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21.1一元二次方程
教学设计
课题
21.1一元二次方程
单元
第21章
学科
数学
年级
九年级
学习目标
1.理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式；2.理解二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项，能够将方程化成一般形式；3.理解一元二次方程的根.
重点
1．能够将方程化成一般形式；2．熟练掌握二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项．
难点
根据实际问题能列出一元二次方程．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
问题1：在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为
2
米，
那么它的下部应设计为多高？解：设雕像下部高
x
m，则上部为（2-x）m由题意得整理得
x2+2x-4=0
①问题2：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm，由题意得
(100-2x)(50-2x)=3600整理得
x2-75x+350=0
②
问题3：要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排
7
天,每天安排
4
场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?解：设应邀请
x
个队参赛则每个队要与其他
(x－1)
个队各赛一场全部比赛场数为
4×7=28由题意得
整理得
x2-x-56=0
③
通过创设情境，学生回答问题.
总结三个方程的共同点，为讲解一元二次方程的定义作铺垫.
讲授新课
环节一：探究一元二次方程的定义思考：上面三个方程的共同点是什么？等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程.这样的方程叫做一元二次方程。注意：等式、整式、一个未知数、未知数的最高次数为2。判断：下面哪些方程是一元二次方程？(1)
2x2+x-3
×
(2)
(x-7)2+2=x2
×(3)
×
(4)
t2+4t-1=0
√
环节二：一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于
x
的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax?+bx+c=0
(a≠0)这是一元二次方程的一般形式
。其中ax?是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。思考：为什么a≠0
?
例
1
将方程
3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.解：去括号，得3x2-3x=5x+10移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.练习：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
5x2+4x=3
(2)
4x(x-7)=x2-5(3)
x(x+5)=0
(4)
(2x-3)(x-1)=0解：(1)
5x2+4x=3
移项得
5x2+4x-3=0
二次项系数：5一次项系数：4常数项：-3解：(2)
4x(x-7)=x2-5去括号得
4x2-28x=x2-5
移项得
3x2-28x+5=0
二次项系数：3一次项系数：-28常数项：5解：(3)
x(x+5)=0
去括号得
x2+5x=0
二次项系数：1一次项系数：5常数项：0解：(4)
(2x-3)(x-1)=0去括号得
2x2-2x-3x+3=0
合并同类项得
2x2-5x+3=0
二次项系数：2一次项系数：-5常数项：3环节三：一元二次方程的根
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．判断：下列哪些数是方程
x?+x-12=0
的根？-4
，-3
，-2
，-1
，0
，1
，2
，3
，4
√
×
×
×
×
×
×
√
×分析：当x＝－4时，左边＝16+(－4)－12＝0，则左边=右边，所以－4是方程
x?+x-12=0
的根.
同理可证其他结论.
环节四：课堂练习1.下列关于x的方程是一元二次方程的是( D )A.
x2+2x=3y
B.
4x(x-1)=4x2C.
D.
(2x+7)(x-2)=02.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程，则m的值为( C )A.
任何实数
B.
m≠0
C.
m≠1
D.
m≠0
且m≠1
3.
把方程(3x＋2)（x+1）＝x(2x+1)化成一般形式
x2+4x+2=0
,其中a=
1
，b=
4
，c=
2
。4.
下面哪些数是方程
x2－x－2＝0
的根？
－3，－2，－1，
0，
1，
2，
3
×
×
√
×
×
√
×
5.参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？设有x人参加聚会，则根据题意，可列方程为x2-x-20=0.6.
已知关于x的方程(m2－1)x2＋(1－m)x＋m+2＝0.
(1)当
m
为何值时，该方程为一元二次方程？
(2)当
m
为何值时，该方程为一元一次方程？解：
(1)当方程为一元二次方程时，m2－1≠0，m2≠1，m≠±1当方程为一元一次方程时，m2－1=0且1-m≠0，m=-1
学生观察并思考三个方程的共同点，得出一元二次方程的定义，并进行相关练习.引导学生将方程化成一元二次方程的一般形式，并进行练习.能够判断出一元二次方程的根.学生练习，师生互评并订正.
培养学生自主探究、发现问题、解决问题的能力.熟练掌握一元二次方程的一般形式及相关的项及系数.理解一元二次方程的根.通过各种变式练习，让学生熟练一元二次方程的一般形式，会求未知字母的值.
课堂小结
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
21.1
一元二次方程定义：
一般形式：
例1方程的根：
练习
教师展示本节课的内容.
