第四讲转化与化归思想Word版

第四讲　转化与化归思想
知识整合
一、转化与化归思想的含义
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．
二、转化与化归的常见方法
1．直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．
2．换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．
3．数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．
4．等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的．
5．特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题．
6．构造法：构造一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．
7．坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．
8．类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求．
9．参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行解决．
10．补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集?UA使原问题获得解决，体现了正难则反的原则．
1.特殊与一般的转化
典题例析
例1　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝　　.
[思路探究]　看到a，b，c成等差数列，可联想到等边三角形举特例求解．
[解析]　显然△ABC为等边三角形时符合题设条件，所以＝＝＝.
(2)已知f(x)＝，则f(－2
019)＋f(－2
018)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2
020)＝__2_020__.
[思路探究]　看到求f(－2
019)＋f(－2
018)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2
020)的值，想到求f(x)＋f(1－x)的值．
[解析]　f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＝1，
所以f(0)＋f(1)＝1，f(－2
019)＋f(2
020)＝1，
所以f(－2
019)＋f(－2
018)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2
020)＝2
020.
规律总结
化一般为特殊的应用
(1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．
(2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案．
(3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．
跟踪训练
1．AB是过抛物线x2＝4y的焦点的动弦，直线l1，l2是抛物线两条分别切于A，B的切线，则l1，l2的交点的坐标为__(0，－1)__．
[解析]　找特殊情况，当AB⊥y轴时，AB的方程为y＝1，则A(－2,1)，B(2,1)，过点A的切线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0.同理，过点B的切线方程为x－y－1＝0，则l1，l2的交点为(0，－1)．
2．在平行四边形ABCD中，||＝12，||＝8.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　C　)
A．20　　　　　　　　　
B．15
C．36
D．6
[解析]　方法一：由＝3，＝2知，点M是BC的一个四等分点，且BM＝BC，点N是DC的一个三等分点，且DN＝DC，所以＝＋，＝＋＝＋，所以＝－＝＋－(＋)＝－，所以·＝(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(144－×64)＝36，故选C.
方法二：不妨设∠DAB为直角，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M(12,6)，N(8,8)，所以＝(12,6)，＝(4，－2)，所以·＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.
2.函数、方程、不等式之间的转化
典题例析
例2　(1)已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[，1]，总存在唯一的y∈[－1,1]，使得lnx－x＋1＋a＝y2ey成立，则实数a的取值范围是(　B　)
A．[，e]　　　　　
B．(，e]
C．(，＋∞)
D．(，e＋)
[解析]　设f(x)＝lnx－x＋1＋a，当x∈[，1]时，f
′(x)＝≥0，f(x)是增函数，所以x∈[，1]时，f(x)∈[a－，a]．设g(y)＝y2ey，则g′(y)＝eyy(y＋2)，则g(y)在[－1，0)单调递减，在[0,1]单调递增，且g(－1)＝(2)(文)(2019·沈阳模拟)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若对?x1∈[，3]，?x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　C　)
A．(－∞，1]
B．[1，＋∞)
C．(－∞，0]
D．[0，＋∞)
[解析]　当x∈[，3]时，f(x)≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立，此时f(x)min＝4.当x∈[2,3]时，g(x)min＝22＋a＝4＋a.依题意f(x)min≥g(x)min，∴a≤0.选C.
(理)(2019·济南调研)已知m，n∈(2，e)，且－A．m>n
B．mC．m>2＋
D．m，n的大小关系不确定
[解析]　由不等式可得－因为x∈(2，e)，所以f′(x)>0，故函数f(x)在(2，e)上单调递增．因为f(n)规律总结
函数、方程与不等式相互转化的应用
1．函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．
2．解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．
跟踪训练
1．已知函数f(x)＝ax2－2x＋2，若对一切x∈[，2]，f(x)>0都成立，则实数a的取值范围为(　B　)
A．[，＋∞)
B．(，＋∞)
C．[－4，＋∞)
D．(－4，＋∞)
[解析]　由题意得，对一切x∈[，2]，f(x)>0都成立，即a>＝－＋＝－2(－)2＋在x∈[，2]上恒成立，而－2(－)2＋≤，则实数a的取值范围为(，＋∞)．
2．已知a＝ln，b＝ln，c＝ln4，则(　B　)
A．aB．bC．cD．b[解析]　a＝ln＝ln()2＝ln＝，b＝ln＝，c＝ln4＝×2ln2＝.
故构造函数f(x)＝，则a＝f()，b＝f()，c＝f(2)．
因为f′(x)＝＝，由f′(x)＝0，解得x＝e.
故当x∈(0，e)时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，e]上单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，
函数f(x)在[e，＋∞)上单调递减．因为<<23.正难则反的转化
典题例析
例3　(1)若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋(＋2)x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是(　B　)
A．(－5，－)　　　　　
B．(－，－5)
C．(－5，－2)
D．(－5，＋∞)
[解析]　g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，
若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，
则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，
即m＋4≥－3x在x∈(t,3)上恒成立，
所以m＋4≥－3t恒成立，又t∈[1,2]，
则m＋4≥－3×1＝－1，即m≥－5；
②得m＋4≤－3x在x∈(t,3)上恒成立，
则m＋4≤－9，即m≤－.
所以函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为－(2)已知函数f(x)＝ax2－x＋lnx在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为　(0，)　.
[解析]　f′(x)＝2ax－1＋.
(ⅰ)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，则f′(x)≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax－1＋≥0，得a≥(－)．①
令t＝，因为x∈(1,2)，所以t＝∈(，1)．
设h(t)＝(t－t2)＝－(t－)2＋，t∈(，1)，显然函数y＝h(t)在区间(，1)上单调递减，
所以h(1)由①可知，a≥.
