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解三角形选择题题型全覆盖
类型
对应典例
基本公式的应用
典例一
图形结合问题
典例二
实际应用问题
典例三
最值范围问题
典例四
基本公式的应用
1．已知在中，分别为内角的对边，，，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由得：，
在中，由余弦定理得：，
即，解得：.
故选：B.
2．在中，若，，，则边（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
因为，，所以，
则，即，解得，
故选：A.
3．在中，“”是“”的（
）条件
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．非充分非必要
【答案】C
【详解】
∵中，由正弦定理，
∴当必有，根据三角形中大边对大角知：；
当时，在三角形中由，有或
成立，即；
∴“”是“”的充要条件.
故选：C
4．在△中，内角A，，所对的边分别为，，，，，，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
∴
∴，
∴
∴.
故选：A.
5．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（
）
A．2
B．1
C．0
D．不确定
【答案】A
【详解】
由正弦定理知，，即
，解得，
又，由三角函数性质知角B由两个解，
当角B为锐角时，满足，即存在；
当角B为钝角时，，，
则满足，即存在；故有两个解.
故选：A
6．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．则的值为（
）
A．
B．2
C．
D．
【答案】B
【详解】
∵，∴由余弦定理可得：，所以，
又．∴．∴，
∴，．
∴．
∵，∴．
∴．
故选：B.
7．已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其三边与三角满足关系式，则的形状是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【详解】
由题
当，三角形为直角三角形
当，则，又，则三角形为等腰三角形
故选：D
8．中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
所以，且，所以，所以，
所以，所以，
故选：A.
9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（
）
A．若，则为锐角三角形
B．若为锐角三角形，有，则
C．若，则符合条件的有两个
D．若，则为等腰三角形
【答案】B
【详解】
对于A，若，则，A为锐角，
不能判定为锐角三角形，故错；
对于B，若为锐角三角形，有，
则，∴,故正确；
对于C，知道两边一夹角，符合条件的三角形有且只有一个，故C错误；
对于D，，，
，或即，
为等腰或直角三角形，故不正确．
故选：B．
（多选）10.在中，角的对边分别为，且，下列四个命题中正确的是（
）
A．为直角三角形
B．的面积为
C．
D．的周长为
【答案】ABD
【详解】
由，根据正弦定理可得
由，则
由正弦定理可得,再由余弦定理可得
即，即得
所以
所以，所以是以为直角顶点的直角三角形,
所以选项A正确.
所以角为锐角，故选项C不正确.
所以的面积为
，故选项B正确.
所以的周长为：
，故选项D正确.
故选：ABD
（多选）11．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，有如下判断，其中正确的判断是（
）
A．若，则为直角三角形
B．若，则
C．若，则符合条件的是有两个
D．若，则是钝角三角形
【答案】BD
【详解】
A．因为，所以或，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故错误；
B．因为，所以（为外接圆半径），
所以，由“大边对大角”可知，故正确；
C．因为，所以没有符合条件的三角形，故错误；
D．因为，所以，所以，
所以为钝角，所以是钝角三角形，故正确；
故选：BD.
（多选）12．下列命题中是真命题的有（
）
A．存在，，使
B．在中，若，则是等腰三角形
C．在中，“”是“”的充要条件
D．在中，若，则的值为或
【答案】AC
【详解】
对于A，当时，正确；
对于B，由可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，错误；
对于C，(其中是外接圆的半径)，正确；
对于D，因为，，所以.
因为，所以由正弦定理得，从而.
又因为，所以，
从而，错误；
故选：AC.
（多选）13．在中，下列说法正确的是（
）
A．若是锐角三角形，则
B．若，则
C．不存在满足
D．若，则
【答案】BCD
【详解】
对A，由是锐角三角形，所以，则，
所以，即，故A错；
对B，由，则，故，所以B正确；
对C，在中，由，则，故，则，所以C正确
对D，由，所以，则，
又，所以，故D正确
故选：BCD
（多选）14．对于，有如下判断，其中正确的判断是（
）
A．若，是钝角三角形
B．若，则
C．若，则符合条件的有两个
D．在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积
【答案】ABD
【详解】
对于选项A：由正弦定理可得，所以，因此是
钝角，故是钝角三角形.
故A正确；
对于选项B：因为在中，，，
所以，
又，所以.
故B正确；
对于选项C：由正弦定理，矛盾，
因此，符合条件的不存在.
故C错误；
对于选项D：在三角形中，①
如果已知两边及夹角，显然可以直接用三角形面积公式求出
三角形面积；②
如果已知两边及其一边的对角，可以先用余弦定理求出第三
边，然后再用面积公式求出三角形面积.
故D正确.
故选：ABD.
