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2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（人教A版必修四）
第一章
三角函数
考点
(1)理解与掌握正角、负角、零角的概念，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)掌握用集合的形式表示终边相同的角及象限角，并会判断角的终边所在的象限，可以从六十进制与十进制区别角度与弧度制，记住常见特殊角对应的弧度制，记住弧长、扇形面积公式，会求与弧长、扇形有关的长度与面积.2·1·c·n·j·y
(2)理解与掌握任意角的正弦函数、余弦
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)函数、正切函数的定义及求解，掌握角的终边上点的坐标的特点，记住三任意角的三角函数值的符号，理解有向线段的意义，体会数与形的结合，将三角函数值转化为有向线段，会用三角函数线比较三角函数值的大小及角的大小．
(3)理解并掌握同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件及公式的变形，能在此基础上进行化简、求值及证明的相关问题的解决．21教育网
(4)诱导公式是解决三角函数问题的基本工具，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)因此要求会使用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，观察公式的结构特征，记住“奇变偶不变，符号看象限”的原则，准确的应用公式完成与三角函数有关的计算问题【来源：21·世纪·教育·网】
（5）三角函数的图象与性质中要
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)求会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象，要特别关注非正常周期的五点.正切函数要求关注定义域，会用“三点两线法”画正切函数的图象.掌握三类函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性、最值等相关的性质，会利用三角函数的相关性质解决问题.
（6）正弦型函数的图象与性质是本章的难点，要求会根据图象求函数的解析式，会根据图象研究函数的相关性质，同时会应用相关性质解决与三角函数有关的问题.
1．
选择题
1．下列说法正确的是（
）
A．终边相同的角一定相等
B．钝角一定是第二象限角
C．第一象限角一定不是负角
D．小于的角都是锐角
【答案】B
【分析】利用角的概念及其推广对每一个选项逐一分析判断得解．
【解析】终边相同的角不一定相等，所以选项A错误；
钝角一定是第二象限角，所以选项B正确；
第一象限角可能是负角，如是第一象限的角，且是负角，所以选项C错误；
小于的角不都是锐角，如，所以选项D错误．故选：B
2.
给出下列3个结论，其中正确的个数是（
）
①是第三象限角；②是第二象限角；③.
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】C
【分析】根据象限角的定义，以及角度制和弧度制互化公式，判断选项
【解析】①，所以是第三象限角，正确；②，所以是第三象限角，故不正确；③，故不正确.故选：C【来源：21cnj
y.co
m】
3.
．终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用终边相同的角求解.
【解析】终边为第一象限的平分线的角的集合,①
终边为第三象限的平分线的角的集合是②,
由①②得故选：B
4.
已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，利用侧面展开图是一个半圆，求得与之间的关系，代入表面积公式即可得解.【出处：21教育名师】
【解析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，
圆锥的侧面展开图是一个半圆，，
圆锥的表面积为，，
，
故圆锥的底面半径为，故选：C.
【名师点睛】本题考查圆锥的表面积公
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)式及圆锥的侧面展开图，解题的关键是利用侧面展开图时一个半圆，求得母线长与半径的关系，考查学生的计算能力，属于一般题.【版权所有：21教育】
5.
若，则角是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】D
【分析】根据已知直接判断即可.
【解析】由可得是第三象限或第四象限角，由可得是第二象限或第四象限角，
故角是第四象限角.故选：D.
6.
已知第二象限角的终边上有两点，，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知等式可求得，根据终边上的点和三角函数定义可表示出，从而求得，代入可求得结果.
【解析】由得：，由三角函数定义知：，解得：，，.故选：D.
7.
设，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过中间值0和1与进行比较，然后可得的大小关系.
【解析】因为，所以；因为，所以；
因为，所以.故选：B.
8.
若为的一个内角，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先分析得到，再求再开方即得解.
【解析】因为，所以，
所以.,
所以.故选：D
【名师点睛】看到，要联想到解题.
9.
设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作出角的三角函数线，利用三角函数线进行比较即可．
【解析】作出角的三角函数线如下图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由图象知：，又，.故选：B.
10.