(ⅱ)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递减，则f′(x)≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax－1＋≤0，得a≤(－)．②
结合(ⅰ)可知，a≤0.
综上，若函数f(x)在区间(1,2)上单调，则实数a的取值范围为(－∞，0]∪[，＋∞)．
所以若函数f(x)在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为(0，)．
规律总结
转化化归思想遵循的原则
1．熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题．
2．简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．
3．直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何向平面几何问题转化)．
4．正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．
跟踪训练
1．若抛物线y＝x2上的所有弦都不能被直线y＝k(x－3)垂直平分，则k的取值范围是(　D　)
A．(－∞，]　　　　　　
B．(－∞，)
C．(－，＋∞)
D．[－，＋∞)
[解析]　设抛物线y＝x2上两点A(x1，x)，B(x2，x)关于直线y＝k(x－3)对称，AB的中点为P(x0，y0)，则x0＝，y0＝.由题设知＝－，所以＝－.又AB的中点P(x0，y0)在直线y＝k(x－3)上，所以＝k()＝k(－3)＝－，所以中点P(－，－)．由于点P在y>x2的区域内，则－>(－)2，整理得(2k＋1)(6k2－2k＋1)<0，解得k<－.因此当k<－时，抛物线y＝x2上存在两点关于直线y＝k(x－3)对称，于是当k≥－时，抛物线y＝x2上存在两点关于直线y＝k(x＝3)对称．所以实数k的取值范围是[－，＋∞)．故选D.
2．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c，使得f(c)>0，则实数p的取值范围是　(－3，)　.
[解析]　若在区间[－1,1]内不存在c满足f(c)>0，
因为Δ＝36p2≥0恒成立，
则
解得
所以p≤－3或p≥，取补集得－3即满足题意的实数p的取值范围是(－3，)．
4.形体位置关系的转化
典题例析
例4　(1)如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，
AC＝EF＝1，则该多面体的体积为__4__.
[解析]　方法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH－ABC和一个斜三棱柱BEF－CHG.由题意，知V三棱柱DEH－ABC＝S△DEH·AD＝(×2×1)×2＝2，
V三棱柱EBF－CHG＝S△BEF·DE＝(×2×1)×2＝2.
故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG＝2＋2＝4.
方法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．
又正方体的体积V正方体ABHI－DEKG＝23＝8，
故所求几何体的体积为V多面体ABCDEGH＝×8＝4.
(2)如图1所示，正△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点．现将△ABC沿CD翻折，使翻折后平面ACD⊥平面BCD(如图2)，求三棱锥C－DEF的体积．
[解析]　方法一：如图，取CD的中点M，连接EM，则EM∥AD，且EM＝AD＝，又AD⊥平面BDC，故EM为三棱锥E－DFC的高．
求三棱锥C－DEF的体积，即求三棱锥E－DFC的体积．
由题意，知CD⊥BD，AD⊥CD，F为BC的中点，
所以S△CDF＝S△BCD＝×CD·BD＝·a＝a2.
所以V三棱锥E－CDF＝S△CDF·EM＝×a2×a＝a3.
即V三棱锥C－DEF＝a2.
方法二：如图所示，知三棱锥C－DEF与三棱锥E－DFC的体积相等，且三棱锥E－DFC是三棱锥A－BDC的一部分．
因为平面ACD⊥平面BCD，点E，F分别是AC，BC的中点，故三棱锥E－DFC的底面积和高分别是三棱锥A－BDC的底面积和高的一半．
由题意，知CD⊥BD，AD⊥CD，AD⊥BD，AD＝BD＝a，DC＝a，所以S△BCD＝×a·a＝a2.
故V三棱锥A－BDC＝S△BCD·AD＝×a2×a＝a3，则V三棱锥C－DEF＝V三棱锥A－BCD＝×a3＝a3.
规律总结
形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征．
跟踪训练
1．(2019·吉林模拟)
已知如图，四边形ABCD和四边形BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，∠BCD＝∠BCE＝，平面ABCD⊥平面BCEG，BC＝CD＝CE＝2AD＝2BG＝2，则五面体EGBADC的体积为　　.
[解析]　如图所示，连接DG，BD.
由平面ABCD⊥平面BCEG，
∠BCD＝∠BCE＝，
可知EC⊥平面ABCD，
又CE∥GB，
所以GB⊥平面ABCD.
又BC＝CD＝CE＝2，AD＝BG＝1，
所以V五面体EGBADC＝V四棱锥D－BCEG＋V三棱锥G－ABD
＝S梯形BCEG·DC＋S△ABD·BG＝××2×2＋××1×2×1＝.故填.
2．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为PC的中点．
(1)求证：PC⊥AD；
(2)求点D到平面PAM的距离．
[解析]　(1)证明：如图，取AD的中点O，连接OP，OC，AC，由题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，所以OC⊥AD，OP⊥AD.
又OC∩OP＝O，所以AD⊥平面POC，
又PC?平面POC，所以PC⊥AD.
(2)点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由(1)可知，PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P－ACD的高．
在Rt△POC中，PO＝OC＝，PC＝，在△PAC中，
因为PA＝AC＝2，PC＝，所以边PC上的高
AM＝＝＝，
所以△PAC的面积S△PAC＝PC·AM＝××＝.
设点D到平面PAC的距离为h，由VD－PAC＝VP－ACD，得S△PAC·h＝S△ACD·PO，
又S△ACD＝×2×＝，所以××h＝××，解得h＝.
故点D到平面PAM的距离为.