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解三角形解答题题型全覆盖
类型
对应典例
正、余弦定理的基本应用
典例一
与角平分线、中线有关的问题
典例二
结构不良问题
典例三
最值范围问题
典例四
例一：正、余弦定理的基本应用
1．在平面四边形中，，，.
（1）若△的面积为，求；
（2）若，，求.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）在△中，，，
∴，可得，
在△中，由余弦定理得，
.
（2）设，则，
在中，，易知：，
在△中，，
由正弦定理得，即，
，可得，即.
2．在中，分别为角的对边，且．
（1）求角B；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】
解：（1）因为，由正弦定理可得，因为，所以，所以，即，所以，所以；
（2）由余弦定理可得，将及代入上式得，，整理得，即，所以或，因为，所以，所以，所以
3．中，角的对边分别为，
（1）若为锐角三角形，其面积为，求a的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）因为且，
所以且，所以，
又因为为锐角三角形，所以，
所以，所以，
所以，所以；
（2）因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以
，所以，
所以.
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a且
（1）求角C的大小；
（2）若，c=1，求△ABC的面积.
【答案】（1）；
（2）或.
【详解】
（1）因为，
在中，，即，所以，
所以，可得，
所以，即，所以，
因为，所以.
（2）由正弦定理可得，
因为，所以，
因为且，所以或，所以或，
当时，；
当时，.
5．已知、、分别为三个内角、、的对边，，且，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
可得，
，则，所以，，即，即，
，则，故，因此，；
（2）因为，由正弦定理可得，
即，所以，，
因为，由余弦定理可得，则，
因此，.
例二：与角平分线，中线有关的问题
1．已知的内角的对应边分别为，且有．
（1）求；
（2）设是的内角平分线，边，的长度是方程的两根，求线段的长度．
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）由正弦定理得：，
即，又，
，又，，
，，又，；
（2）为方程的两根，，，
由（1）知：，，
，，
即，解得：.
2．在中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的3倍.
（1）求；
（2）若AD=2，DC=1，求BD和AC的长.
【答案】（1）；（2）BD=2，.
【详解】
（1）由面积是面积的2倍，
得，
而∠BAD=∠CAD，
所以AB=2AC，
由正弦定理，得
（2）由，得BD=2DC，
所以BD=2.
又因为AD=2，DC=1，在和中，由余弦定理得
，
所以有，结合（1）知AB=2AC，
解得.
3．在中，、、分别为内角、、的对边，已知，且边上的中线长为．
（1）证明：；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1），由余弦定理可得，则，故；
（2）设边的中点为点，则，
所以，，
所以，，
故，
由余弦定理可得，
两式相加得，故，可得，
所以，设边上的高为，则，
故
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，面积的最大值为.
4．在中，线段是的角平分线，且
（1）求.
（2）若求的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
解（1）平分
（2）如图，过点作交于点，并延长交于点，
显然
在中，
在中，由正弦定理得
即，所以
所以
所以
所以
又
例三：结构不良
1．从条件①，②中任选一个，补充到下面的问题中并作答.问题：在中，角，，的对边分别为，，，且，，求边.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【详解】
选条件①时，，
所以，
故．
．
故，
所以．
选条件②时，由于，，
利用正弦定理，故．
由于，
所以，
由于，
所以，
所以，
解得，
由于，
故，
所以，
故，
由正弦定理得：．
2．从①；②的面积；③的周长为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
的内角，，的对边分别为，，，，且______．求及边上的中线的长．
【答案】答案见解析.
【详解】
若选①，则，又，所以有．
∵，
∴，
∴，
由A为三角形中的角得：
，所以
，∴，∴由
如右图所示，令边上中线长为，则：
．
∴．
若选②的面积，则．
∵
∴，
∴由A为三角形中的角得：
∴，，∴
余下同（1）可求得边上中线长为．
若选③的周长为，则．
，
∵，∴，
∴由A为三角形中的角得：
∴，∴，
余下同（1）可求得边上中线长为．
3．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，且满足_______，试判断的形状，并写出推理过程．
【答案】条件选择见解析，为等边三角形，理由见解析.
【详解】
因为，由正弦定理可得，即，
所以，，则，可得.
选①：，由正弦定理可得，
，则，故，
故，
，则，故，则，可得，得，
所以，为等边三角形；
选②：且，
由正弦定理可得，
，则，则，
，则，故，所以，，则，得，
所以，为等边三角形；
选③：，由正弦定理可得，
，则，故，即，
整理可得，，则，所以，为等边三角形.
4．如图四边形中，，，，、，
.
（1）求；
（2）求面积的最大值.
从①且为锐角；②；③这三个条件中任选一个补充在上面的问题中并作答
【答案】（1）条件选择见解析，；（2）.
【详解】
（1）选①，，
是锐角，，
由余弦定理可得，则，
，则是四边形的外接圆直径，
是的外接圆直径，；
选
②：，
，，
由余弦定理可得，则，
，则是四边形的外接圆直径，
是的外接圆直径，；
选③：，由余弦定理可得，
，，
，则是四边形的外接圆直径，
是的外接圆直径，；
（2）由（1），，
在中，由余弦定理可得，
所以，，当且仅当时，等号成立.