（多选）15．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法中正确的是（
）
A．是的充要条件
B．若，则为钝角三角形
C．若为锐角三角形，则
D．三角形的面积公式为
【答案】ACD
【详解】
对于选项A：因为在中，，，
所以，
又，所以，
即是的充要条件，故A正确；
对于选项B：由得，因此是锐角，
但是不能得出是钝角三角形，故B错误；
对于选项C：若是锐角三角形，则，因此，
由是锐角可知也是锐角，又是锐角，
所以，即，故C正确；
对于选项D：由正弦定理知，所以的面积
，故D正确.
故选：ACD.
（多选）16．在中，角A，B，C所对的边外别为a，b，c，下列说法中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．
D．若，则为钝角三角形
【答案】ACD
【详解】
由可知，再根据正弦定理可得，所以，故A正确；
由及正弦定理可知，即，又
所以或，可知为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
由正弦定理知，，故C正确；
因为
，
又，故中有且只有一个角为钝角，故D正确.
故选：ACD
图形结合问题
1．无字证明来源于《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.现有如图所示，其中?为边上异于端点的两点，，，且是边长为的正三角形，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
由图可知，
在和中分别由余弦定理可得：，，
所以.
故选：D
2．已知在中，内角的对边分别为，是的平分线，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
，，
，.
故选：B.
3．在平面四边形中，，若的取值范围是，则的长为（
）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【详解】
设，如图，延长，交于点，平移，
当且仅当经过点时，，
，
所以，
当且仅当经过点时，，
，
所以，
以上两式相乘得，.
故选：D
4．如图，在直角三角形中，，，D为边上一点，已知且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
因为，，所以，，
在中，，，则，
由正弦定理可得：，即，
所以.
故选：C.
5．如图所示，在四边形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=且BD为∠ABC的平分线，则BD=（
）
A．6
B．9
C．7
D．8
【答案】D
【详解】
由正弦定理得，
由，可得，，
所以四点共圆，，
由余弦定理．
故选：D.
（多选）6．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，且边与角满足关系式，若有唯一解，则a可以取（
）
A．
B．8
C．7
D．
【答案】ABD
【详解】
由，
根据正弦定理可得
右边：
左边：
所以
即，由
则
所以，即
所以，由则
所以，则
由，有唯一解.
如图以点为圆心，边为半径作圆弧，若圆弧与边相切，则满足条件的三角形唯一,
此时
若，则以点为圆心，边为半径作圆弧，如图，满足条件的三角形唯一,
故或
故满足条件的有A，B，D
故选:：ABD
7．如图，在平行四边形中，，点是边上一点，且，记为的面积，为的面积，则当取得最小值时，（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
设，因为，，所以.
令，
则.
令，得，可得，即，
故当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值.
故选：C.
实际应用问题
1．杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑．小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
由题意，，，即，
∴△中，，则，而，
∵在△中，米.
故选：C
2．说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡处测得，从处沿山坡往上前进到达处，在山坡处测得，则宝塔的高为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由题可知，，则，
，
设坡角为，则由题可得，则可求得，
在中，，
由正弦定理可得，即，解得，
故宝塔的高为44m.
故选：A.
3．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（
）
A．表高
B．表高
C．表距
D．表距
【答案】A
【详解】
如图所示：
由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．
故选：A.
4．设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（
）米．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由正弦定理可知
，
故选：B
5．为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，，则间的距离为（
）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】B
【详解】
在中，，即，，
和中，，是等边三角形，，
在中，，
所以，
．
故
（多选）6．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】
解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.
A.
在中，已知，可以解这个三角形得到，再利用、解直角得到的值；
B.
在中，已知无法解出此三角形，在中，已知无法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔的高度；
C.
在中，已知，可以解得到,再利用、解直角得到的值；
D.
如图，过点作,连接.
由于,
所以，所以可以求出的大小，
在中，已知可以求出再利用、解直角得到的值.
故选：ACD
7．明末邓玉函以毕的斯克斯1612年版《三角法》为底本，并采用斯蒂文著作《数学记录》中部分内容，编译出中国第一部三角学著作《大测》，将欧洲当时最新、最重要的三角学成果介绍到中国，对中国三角学影响极大．在《大测》中提及割图八线，即对一个角而言的八个三角函数，因其可用第一象限单位圆中八条线长（如图中，，，，，，，）表示而得名．若图中，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
由题意得，，所以.
所以．
在中，由正弦定理及，得.
所以，由余弦定理知.
即，解得或（舍去）.
所以.
故选C．
选：B
最值、范围问题
1．在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为，由正弦定理可知，
，
又，所以
所以，所以
即，
又是锐角
所以，即，
所以，解得，所以，
所以.
故选：B.
2．设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由正弦定理得.
因为为锐角三角形，所以即所以，
所以，
所以的取值范围是.
故选：A.