展示本节课的内容.
2-x
x
x
x
100cm
50cm
3600cm2
100-2
x
50-2
x
定义
一元二次方程
一般形式
ax2+bx+c=0
方程的根
应用
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共23张PPT)
人教版
九年级上册
21.1
一元二次方程
新知导入
学习目标：
1.理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式；
2.理解二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项，能够将方程化成一般形式；
3.理解一元二次方程的根.
新知导入
问题1：在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为
2
米，
那么它的下部应设计为多高？
解：设雕像下部高
x
m，则上部为（2-x）m
由题意得
整理得
x2+2x-4=0
①
2-x
x
新知导入
问题2：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
x
x
100cm
50cm
3600cm2
解：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm，
100-2
x
50-2
x
由题意得
(100-2x)(50-2x)=3600
整理，得
x2-75x+350=0
②
新知导入
问题3：要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排
7
天,每天安排
4
场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
解：设应邀请
x
个队参赛，
则每个队要与其他
(x－1)
个队各赛一场
全部比赛场数为
4×7=28
由题意得
整理得
x2-x-56=0
③
新知讲解
思考：上面三个方程的共同点是什么？
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程.
一元二次方程
新知讲解
练习：判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)
2x2+x-3
(2)
(x-7)2+2=x2
(3)
(4)
t2+4t-1=0
不是方程
×
化简后，
x
最高次数不是二次
×
不是整式
×
√
新知讲解
一般地，任何一个关于
x
的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax?+bx+c=0
(a≠0)
一元二次方程的一般形式
为什么a≠0
?
新知讲解
ax?+bx+c=0
(a≠0)
二次项
二次项系数
一次项
一次项系数
常数项
合作探究
例
1
将方程
3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
3x2-3x=5x+10
3x2-8x-10=0
课堂练习
练习：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)
5x2+4x=3
(2)
4x(x-7)=x2-5
(3)
x(x+5)=0
(4)
(2x-3)(x-1)=0
课堂练习
解：(1)
5x2+4x=3
解：(2)
4x(x-7)=x2-5
移项得
5x2+4x-3=0
二次项系数：5
一次项系数：4
常数项：-3
去括号得
4x2-28x=x2-5
移项得
3x2-28x+5=0
二次项系数：3
一次项系数：-28
常数项：5
课堂练习
去括号得
x2+5x=0
二次项系数：1
一次项系数：5
常数项：0
去括号得
2x2-2x-3x+3=0
合并同类项得
2x2-5x+3=0
二次项系数：2
一次项系数：-5
常数项：3
解：(3)
x(x+5)=0
解：(4)
(2x-3)(x-1)=0
新知讲解
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
判断：下列哪些数是方程
x?+x-12=0
的根？
-4
，-3
，-2
，-1
，0
，1
，2
，3
，4
√
×
×
×
×
×
×
×
√
分析：当x＝－4时，左边＝16+(－4)－12＝0，则左边=右边，
所以－4是方程
x?+x-12=0
的根.
同理可证其他结论.
课堂练习
1.下列关于x的方程是一元二次方程的是( )
2.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程，则m的值为( )
A.
任何实数
B.
m≠0
C.
m≠1
D.
m≠0
且m≠1
A.
x2+2x=3y
B.
4x(x-1)=4x2
C.
D.
(2x+7)(x-2)=0
C
D
课堂练习
4.
下面哪些数是方程
x2－x－2＝0
的根？
－3，－2，－1，0，1，2，3
3.
把方程(3x＋2)（x+1）＝x(2x+1)化成一般形式
,其中a=
，b=
，c=
.
x2+4x+2=0
1
4
2
√
×
×
×
×
×
√
课堂练习
5.参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？设有x人参加聚会，则根据题意，可列方程为
.
x2-x-20=0
课堂练习
6.
已知关于x的方程(m2－1)x2＋(1－m)x＋m+2＝0.
(1)当
m
为何值时，该方程为一元二次方程？
(2)当
m
为何值时，该方程为一元一次方程？
解：
(1)当方程为一元二次方程时，m2－1≠0，m2≠1，m≠±1；
(2)当方程为一元一次方程时，m2－1=0且1-m≠0
，m=-1.
课堂总结
定义
一般形式
一元二次方程
方程的根
ax2+bx+c=0
应用
板书设计
21.1
一元二次方程
定义：
例1
一般形式：
练习
方程的根：
作业布置
1.必做题：教材P4
第
1、2、3
题
2.选做题：教材P4
第
7
题
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