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专题03
解三角形【知识梳理】
一、正弦定理和余弦定理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见变形
(1)a＝2Rsin
A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin
B＝bsin
A，bsin
C＝csin
B，asin
C＝csin
A
cos
A＝；
cos
B＝；
cos
C＝
2.S△ABC＝absin
C＝bcsin
A＝acsin
B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin
A
bsin
A
a≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
【例题1】在中，分别是内角的对边，，，当内角最大时，的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
已知等式利用正弦定理化简得：，
两边平方得：，即，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，
则的最小值为，此时C最大，且，
则的面积，
【例题2】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且，，则（
）
A．1
B．
C．1或
D．
【答案】C
【详解】
∵，
∴．
①当时，为直角三角形，且．
∵，，
∴．
②当时，则有，
由正弦定理得．
由余弦定理得，
即，
解得．
综上可得，1或
【跟踪训练1】在中，，且的面积为，则外接圆的半径为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【跟踪训练2】在中，角、、对边分别为、、，若，，且，则的周长是（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】中，角、、的对边分别为、、，且，若的面积为，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、解三角形的实际应用
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
【例题1】中，角，，的对边分别为，，，若，则的形状为（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】
因为，所以，
所以，所以，所以三角形是等腰三角形，
故选：B.
【例题2】如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东方向，后来船沿南偏东的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北方向，则这时船与灯塔的距离是：
A．10km
B．20km
C．
D．
【答案】C
【详解】
由题意，可得，即，
在中，利用正弦定理得，
即这时船与灯塔的距离是，故选C．
【跟踪训练1】在一座50m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定CD＝1km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠DCA＝45°，∠ACB＝60°，则A、B两点距离是（
）
A．km
B．km
C．km
D．km
【跟踪训练3】如图所示，已知灯塔A在观察站C的北偏东20°，距离为，灯塔B在观察站C的南偏东40°，距离为，则灯塔A与灯塔B的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
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专题03
解三角形【知识梳理】
一、正弦定理和余弦定理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见变形
(1)a＝2Rsin
A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin
B＝bsin
A，bsin
C＝csin
B，asin
C＝csin
A
cos
A＝；
cos
B＝；
cos
C＝
2.S△ABC＝absin
C＝bcsin
A＝acsin
B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin
A
bsin
Aa≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
【例题1】在中，分别是内角的对边，，，当内角最大时，的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
已知等式利用正弦定理化简得：，
两边平方得：，即，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，
则的最小值为，此时C最大，且，
则的面积，
【例题2】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且，，则（
）
A．1
B．
C．1或
D．
【答案】C
【详解】
∵，
∴．
①当时，为直角三角形，且．
∵，，
∴．
②当时，则有，
由正弦定理得．
由余弦定理得，
即，
解得．
综上可得，1或
【跟踪训练1】在中，，且的面积为，则外接圆的半径为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】C
【详解】
由题意，，解得，
由余弦定理得：，故，
设外接圆的半径为R，
由正弦定理得：，故R=2.
【跟踪训练2】在中，角、、对边分别为、、，若，，且，则的周长是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，，
，，则，，
，，由余弦定理得，即，
，，因此，的周长是.
【跟踪训练3】中，角、、的对边分别为、、，且，若的面积为，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，所以，，
即，，
，则，得，，解得.
由三角形的面积公式得，，
由余弦定理得，
即，，因此，的最小值为.
二、解三角形的实际应用
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
【例题1】中，角，，的对边分别为，，，若，则的形状为（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】
因为，所以，
所以，所以，所以三角形是等腰三角形，
故选：B.
【例题2】如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东方向，后来船沿南偏东的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北方向，则这时船与灯塔的距离是：
A．10km
B．20km
C．
D．
【答案】C
【详解】
由题意，可得，即，
在中，利用正弦定理得，
即这时船与灯塔的距离是，故选C．
【跟踪训练1】在一座50m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
如图所示，
由已知可得：，
塔高为
【跟踪训练2】如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定CD＝1km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠DCA＝45°，∠ACB＝60°，则A、B两点距离是（
）
A．km
B．km
C．km
D．km
【答案】C
【详解】
由题意可得，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
在中，由余弦定理得
，
所以
km.
【跟踪训练3】如图所示，已知灯塔A在观察站C的北偏东20°，距离为，灯塔B在观察站C的南偏东40°，距离为，则灯塔A与灯塔B的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
在中，，，
，
,
所以.
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