3．在中，，平分交于，且，则的面积的最小值为（
）
A．3
B．
C．4
D．
【答案】B
【详解】
因为的面积等于与的面积之和，
所以，
又因为，，代入得，
又因为，
所以，得，
当且仅当时取等号．
所以的面积的最小值为．
故选B．
4．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若能盖住的最大圆面积为，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
中，，
即，而，则，
因能盖住的最大圆面积为，即内切圆面积为，其半径为r=1，
由三角形面积计算知，即，
由余弦定理得，
则，于是得，当且仅当a=b时取“=”，
显然，从而得，即，
，当且仅当时取“=”，
所以当时，的最小值为6.
故选：B
5．在中，，点在边上，且，设，则当k取最大值时，（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为，
所以，即，
因为，
所以，，
因为，
所以，
因为点在边上，且，
所以，
设，
则，
在中，由余弦定理得，
，
所以，
即，
即，
所以，
令，得，
下面采用基本不等式和导数两种方法求解：
方法一：利用基本不等式求解：
，
要使最大，需最大，当取最大值时，必有，
当且仅当，即时等号成立，
所以时，有最大值，
的最大值为，此时，
所以，解得，
在中，由正弦定理得，
解得，
即.
下面采用导数的方法求解：
求导得，令，解得，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，此时，
所以，解得，
在中，由正弦定理得，
解得，
即.
故选：B.
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解三角形选择题题型全覆盖
类型
对应典例
基本公式的应用
典例一
图形结合问题
典例二
实际应用问题
典例三
最值范围问题
典例四
基本公式的应用
1．已知在中，分别为内角的对边，，，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．在中，若，，，则边（
）
A．
B．
C．
D．
3．在中，“”是“”的（
）条件
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．非充分非必要
4．在△中，内角A，，所对的边分别为，，，，，，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
5．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（
）
A．2
B．1
C．0
D．不确定
6．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．则的值为（
）
A．
B．2
C．
D．
7．已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其三边与三角满足关系式，则的形状是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰或直角三角形
8．中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则（
）
9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（
）
A．若，则为锐角三角形
B．若为锐角三角形，有，则
C．若，则符合条件的有两个
D．若，则为等腰三角形
（多选）10.在中，角的对边分别为，且，下列四个命题中正确的是（
）
A．为直角三角形
B．的面积为
C．
D．的周长为
（多选）11．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，有如下判断，其中正确的判断是（
）
A．若，则为直角三角形
B．若，则
C．若，则符合条件的是有两个
D．若，则是钝角三角形
（多选）12．下列命题中是真命题的有（
）
A．存在，，使
B．在中，若，则是等腰三角形
C．在中，“”是“”的充要条件
D．在中，若，则的值为或
（多选）13．在中，下列说法正确的是（
）
A．若是锐角三角形，则
B．若，则
C．不存在满足
D．若，则
（多选）14．对于，有如下判断，其中正确的判断是（
）
A．若，是钝角三角形
B．若，则
C．若，则符合条件的有两个
D．在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积
（多选）15．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法中正确的是（
）
A．是的充要条件
B．若，则为钝角三角形
C．若为锐角三角形，则
D．三角形的面积公式为
（多选）16．在中，角A，B，C所对的边外别为a，b，c，下列说法中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．
D．若，则为钝角三角形
图形结合问题
1．无字证明来源于《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.现有如图所示，其中?为边上异于端点的两点，，，且是边长为的正三角形，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知在中，内角的对边分别为，是的平分线，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．在平面四边形中，，若的取值范围是，则的长为（
）
A．
B．
C．1
D．2
4．如图，在直角三角形中，，，D为边上一点，已知且，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图所示，在四边形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=且BD为∠ABC的平分线，则BD=（
）
A．6
B．9
C．7
D．8
（多选）6．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，且边与角满足关系式，若有唯一解，则a可以取（
）
A．
B．8
C．7
D．
7．如图，在平行四边形中，，点是边上一点，且，记为的面积，为的面积，则当取得最小值时，（
）
A．
B．
C．
D．
实际应用问题
1．杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑．小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（
）
A．
B．
C．
D．
2．说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡处测得，从处沿山坡往上前进到达处，在山坡处测得，则宝塔的高为（
）
A．
B．
C．
D．
3．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（
）
A．表高
B．表高
C．表距
D．表距
4．设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（
）米．
A．
B．
C．
D．
5．为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，，则间的距离为（
）
A．
B．2
C．
D．4
（多选）6．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．明末邓玉函以毕的斯克斯1612年版《三角法》为底本，并采用斯蒂文著作《数学记录》中部分内容，编译出中国第一部三角学著作《大测》，将欧洲当时最新、最重要的三角学成果介绍到中国，对中国三角学影响极大．在《大测》中提及割图八线，即对一个角而言的八个三角函数，因其可用第一象限单位圆中八条线长（如图中，，，，，，，）表示而得名．若图中，，则（
）
A．
B．
C．
D．
最值、范围问题
1．在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．在中，，平分交于，且，则的面积的最小值为（
）
A．3
B．
C．4
D．
4．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若能盖住的最大圆面积为，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
5．在中，，点在边上，且，设，则当k取最大值时，（
）
A．
B．
C．
D．
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