在
ABC中，已知，，则cosC=（
）
A．
B．
C．或
D．
【答案】A
【分析】根据，，结合函数值确定角的范围，分别求得，再由求解.
【解析】在
ABC中，∵，∴，∴.
∵，∴或(舍去)，∴，
∴，.
故选：A.
11.
已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】切化弦可得，将利用平方和为1转化为，代入计算可得结果.
【解析】，则.
.
故选：D.
12.
已知则（
）
A．2
B．-2
C．
D．3
【答案】A
【分析】用诱导公式化简，平方后求得，求值式切化弦后易得结论．
【解析】
即
，
故选：A．
13.
已知函数，若的图象过点，相邻对称轴的距离为，则的解析式可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由相邻对称轴的距离得的周期，进而求得，再由图象所过点求得即可得解.
【解析】因的图象相邻对称轴的距离为，则的周期，，
又的图象过点，则，而，则，
，取A=1，则选项A满足.
故选：A.
14.
若函数，则（
）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】由分段函数的解析式，先计算，再计算，结合诱导公式、对数的运算性质可得所求值．
【解析】函数,则
所以故选：D
15.
已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设，将问题转化为在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，结合函数的图像可得答案.
【解析】由，设；
在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，即在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点.作出的图像如图.21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
则，解得.故的取值范围是.
故选：A
【名师点睛】本题考查根据余弦型函数的图像性质求参数的范围问题，解答本题的关键是将问题转化为在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，结合函数的图像求解，属于中档题.21cnjy.com
16.
函数部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．若把的图象平移个单位可得到的图象，则
B．，恒成立
C．对任意，，，，
D．若，则的最小值为
【答案】D
【分析】由图象求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【解析】由图象可得，函数的最大值为，即，
又由，即，且，所以，所以，
因为且为单调递减时的零点，所以，
可得，，由图象知，可得，
又由，所以，所以，
对于A中，因为的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，
可得，所以A错；
对于B中，令，，得对称轴为，，则B错；
对于C中，函数单调递增区间的长度，最大为，故C错；
对于D中，由，因为，所以且，设，使最小，即绝对值最小的零点，令，，可得，，
由时，，所以，所以D正确.故选：D.
【名师点睛】
解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.21·cn·jy·com
2．
填空题
17.若α的终边在第一、第三象限的角平分线上，则2α的终边在___________．
【答案】y轴的非负半轴上
【分析】根据α的终边在第一、第三象限的角平分线上，利用终边相同的角求解.
【解析】因为α的终边在第一、第三象限的角平分线上，所以α＝45°＋k·180°，k∈Z，
所以2α＝2×45°＋2k·180°＝90°＋k·360°，k∈Z.
所以2α的终边在y轴的非负半轴上故答案为：y轴的非负半轴上.
18．已知点是角终边上的一点，则_________．
【答案】
【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式即可求解.
【解析】点是角终边上的一点，则
.故答案为：
19．已知角的终边经过点，若，则___________.
【答案】
【分析】根据诱导公式化简，再根据本三角函数的定义建立方程求解即可.
【解析】由题意，角的终边经过点，可得.
又由，得，根据三角函数的定义，可得，解得.
故答案为：.
20.点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，点的横坐标为___________.
【答案】
【分析】利用两角和的余弦可求的横坐标.
【解析】设以射线为终边的角为，则，
设以射线为终边的角为，则，
故，
故的横坐标为.故答案为：.
21．如果角满足条件，则所在象限是________.
【答案】第二象限或第四象限
【分析】本题首先可通过解得或，然后对、分别进行讨论，即可得出结果.
【解析】因为，，，所以，
解得或，若，，，此时所在象限是第四象限；
若，，，此时所在象限是第二象限，
故答案为：第二象限或第四象限.
22．若，且有，则的取值范围是____________．
【答案】
【分析】由知：任意角的范围，再根据给定范围确定k值，求的取值范围.
【解析】由知：或，，
又∵，∴，即或.
故答案为：
23．若，则____________．
【答案】
【分析】利用同角的三角函数的平方关系可求的值,
【解析】，故，
因为，故，故，
故答案为：.
