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专题01
三角函数【知识梳理】
一、三角函数的概念
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝
rad；1
rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝(x≠0).
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.
【例题1】已知角的角度数是50°，则角的弧度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
,
角的弧度数是.
【例题2】下列各对角中，终边相同的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
若终边相同，则两角差,或.
.，故选项错误;
.,故选项错误;
.,故选项正确;
.,故选项错误.
【跟踪训练1】已知扇形的圆心角为，周长为，则扇形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
设该扇形的半径为，弧长为，则，且，所以有，
所以，该扇形的面积为.
【跟踪训练2】已知是第二象限的角，那么是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第二象限角
D．第一或第三象限角
【答案】D
【详解】
是第二象限的角，
则，
所以，
当时，，属于第一象限角，
当时，，属于第三象限角，
当时，，属于第一象限角，
所以是第一或第三象限角，
【跟踪训练3】工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为，外圆半径为，内圆半径为.则制作这样一面扇面需要的布料为（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
解：根据题意，由扇形的面积公式可得：
制作这样一面扇面需要的布料为.
二、同角三角函数基本关系式与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cos__α
cos__α
余弦
cos
α
－cos__α
cos__α
－cos__α
sin__α
－sin__α
正切
tan
α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α?β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin
2α＝2sin__αcos__α.
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan
2α＝.
3.函数f(α)＝asin
α＋bcos
α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
【例题1】把角终边逆时针方向旋转后经过点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由题意可知，所以.
【例题2】已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由题意，，
则
．
【跟踪训练1】已知角的终边过点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
角的终边过点，则，
【跟踪训练2】已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，故选C.
【跟踪训练3】二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令.现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动所到达的一个位置.根据描述，从冬至到雨水对应地球在黄道上运动的弧度数为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
根据题意，立秋时夏至后的第三个节气，
故从从夏至到立秋对应地球在黄道上运行了.
故选：D
四、三角函数的图象与性质
1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
递增
区间
[2kπ－π，2kπ]
递减
区间
[2kπ，2kπ＋π]
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称
中心
(kπ，0)
对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ
周期性
2π
2π
π
2.三角函数的常用结论
(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得.
(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.
(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.
3.三角函数的两种常见变换
(1)y＝sin
x
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).
y＝sin
ωx
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).
【例题1】已知函数，当时，，，则下列结论正确的是（
）
A．函数的最小正周期为.
B．函数的图象的一个对称中心为
C．函数的图象的一条对称轴方程为
D．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到
【答案】D
【详解】
因为，所以，又，
所以或，因为，
所以的最小正周期为，所以，故A错误；
又，所以，又，所以，
所以；
令()，得()，
所以函数的对称中心为()，所以B错误；
由()，解得()，故C错误；
，向右平移单位长度得，故D正确.
故选：D.
【例题2】函数（其中，）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数的图象（
）
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】
由图象可知，，函数的最小正周期为，，
，
，，，得，，
，
因此，只需将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象.
故选：D.
【跟踪训练1】已知函数，则下列说法正确的是（
）
A．的最小正周期是
B．的值域是
C．直线是函数图像的一条对称轴
D．的递减区间是，
【答案】D
【详解】
函数
所以函数的最小正周期，所以选项A错误；
由解析式可知，所以的值域为，所以选项B错误；
当时，，，
不是函数图像的对称轴，所以选项C错误.
令，，
可得，，
的递减区间是，，所以选项D正确.
故选：D.
【跟踪训练2】若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
∵，
∴当时，此式的取值范围是，
而在上小于1，故排除A?B；
在上，∴不可能相等，所以排除D，
故选：C
【跟踪训练3】若将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移一个单位得到的函数的图象，函数（
）
A．图象关于点对称
B．最小正周期是
C．在上递增
D．在上最大值是
【答案】C
【详解】
若将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，
向下平移一个单位得到的函数的图象，则，
A.，则函数关于对称，故A错误，
B.函数的周期，故B错误，
C.当时，，此时函数为增函数，故C正确，
D.由C知当时，，此时函数无最大值，故D错误，
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三角函数【知识梳理】
一、三角函数的概念
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝
rad；1
rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝(x≠0).
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.
【例题1】已知角的角度数是50°，则角的弧度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
,
角的弧度数是.
【例题2】下列各对角中，终边相同的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
若终边相同，则两角差,或.
.，故选项错误;
.,故选项错误;
.,故选项正确;
.,故选项错误.
【跟踪训练1】已知扇形的圆心角为，周长为，则扇形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】已知是第二象限的角，那么是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第二象限角
D．第一或第三象限角
【跟踪训练3】工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为，外圆半径为，内圆半径为.则制作这样一面扇面需要的布料为（
）.
A．
B．
C．
D．
二、同角三角函数基本关系式与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cos__α
cos__α
余弦
cos
α
－cos__α
cos__α
－cos__α
sin__α
－sin__α
正切
tan
α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α?β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin
2α＝2sin__αcos__α.
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan
2α＝.
3.函数f(α)＝asin
α＋bcos
α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
【例题1】把角终边逆时针方向旋转后经过点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由题意可知，所以.
【例题2】已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由题意，，
则
．
【跟踪训练1】已知角的终边过点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令.现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动所到达的一个位置.根据描述，从冬至到雨水对应地球在黄道上运动的弧度数为
（
）
A．
B．
C．
D．
四、三角函数的图象与性质
1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
递增
区间
[2kπ－π，2kπ]
递减
区间
[2kπ，2kπ＋π]
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称
中心
(kπ，0)
对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ
周期性
2π
2π
π
2.三角函数的常用结论
(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得.
(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.
(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.
3.三角函数的两种常见变换
(1)y＝sin
x
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).
y＝sin
ωx
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).
【例题1】已知函数，当时，，，则下列结论正确的是（
）
A．函数的最小正周期为.
B．函数的图象的一个对称中心为
C．函数的图象的一条对称轴方程为
D．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到
【答案】D
【详解】
因为，所以，又，
所以或，因为，
所以的最小正周期为，所以，故A错误；
又，所以，又，所以，
所以；
令()，得()，
所以函数的对称中心为()，所以B错误；
由()，解得()，故C错误；
，向右平移单位长度得，故D正确.
故选：D.
【例题2】函数（其中，）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数的图象（
）
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】
由图象可知，，函数的最小正周期为，，
，
，，，得，，
，
因此，只需将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象.
故选：D.
【跟踪训练1】若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】若将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移一个单位得到的函数的图象，函数（
）
A．图象关于点对称
B．最小正周期是
C．在上递增
D．在上最大值是
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