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专题04
复数【知识梳理】
一、复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝
【例题1】复数的虚部为（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
复数的虚部为:
2
故选：A
【例题2】若(a－2)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝（
）
A．0
B．2
C．5
D．1
【答案】D
【详解】
由，得解得
所以a2＋b2＝1．
故选：D
【跟踪训练1】复数，则复数的虚部是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
复数的虚部为．
故选：D．
【跟踪训练2】若复数(i为虚数单位)为纯虚数，则实数x的值为（
）
A．1
B．2
C．
D．1或
【答案】C
【详解】
因为复数(i为虚数单位)为纯虚数，
所以
，
解得，
故选：C
【跟踪训练3】复数为纯虚数的充要条件是（
）
A．
B．且
C．且
D．且
【答案】D
【详解】
要使得复数为纯虚数，则，
若，则；若，则.
所以，且.
故选：D.
二、复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
【例题1】已知复数，满足，复数z的实部为，则复数z的虚部是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
因为复数z的实部为，
所以，
因为，
所以，
解得，（舍去），
所以复数z的虚部．
故选：A
【例题2】已知复数，，在复平面内，复数和所对应的两点之间的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，在复平面内对应的点为，
，在复平面内对应的点为，
所以两点之间的距离为.
故选：C
【跟踪训练1】设复数满足，在复平面上对应的点为，则点不可能在（
）
A．二?四象限
B．一?三象限
C．实轴
D．虚轴
【答案】B
【详解】
设复数，由题意得：，
所以，整理可得：，
所以当时，，此时在复平面上对应的点为位于第四象限，
当时，，此时在复平面上对应的点为位于第二象限，
所以点不可能在一?三象限.
故选：B
【跟踪训练2】已知复数z满足，则的最小值为（
）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】B
【详解】
设，由可得，
，其表示圆上的动点到定点的距离，显然最小值为.
故选：B.
【跟踪训练3】已知复数z满足，则（i为虚数单位）的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
因为，所以对应的点在以原点为圆心，2，3为半径的圆环内，如图，记对应的点为，则，，
，由图可得：，，
所以的取值范围是．
故选：D．
三、复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝
＝(c＋di≠0).
【例题1】若复数满足，则在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【详解】
由题得，
所以，
复数z对应的点为，在第一象限.
故选：A
【例题1】已知复数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
所以
故选：C
【跟踪训练1】若复数，则（
）
A．
B．
C．
D．10
【答案】C
【详解】
.
故选：C.
【跟踪训练2】若，则（
）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【详解】
由题意，，
∴．
故选：D.
【跟踪训练3】已知复数，为虚数单位，是的共轭复数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，因为，所以，
故，
故选：B.
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复数【知识梳理】
一、复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝
【例题1】复数的虚部为（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
复数的虚部为:
2
故选：A
【例题2】若(a－2)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝（
）
A．0
B．2
C．5
D．1
【答案】D
【详解】
由，得解得
所以a2＋b2＝1．
故选：D
【跟踪训练1】复数，则复数的虚部是（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】若复数(i为虚数单位)为纯虚数，则实数x的值为（
）
A．1
B．2
C．
D．1或
【跟踪训练3】复数为纯虚数的充要条件是（
）
A．
B．且
C．且
D．且
二、复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
【例题1】已知复数，满足，复数z的实部为，则复数z的虚部是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
因为复数z的实部为，
所以，
因为，
所以，
解得，（舍去），
所以复数z的虚部．
故选：A
【例题2】已知复数，，在复平面内，复数和所对应的两点之间的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，在复平面内对应的点为，
，在复平面内对应的点为，
所以两点之间的距离为.
故选：C
【跟踪训练1】设复数满足，在复平面上对应的点为，则点不可能在（
）
A．二?四象限
B．一?三象限
C．实轴
D．虚轴
【跟踪训练2】已知复数z满足，则的最小值为（
）
A．2
B．
C．
D．3
【跟踪训练3】已知复数z满足，则（i为虚数单位）的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
三、复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝
＝(c＋di≠0).
【例题1】若复数满足，则在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【详解】
由题得，
所以，
复数z对应的点为，在第一象限.
故选：A
【例题2】已知复数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
所以
故选：C
【跟踪训练1】若复数，则（
）
A．
B．
C．
D．10
【跟踪训练2】若，则（
）
A．1
B．
C．2
D．
【跟踪训练3】已知复数，为虚数单位，是的共轭复数，则（
）
A．
B．
C．
D．
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