24.方程在上的解的个数为______.
【答案】3
【分析】先求出解的一般形式，再根据范围可求解的个数.
【解析】因为，故，
故，令，故，故答案为：3.
25．若，则_______________________.
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.
【解析】因为，
所以.
故答案为：
26．若，，则___________.
【答案】
【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系中的平方和关系进行求解即可.
【解析】因为，所以，可得，
因为，所以，所以，
故答案为：
3．
解答题
27.
化简：.
【答案】－.
【分析】利用诱导公式化简可求值.
【解析】
原式＝
＝
＝＝－.
28.
已知cos＝2sin，求的值．
【答案】－.
【分析】首先由条件求得，再代入诱导公式，化简求值.
【解析】因为cos＝2sin，
所以，所以tan＝2.
所以
＝＝
＝＝
＝
＝＝.
29.
已知角的终边在第三象限，，证明：．
【答案】证明见解析.
【分析】求出，，即得证.
【证明】
由题可知
．
．
为第三象限角，为第三或第四象限角．
又，为第四象限角，
．
．
．
所以得证.
【名师点睛】本题易求出，根据已知求出为第三或第四象限角，还要根据，得到为第四象限角，从而得到.
30.
已知函数(其中，)的图象如图所示.
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（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图象，求当时，函数的单调递增区间.21·世纪
教育网
【答案】（1）；（2）增区间为.
【分析】
（1）由函数最值求得,由周期得到，再将特殊点代入解析式可求，即可得到函数解析式；
（2）由图像变换得到函数解析式，然后利用正弦函数图像的性质可得函数在上的单调增区间，对
取值即可得当时的单调递增区间.www-2-1-cnjy-com
【解析】
（1）根据函数(，，)的部分图象，
可得，，∴.
再根据五点法作图，，∴，
∴.
（2）若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，
得到函数的图象，
对于函数，令，求得，
可得的增区间为，.
结合，可得增区间为.
31.
已知函数．
（1）求的最小正周期和对称轴；
（2）将横坐标缩短为原来的，纵坐标变为原来的2倍得到函数，求的单调递增区间和单调递减区间．
【答案】（1）；；（2）递增区间为；递减区间为.
【分析】
（1）利用正弦型函数周期公式和对称轴方程的求法求解即可；
（2）先利用图象变换求出，再利用正弦型函数单调性的求法求解即可.
【解析】
（1）由已知，的最小正周期，
令，得，
所以的对称轴为.
（2）由题意，，
令，得，
令，得，
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.
32.设函数的图象关于直线对称，其中．
（1）求的最小正周期；
（2）若函数的图象过点，求在上的值域；
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由函数图象关于直线对称，可得的值，进而得出函数的最小正周期；
（2）由函数的图象过点，求出的值，由，结合正弦函数的图象和性质得出函数的值域．
【解析】
（1）函数的图象关于直线对称，
则，解得
又，则当时，
即，的最小正周期为；
（2）函数的图象过点，
则，解得
故
，，
则，
在上的值域为．
33.
函数（其中
，，）的部分图象如图所示，先把函数
的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数的图象.2-1-c-n-j-y
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（1）求函数图象的对称中心.
（2）当时，求
的值域.
（3）当时，方程
有解，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）观察图象，由函数最值求出，由周期求出，再将代入得出
，即可求出函数的解析式，进而得出函数的解析式以及对称中心；21
cnjy
com
（2）由的范围结合余弦函数的性质可得的值域；
（3）将已知方程参变分离，利用对勾函数的性质求出值域，可得实数m的取值范围．
【解析】
（1）根据图象可知，，
∴，∴，
，
将代入得，
，即，解得
，，
∵，∴，
，
∴.
函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得
，曲线再向左平移个单位长度，再向上平移1个单位得
令，解得
∴此函数图象的对称中心为.
（2）当时，
，
，即
的值域为.
（3），
令，由（2）知，
，
因此m的取值范围为.
