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专题02
向量的数量积与三角恒等变换【知识梳理】
一、两个向量的夹角和向量在轴上的正射影
1、(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.
(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.
2、已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.
＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos__θ.
【例题1】已知向量，，则在方向上的投影为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由题意可得，
，
故在方向上的投影为.
【例题2】已知非零在非零方向上的投影是m，m∈R，下列说法正确的是（
）
A．在方向上的投影一定是m
B．在方向上的投影一定是km
C．在方向上的投影一定是km
D．在方向上的投影一定m
【答案】D
【详解】
解：∵在方向上的投影是m，
∴，
∵，k≠0，，
∴在(k≠0)方向上的投影为，当k>0时，在k方向上的投影为m.
故选：D.
【跟踪训练1】
，，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（
）
A．
B．
C．2
D．
【跟踪训练2】
向量的模为10，它与向量的夹角为，则它在方向上的投影为（
）
A．5
B．
C．
D．
跟踪训练3】
已知单位向量满足，则向量在向量方向上的投影为（
）
A．
B．
C．
D．
二.向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
①数量积：a·b＝|a||b|cos
θ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝＝.
③夹角：cos
θ＝＝.
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤
·.
【例题1】四边形中，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由题意知，四边形为直角梯形，，
所以．
故选：B．
【例题
2】
已知菱形的边长为，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为，
所以，
因为，
，
所以，
，
，
，
故选：B
【跟踪训练1】
在边长为3的等边三角形中，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】
若是半径为的圆上的三个点，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】
在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BC的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
三.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【例题1】
已知非零向量、满足，，若，则实数的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
因为，则，所以，，
因为，则，解得.
【例题2】
已知，，若关于的不等式恒成立，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为，，且关于的不等式恒成立，
所以，
所以，
整理得，
所以，
所以，，又，
所以
故选：B
【跟踪训练1】
已知平面向量，与，与的夹角为，且与垂直，则（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】
已知向量、满足，，，则（
）
A．2
B．
C．
D．
【跟踪训练3】
已知平面向量，，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
四.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α?β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝.
【例题1】计算的值是（
）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【详解】
解：
．
【例题2】（
）.
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由.
【跟踪训练1】已知锐角α，β满足sin
α－cos
α＝，tan
α＋tan
β＋tan
αtan
β＝，则α，β的大小关系是（
）
A．α<<β
B．β<<α
C．
<α<β
D．
<β<α
【跟踪训练2】已知，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．3
【跟踪训练3】已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
五.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin
2α＝2sin__αcos__α.
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan
2α＝.
【例题
1】已知角终边上一点M的坐标为，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由角终边上一点M的坐标为，
得，，
故，
故选：A.
【例题
2】已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
即，
故选：B
【跟踪训练1】已知锐角满足，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】已知点是角的终边与单位圆的交点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】若函数在上单调递增，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
六.三角恒等变换的应用
函数f(α)＝asin
α＋bcos
α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
【例题
1】若，，则的值为（
）
A．
B．
－
C．
±
D．±
【答案】A
【详解】
因为，所以，又，所以，所以，
故选：A.
【例题
2】已知，则=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
解：由得，即，
解得，
因为，
所以
【跟踪训练1】已知，，则（
）
A．
B．或1
C．
D．或1
【跟踪训练2】已知，满足，，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
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专题02
向量的数量积与三角恒等变换【知识梳理】
一、两个向量的夹角和向量在轴上的正射影
1、(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.
(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.
2、已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.
＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos__θ.
【例题1】已知向量，，则在方向上的投影为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由题意可得，
，
故在方向上的投影为.
【例题2】已知非零在非零方向上的投影是m，m∈R，下列说法正确的是（
）
A．在方向上的投影一定是m
B．在方向上的投影一定是km
C．在方向上的投影一定是km
D．在方向上的投影一定m
【答案】D
【详解】
解：∵在方向上的投影是m，
∴，
∵，k≠0，，
∴在(k≠0)方向上的投影为，当k>0时，在k方向上的投影为m.