因此，.
最值范围问题
1、在中，内角，，所对的边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】
解：（1）解法一
因为，
所以由正弦定理可得．
又，
所以，
所以．
因为，所以，所以，
又，所以．
解法二
因为，
所以由余弦定理可得，
整理得，即，
因为，
所以，
所以，
又，所以．
（2）因为，，所以由正弦定理得，
则，，
故的周长
．
易知，所以，
因为在时单调递增，在时单调递减，
所以，
则，
所以，
故周长的取值范围为．
2．在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，．
（1）求角的大小和边长的值；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1），；（2）.
【详解】
（1）因为，所以，，
因为角是锐角，所以，
因为，
所以由正弦定理与余弦定理易知，，
整理得，解得.
（2）因为，所以，，
因为，，，所以，
则
，
因为，所以，
则，，
故，面积的最大值为.
3．的内角??的对边分别为??，.
（1）求；
（2）若，求周长最大时，的面积.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，∴，
，.
（2）∵，
据（1）可得，∴，
∴，∴，∴，
当且仅当时等号成立，
即当时，取得最大值，即周长取得最大值，
此时.
4．在中，角所对的边分别为，且
（1）求角B的大小；
（2）若为锐角三角形，其外接圆的半径为2，求面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）因为，
所以，
所以，
因为，
所以；
（2）因为为锐角三角形，
所以，则，
即，解得，
又因为其外接圆的半径为2，
所以，
所以，
，
，
，
，
因为，
所以，
所以，
所以面积的取值范围是．
5．在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在中，内角的对边分别为．已知__________．
（1）求角A；
（2）设的面积为S，若，求面积S的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【详解】
（1）选①，由得，
又，所以，
，，，，所以，又，
所以；
选②，由得，即，
所以，又，所以；
（2），由
得，
所以
，
又，，所以，，
所以，即时，．
6．随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A地接到两份外卖单，他须分别到B地?D地取餐，再将两份外卖一起送到C地，运餐过程不返回A地.A，B，C，D各地的示意图如图所示，，，，，，假设小李到达B?D两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如：)，并计算各种送餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留3位小数)(参考数据：，)
【答案】答案见解析
【详解】
解：在中，由正弦定理可知：，
即：，解得：，
由，即：，解得：，
(由余弦定理可得，
解得或者，
)
在中，由余弦定理可知：
即，解得或(舍)；
①若送餐路径为：，则总路程=
②若送餐路径为：，则总路程=
③若送餐路径为：，则总路程=
④若送餐路径为：，则总路程=
所以最短送餐路径为，
此路径的送餐时间为：(分钟).
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类型
对应典例
正、余弦定理的基本应用
典例一
与角平分线、中线有关的问题
典例二
结构不良问题
典例三
最值范围问题
典例四
例一：正、余弦定理的基本应用
1．在平面四边形中，，，.
（1）若△的面积为，求；
（2）若，，求.
2．在中，分别为角的对边，且．
（1）求角B；
（2）若，求的值．
3．中，角的对边分别为，
（1）若为锐角三角形，其面积为，求a的值；
（2）若，求的值．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a且
（1）求角C的大小；
（2）若，c=1，求△ABC的面积.
5．已知、、分别为三个内角、、的对边，，且，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
例二：与角平分线，中线有关的问题
1．已知的内角的对应边分别为，且有．
（1）求；
（2）设是的内角平分线，边，的长度是方程的两根，求线段的长度．
2．在中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的3倍.
（1）求；
（2）若AD=2，DC=1，求BD和AC的长.
3．在中，、、分别为内角、、的对边，已知，且边上的中线长为．
（1）证明：；
（2）求面积的最大值．
4．在中，线段是的角平分线，且
（1）求.
（2）若求的值.
例三：结构不良
1．从条件①，②中任选一个，补充到下面的问题中并作答.问题：在中，角，，的对边分别为，，，且，，求边.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
2．从①；②的面积；③的周长为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
的内角，，的对边分别为，，，，且______．求及边上的中线的长．
3．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，且满足_______，试判断的形状，并写出推理过程．
4．如图四边形中，，，，、，
.
（1）求；
（2）求面积的最大值.
从①且为锐角；②；③这三个条件中任选一个补充在上面的问题中并作答
最值范围问题
1、在中，内角，，所对的边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围．
2．在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，．
（1）求角的大小和边长的值；
（2）求面积的最大值．
3．的内角??的对边分别为??，.
（1）求；
（2）若，求周长最大时，的面积.
4．在中，角所对的边分别为，且
（1）求角B的大小；
（2）若为锐角三角形，其外接圆的半径为2，求面积的取值范围．
5．在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在中，内角的对边分别为．已知__________．
（1）求角A；
（2）设的面积为S，若，求面积S的最大值．
6．随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A地接到两份外卖单，他须分别到B地?D地取餐，再将两份外卖一起送到C地，运餐过程不返回A地.A，B，C，D各地的示意图如图所示，，，，，，假设小李到达B?D两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如：)，并计算各种送餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留3位小数)(参考数据：，)
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