A．周期为
B．在区间上单调递增
C．对称中心为(k∈Z)
D．其中一条对称轴为x=
【答案】B
【分析】化简函数，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【解析】由题意，函数，
可得函数的最小正周期为，所以A不正确；
由，可得，
由余弦函数在上为单调递增函数，
可得函数在区间为单调递增函数，所以B正确；
令，解得，
可得函数的对称中心为，所以C不正确；
令，解得，可得不是函数的对称轴，所以D不正确.
故选：B.
2．
填空题
17.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数的最小值为___________．
【答案】
【解析】，
，当时，，故函数的最小值为．
18.【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】
【解析】本题主要考查二倍角的三角函数公式?三角函数的最小正周期公式，函数，周期为.
19.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知，则__________．
【答案】
【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.，解方程得.故答案为.
20.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知，，则__________．
【答案】
【解析】本题主要考查三角恒等变换.因为，，
所以所以，
因此
21.函数()的最大值是
.
【答案】1
【解析】本题主要考查的是三角函数式的化
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)简及三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”化简三角函数的解析式的综合考查.【来源：21·世纪·教育·网】
，
由自变量的范围：可得：，当时，函数取得最大值1.
22.已知α，β均为锐角，tan
α＝，tan
β＝，则α＋β＝______
【答案】
因为tan
α＝，tan
β＝，所以tan(α＋β)＝＝＝1.
因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
23.若cos(α－β)＝，cos
2α＝，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________.
【答案】
【解析】 sin(α－β)＝－(－<α－β<0).sin
2α＝，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos
2αcos(α－β)＋sin
2αsin(α－β)
＝×＋×＝－，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
24.【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】，
所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为，函数的递增区间为，
所以当时，函数取得最小值，此时，
所以，故答案是.
25.【2019年高考江苏卷】已知，则的值是
.
【答案】
【解析】由，得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
26.已知向量，，若，则________.
【答案】2
【分析】由向量平行得，再由正切两角和公式计算即可.
【解析】由可得，，得，
而.故答案为：2.
27.已知，若，则_________.
【答案】
【分析】由给定条件，求出，把用表示出即可得解.
【解析】，有，又，则，
，，，
.
故答案为：
【名师点睛】给值求值的三角问题，探讨角的关系是解题的关键.
28.已知函数在上单调函数，则的最大值是______.
【答案】4
【分析】化简函数得到，然后由余弦函数的单调性求得的范围，得最大值．
【解析】由题可得，
由，得，
令，得，
故在单调，于是，得，
所以的最大值是4，故答案为：4．
29.若，则_________.
【答案】
【分析】利用两角和差的余弦公式及同角三角函数的基本关系即可求解；
【解析】
因为，所以.
即，
所以，
所以，
所以，
所以，故答案为：.
【名师点睛】利用两角和差的余弦公式展开后，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)根据平方差公式化简，再根据同角三角函数的基本关系化简即可求解，考查转化思想与运算能力，属于中档题.21世纪教育网版权所有
30.曲线在处的切线的倾斜角为，则__________．
【答案】
【分析】先求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解.
【解析】由题得，所以，
所以，
所以.故答案为：
【名师点睛】
方法点睛：三角恒等变换求值，常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法求解.21cnjy.com
31.
函数在上的零点之和为____________.
【答案】
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为，再由特殊角三角函数值可得或或或，求解即可.2·1·c·n·j·y
【解析】
，
令得，，
因为，所以
或或或，
解得.
故答案为：
3．
解答题
32.化简:
【答案】
【分析】利用和差化积公式直接化简.
【解析】
原式＝
.
33.已知是一元二次方程的2个根，求的值.
【答案】
【分析】利用和差化积公式，结合韦达定理直接化简求解.
【解析】
因为
是一元二次方程的2个根，所以，.
，
故答案为：.
34.
求证：（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）根据两角和与差的正弦公式展开，由右向左化简即可得证；
（2）结合（1）利用，，即可证明.
【解析】
（1）因为，，将以上两式的左右两边分别相加，得，即.
（2）由（1）可得.①
设，，那么，.
把，的值代入①，即得.
【名师点睛】
此题考查三角恒等变换，根据和差公式证明等式，关键在于熟练掌握和差公式的应用，准确变形.
35.求函数的最小正周期．
【答案】
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为，利用余弦函数的周期公式即可计算得解．
【解析】
先证明出，.
因为，
同理可证.
，
，
因此，原函数的最小正周期．
【名师点睛】本题考查余弦型函数最小正周期的求解，求解的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，本题中用到了积化和差公式，，在解题时应先给与证明.21·cn·jy·com
36.设函数．
（1）求；
（2）令，若任意、，恒有，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）计算出函数的最小正周期为，计算出的值，由此可求得所求代数式的值；
（2）求得，根据题中条件得出，利用诱导公式可得出，结合等式可求得结果.
【解析】
（1）函数的最小正周期为，
则，
又，因此，；
（2），
则对任意的、，恒有，
，则，
令，，可得，，
因此，.
【名师点睛】
关键点点睛：本题的第（1）问在求解函数值时，要分析出函数的最小正周期为，计算出的值，再结合函数的周期进行求解；21教育网
本题的第（2）问要将代数式变形为，并由，求得、的值，结合题中信息求解.
37.已知函数.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）化简函数，把代入即可求值．
（２）根据正弦的单调递增区间为，单调递减区间为代入即可求解．
【解析】
（1）因为
，
所以.
（2）由（1），知，
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
令，
解得，
所以函数的单调递减区间为.
【名师点睛】
本题考查了用和差化积公式化简求值以及函数的单调区间求法，解决此题熟记正弦函数的性质，属于基础题．
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精品试卷·第
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