【名师点睛】本题考查三角函数图象的应用，考查
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)余弦函数的性质，考查有解问题的应用，解决本题的关键点是将已知方程化简，参变分离，利用对勾函数的性质求出对应函数的值域，进而得出参数的取值范围，考查学生计算能力，属于中档题．www.21-cn-jy.com
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第一章
三角函数
考点
(1)理解与掌握正角、负角、零角的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)概念，掌握用集合的形式表示终边相同的角及象限角，并会判断角的终边所在的象限，可以从六十进制与十进制区别角度与弧度制，记住常见特殊角对应的弧度制，记住弧长、扇形面积公式，会求与弧长、扇形有关的长度与面积.21cnjy.com
(2)理解与掌握任意角的正
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)弦函数、余弦函数、正切函数的定义及求解，掌握角的终边上点的坐标的特点，记住三任意角的三角函数值的符号，理解有向线段的意义，体会数与形的结合，将三角函数值转化为有向线段，会用三角函数线比较三角函数值的大小及角的大小．
(3)理解并掌握同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件及公式的变形，能在此基础上进行化简、求值及证明的相关问题的解决．21·cn·jy·com
(4)诱导公式是解决三角函数问
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)题的基本工具，因此要求会使用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，观察公式的结构特征，记住“奇变偶不变，符号看象限”的原则，准确的应用公式完成与三角函数有关的计算问题www.21-cn-jy.com
（5）三角函数的图象与性质中要求会用“五点法
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)”画出正弦函数、余弦函数的图象，要特别关注非正常周期的五点.正切函数要求关注定义域，会用“三点两线法”画正切函数的图象.掌握三类函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性、最值等相关的性质，会利用三角函数的相关性质解决问题.
（6）正弦型函数的图象与性质是本章的难点，要求会根据图象求函数的解析式，会根据图象研究函数的相关性质，同时会应用相关性质解决与三角函数有关的问题.
1．
选择题
1．下列说法正确的是（
）
A．终边相同的角一定相等
B．钝角一定是第二象限角
C．第一象限角一定不是负角
D．小于的角都是锐角
2.
给出下列3个结论，其中正确的个数是（
）
①是第三象限角；②是第二象限角；③.
A．3
B．2
C．1
D．0
3.
．终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
4.
已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（
）
A．
B．
C．
D．
5.
若，则角是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
6.
已知第二象限角的终边上有两点，，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
7.
设，则（
）
A．
B．
C．
D．
8.
若为的一个内角，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
9.
设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
10.
在
ABC中，已知，，则cosC=（
）
A．
B．
C．或
D．
11.
已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
12.
已知则（
）
A．2
B．-2
C．
D．3
13.
已知函数，若的图象过点，相邻对称轴的距离为，则的解析式可能为（
）
A．
B．
C．
D．
14.
若函数，则（
）
A．
B．
C．1
D．
15.
已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
16.
函数部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（
）
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A．若把的图象平移个单位可得到的图象，则
B．，恒成立
C．对任意，，，，
D．若，则的最小值为
2．
填空题
17.若α的终边在第一、第三象限的角平分线上，则2α的终边在___________．
18．已知点是角终边上的一点，则_________．
19．已知角的终边经过点，若，则___________.
20.点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，点的横坐标为___________.
21．如果角满足条件，则所在象限是________.
22．若，且有，则的取值范围是____________．
23．若，则____________．
24.方程在上的解的个数为______.
25．若，则_______________________.
26．若，，则___________.
3．
解答题
27.
化简：.
28.
已知cos＝2sin，求的值．
29.
已知角的终边在第三象限，，证明：．
30.
已知函数(其中，)的图象如图所示.
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（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图象，求当时，函数的单调递增区间.21世纪教育网版权所有
31.
已知函数．
（1）求的最小正周期和对称轴；
（2）将横坐标缩短为原来的，纵坐标变为原来的2倍得到函数，求的单调递增区间和单调递减区间．
32.设函数的图象关于直线对称，其中．
（1）求的最小正周期；
（2）若函数的图象过点，求在上的值域；
33.
函数（其中
，，）的部分图象如图所示，先把函数
的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数的图象.21教育网
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（1）求函数图象的对称中心.
（2）当时，求
的值域.
（3）当时，方程
有解，求实数m的取值范围.
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