故选：D.
【跟踪训练1】
，，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（
）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【详解】
向量在向量方向上的投影为.
【跟踪训练2】
向量的模为10，它与向量的夹角为，则它在方向上的投影为（
）
A．5
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由题意所求投影的模为．
【跟踪训练3】
已知单位向量满足，则向量在向量方向上的投影为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，所以
解得
向量在向量方向上的投影为
故选：A.
二.向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
①数量积：a·b＝|a||b|cos
θ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝＝.
③夹角：cos
θ＝＝.
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤
·.
【例题1】四边形中，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由题意知，四边形为直角梯形，，
所以．
故选：B．
【例题
2】
已知菱形的边长为，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为，
所以，
因为，
，
所以，
，
，
，
故选：B
【跟踪训练1】
在边长为3的等边三角形中，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为，则，又等边三角形的边长为3
则
故选：B
【跟踪训练2】
若是半径为的圆上的三个点，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由题意可知为直径，与成角，
故
故选：B
【跟踪训练3】
在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BC的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
建立如图平面直角坐标系，
则
∴E点坐标为，
.
故选：D
三.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【例题1】
已知非零向量、满足，，若，则实数的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
因为，则，所以，，
因为，则，解得.
【例题2】
已知，，若关于的不等式恒成立，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为，，且关于的不等式恒成立，
所以，
所以，
整理得，
所以，
所以，，又，
所以
故选：B
【跟踪训练1】
已知平面向量，与，与的夹角为，且与垂直，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
与垂直，
，
，
，
，与的夹角为，
，
解得，
故选：A
【跟踪训练2】
已知向量、满足，，，则（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
故选：C.
【跟踪训练3】
已知平面向量，，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由，可得，解得.
故选：A．
四.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α?β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝.
【例题1】计算的值是（
）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【详解】
解：
．
【例题2】（
）.
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由.
【跟踪训练1】已知锐角α，β满足sin
α－cos
α＝，tan
α＋tan
β＋tan
αtan
β＝，则α，β的大小关系是（
）
A．α<<β
B．β<<α
C．
<α<β
D．
<β<α
【答案】B
【详解】
∵α为锐角，sin
α－cos
α＝，∴α>．又tan
α＋tan
β＋tan
αtan
β＝，
∴tan(α＋β)＝，∴α＋β＝，又α>，∴β<<α．
【跟踪训练2】已知，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【详解】
由题意可得，，，所以，，所以.
【跟踪训练3】已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
由已知，
又在上单调递增，
所以，，解得，
由得，又，因此，
所以．
故选：C．
五.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin
2α＝2sin__αcos__α.
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan
2α＝.
【例题
1】已知角终边上一点M的坐标为，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由角终边上一点M的坐标为，
得，，
故，
故选：A.
【例题
2】已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
即，
故选：B
【跟踪训练1】已知锐角满足，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解法一：由可知.又，∴，，∴.
故选：D.
解法二：由可知，即，
则.
故选：D.
【跟踪训练2】已知点是角的终边与单位圆的交点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由三角函数的定义得，
所以．
故选：A
【跟踪训练3】若函数在上单调递增，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
由，得，
所以，，
故选：A．
六.三角恒等变换的应用
函数f(α)＝asin
α＋bcos
α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
【例题
1】若，，则的值为（
）
A．
B．
－
C．
±
D．±
【答案】A
【详解】
因为，所以，又，所以，所以，
故选：A.
【例题
2】已知，则=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
解：由得，即，
解得，
因为，
所以
【跟踪训练1】已知，，则（
）
A．
B．或1
C．
D．或1
【答案】C
【详解】
解:由，，
则,
即,
即,
又,
所以,
即,
又,
则,
则,
【跟踪训练2】已知，满足，，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
解：∵，∴，
当时，，
∵，∴，，
∴；
当时，
，不合题意；
综上可知，，
故选：A．
【跟踪训练3】已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
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